Файл: PIT_Metodichka_po_peredatochnym_funktsiam.pdf

3 Ч астотны е характеристики электротехнических  систем

Частотные  характеристики  описываю т  установивш иеся  вынуж ден­

ные колебания  на выходе  системы,  вызванные  гармоническим  воздействи­
ем на входе.

Пусть на вход системы подано  гармоническое  воздействие

х(?) = хтах  - з т П г ,

где  хтах  -   амплитуда;

О  

-   угловая частота воздействия.

По  окончании  переходного  процесса на выходе системы  будут сущ е­

ствовать  гармонические  колебания  с  той  же  частотой,  что  и  входные  коле­
бания,  но  отличаю щ иеся  в  общем  случае  по  амплитуде  и  фазе,  т.е.  в  уста­
новившемся реж име выходная величина системы

у{*) = Утах  ■ зт(П * + 'Р ) ,

где утах  -   амплитуда выходных установивш ихся колебаний;

Ч* 

-   ф азовый сдвиг между входными и вы ходны ми колебаниями.

При  ф иксированной  амплитуде  входных  колебаний  амплитуда  и  ф а­

за установивш ихся  колебаний на выходе  системы зависят от частоты коле­
баний.  Если  постепенно увеличивать  от  нуля  частоту  колебаний  и  опреде­
лять  установивш иеся  значения  амплитуды  и  фазы  выходных  колебаний 
для различных частот, можно получить зависимость от частоты отношения 
амплитуд  А =  у твх / х тах  и  сдвига  фаз  (р  выходных  и  входных  установив­

шихся  колебаний.  Эти  зависимости  называю тся  соответственно  А (О )  -  

амплитудной  частотной характеристикой (АЧХ)  и 

(р{р.)

-   фазовой частот­

ной характеристикой (ФЧХ).

Наличие  максимума  у  амплитудной  частотной  характеристики  гово­

рит  о  резонансных  свойствах  системы.  Частота,  соответствую щ ая  макси­

муму амплитудной частотной характеристики,  называется резонансной.

Рассмотрим  линейную   систему  с  одним  входом  и  одним  выходом, 