Файл: Лавриненко О.Ю. - Алгоритми та програмні засоби фільтрації і стиснення сигналів в ТКС.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.04.2019
Просмотров: 2730
Скачиваний: 3
46
де
)
(
)
(
)
(
0
0
0
t
m
m
t
j
m
j
j
і
)
(
)
(
)
(
t
m
m
t
j
m
j
j
- ядра Дирихле
інтегральних перетворень (2.18). З (2.19а, б) видно, що ядра Дирихле являють собою
імпульсні відгуки відповідних фільтрів: низької частоти, що виділяє з сигналу s(t)
компоненту
)
(
0
t
s
j
, і смугових фільтрів, що виділяють з сигналу високочастотні
компоненти. Виконуючи перетворення Фур'є цих ядер, отримаємо
2
)
(
)
(
ˆ
0
0
j
j
і
2
)
(
)
(
ˆ
j
j
. Дані співвідношення показують, що форма частотної
характеристики фільтрів повністю визначається спектральними властивостями
базисних функцій. Як відомо, в спектральному аналізі для оцінки інтенсивності
спектральних компонент важливо, щоб сусідні частотні смуги не перекривалися.
Цього можна досягти тільки тоді, коли частотні характеристики мають форму
прямокутника. Найбільшою мірою для цієї мети підходять базисні функції, задані на
обмеженій множині точок (базиси з компактним носієм) і багаторазово
диференціюються.
При
цьому
компактність
базисів
мінімізує
число
обчислювальних операцій, а к-кратне диференціювання гарантує загасання
частотної характеристики як
k
1
, тобто ступінь дифференцируемості визначає
крутизну фронтів смугових фільтрів спектрального аналізу. Чим більше порядок
вейвлетів, тим більше число раз вони дифференцируємі. Вейвлети Добеши з М
нульовими моментами мають
М безперервних похідних, де при великих М маємо
0.2.
Метод обчислення вейвлет-коефіцієнтів на основі (2.18а, б) вимагає провести
велику кількість операцій (N
2
). Коефіцієнти вейвлет-розкладання
k
j
d
,
і
k
j
c
,
можуть
бути пораховані рекурсивно швидше, ніж за допомогою обчислення інтегралів
(2.18а, б). Якщо відомі коефіцієнти
k
j
c
,
на масштабі j, тоді вейвлет-коефіцієнти на
масштабі j+1 можуть бути обчислені за формулами швидкого вейвлет-
перетворення:
n
n
j
k
n
k
j
c
h
c
,
2
,
1
, (2.20а)
47
n
n
j
k
n
k
j
c
g
d
,
2
,
1
.
(2.20б)
Звичайно передбачається, що значення вихідного сигналу дорівнюють
коефіцієнтам
k
c
,
0
на масштабі j=0:
k
k
c
t
s
,
0
)
(
. Відновити вихідний сигнал можна за
допомогою наступної ітераційної процедури:
n
n
n
j
n
k
n
j
n
k
k
j
d
g
c
h
s
,
1
2
,
1
2
,
.
(2.21)
Для сімейства ортонормального вейвлетов коефіцієнти h
k
і g
k
пов'язані між
собою співвідношенням
k
M
k
k
h
g
1
2
)
1
(
, де L = 2М - область визначення
базисних функцій. Таким чином, коефіцієнти g
k
для вейвлетов виходять з
коефіцієнтів h
k
для скейлинг-функції шляхом перестановки їх у зворотному порядку
і зміни знака у непарних коефіцієнтів.
2.7. Швидке вейвлет-перетворення
Вейвлети, будучи функціями часу, мають своє частотне подання або Фур'є-
образ. Частотне представлення вейвлетів має важливе значення і у визначенні
фільтруючих властивостей вейвлет-перетворень, і швидкого вейвлет-перетворення,
заснованого на пірамідальному алгоритмі Малла (Mallat algorithm) і проріджуванні
спектру вейвлетів по частоті. Відповідно з частотним підходом до вейвлет-
перетворенням частотна область вейвлетів може бути розбита на дві складові -
низькочастотну і високочастотну. Таким чином, Фур'є-образ
)
(
можна
представити реалізацією двох фільтрів: низькочастотного та узгодженого з ним
високочастотного фільтра. Їх частота розділу дорівнює половині частоти
дискретизації сигналу. Низькочастотний фільтр дає частотний образ для
апроксимації (грубого наближення) сигналу, а високочастотний фільтр - для його
деталізації.
Швидке вейвлет-перетворення може бути реалізовано у вигляді каскадного
з'єднання низькочастотних і високочастотних фільтрів або пірамідального
алгоритму Малла. У цьому випадку смуговий фільтр для кожного масштабу
48
складається з пари доповнюють один одного фільтрів низьких і високих частот, що
відносяться до класу квадратурних дзеркальних фільтрів. Особливістю цього класу
фільтрів є те, що фільтр високих частот виходить з відповідного фільтра низьких
частот простою перестановкою його коефіцієнтів у зворотному порядку і зміною
знака половини з них (тільки парних або тільки непарних).
Процес субполосовой фільтрації вихідного сигналу s(n), що складається з N
відліків (
J
N
2
, де J - число масштабів або число каскадирования фільтрів), може
бути представлений у матричної формі дискретного вейвлет-перетворення:
1
j
j
j
c
H
c
,
(2.22)
1
j
j
j
c
G
d
,
(2.23)
де
))
1
2
/
(
),...,
1
(
),
0
(
(
j
j
j
j
j
N
c
c
c
c
і
))
1
2
/
(
),...,
1
(
),
0
(
(
j
j
j
j
j
N
d
d
d
d
-
вектори - стовпці виходів скейлинг-фільтра і вейвлет-фільтра для деякого j, що
складаються з коефіцієнтів, що характеризують спектр сигналу s(t) і проріджених в
два рази;
)
2
/
)(
2
/
(
1
)
2
/
(
)
2
(
)
1
(
j
j
N
N
j
T
T
T
j
N
h
h
h
H
і
)
2
/
)(
2
/
(
1
)
2
/
(
)
2
(
)
1
(
j
j
N
N
j
T
T
T
j
N
g
g
g
G
- матриці перетворення розміром
)
2
/
)(
2
/
(
1
j
j
N
N
на j -й ітерації, що
представляють собою набори векторів - рядків
)
(n
h
T
і
)
(n
g
T
і описують скейлинг
і вейвлет-фільтри відповідно;
)
(n
h
T
і
)
(n
g
T
- вектори-рядки, що складаються з
коефіцієнтів, доповнених нульовими коефіцієнтами, для вейвлет-фільтрів і
скейлінгових фільтрів відповідно; j=1, 2, …, J. Як коефіцієнтів
)
(n
c
j
на
початковому значенні масштабу
0
j
приймаються часові відліки вихідного
сигналу,
тобто
))
1
(
),...,
1
(
),
0
(
(
))
1
(
),...,
0
(
(
0
0
0
N
s
s
s
N
c
c
c
або
1
0
1
0
0
)
(
)
(
N
n
N
n
kn
s
n
c
. Ітераційна процедура, описувана виразами (2.22) і (2.23),
49
закінчується при деякому значенні
J
j
, яке вибирається виходячи з апріорної
інформації про сигнал, тобто з його тривалості. На першому кроці багатокрокової
ітераційної процедури проводиться обробка тимчасових відліків сигналу
1
0
)
(
N
n
n
s
, а
на кожному наступному - відповідних коефіцієнтів
j
c
. На першому кроці
вейвлетного коефіцієнти
2
/
1
1
)
(
N
n
n
d
зберігаються як кінцевий результат, а
скейлінгові коефіцієнти
2
/
1
1
)
(
N
n
n
c
використовуються в якості вихідних даних і
рекурсивно обробляються аж до кінцевого масштабу J. В результаті рекурсивного
виконання процедури будемо мати один вектор коефіцієнтів
)
(n
c
J
, обчислений на
останньому масштабі, і набір векторів коефіцієнтів
J
j
n
d
1
)
(
, обчислених на
попередніх масштабах.
В якості ілюстрації наведемо наступний приклад. Візьмемо фільтр довжиною
L=4, вихідний сигнал довжиною N=8, а в якості початкового значення - j=1.
Послідовність значень g
n
отримуємо з h
n
за формулою
n
L
n
n
h
g
1
)
1
(
, де L -
довжина вейвлет-фільтра. Тоді операція матрично-векторного множення може бути
представлена у вигляді:
7
,
0
6
,
0
5
,
0
4
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
0
,
0
1
0
3
2
3
2
1
0
3
2
1
0
3
2
1
0
0
1
3
,
1
2
,
1
1
,
1
0
,
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c
c
c
c
c
c
c
c
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
c
H
c
c
c
c
,
(2.24)
7
,
0
6
,
0
5
,
0
4
,
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
0
,
0
21
3
0
1
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
3
,
1
2
,
1
1
,
1
0
,
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c
c
c
c
c
c
c
c
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
c
G
d
d
d
d
,
(2.25)
50
де H
1
і G
1
- матриці субполосной низькочастотної і високочастотної фільтрації
розміром 4х8 ;
4
1
)
(
n
n
h
і
4
1
)
(
n
n
g
- коефіцієнти скейлинг і вейвлет-фільтрів
довжиною 4;
1
0
1
0
0
)
(
)
(
N
n
N
n
n
s
n
c
- Значення відліків вихідного сигналу.
Таким чином, вирази (2.24) і (2.25) - це один крок дискретного вейвлет-
перетворення. Ця процедура може повторюватися J раз, поки довжина вектора
j
c
не стане дорівнює 1. Зауважимо, що в четвертих рядках матриць (2.24) і (2.25)
послідовність h
n
циркулярно зрушена: коефіцієнти, що виходять за межі матриці
праворуч, поміщені в ту ж рядок зліва. Це означає, що дискретне вейвлет-
перетворення є точно один період довжини N вейвлет-ряду дискретного часу
сигналу
n
c
,
0
~
, одержуваного шляхом нескінченного періодичного продовження c
0,n
.
Так що дискретне вейвлет-перетворення, певне таким чином, використовує
періодичність сигналу, як і у випадку з дискретним перетворенням Фур'є.
В результаті застосування дискретного вейвлет-перетворення (2.24) і (2.25)
отримуємо два вектори вдвічі меншої довжини, один з яких містить згладжену
версію сигналу, а інший - набір локальних особливостей на даному рівні деталізації.
Ця декомпозиція вихідного сигналу має ряд переваг.
По-перше, аналіз згладженого сигналу спрощує виявлення його характерних
властивостей.
По-друге, аналіз локальних особливостей сигналу дозволяє не тільки визначити
характер і параметри перешкод, а й чітко локалізувати особливі точки сигналу, такі,
як викиди, різкі скачки рівня і т.д. Більш того, якщо отриманий сигнал все ще
недостатньо очищений від перешкод, можна повторно застосувати до нього вейвлет-
перетворення і отримати ще більш гладку версію сигналу (вже в чотири рази
коротший, ніж вихідний) і локальні особливості сигналу вже на наступному рівні
деталізації.
Для виконання зворотного перетворення досить обчислити добуток
транспонованих матриць коефіцієнтів на згладжений вектор і вектор деталей
відповідно і виконати покомпонентне складання результатів: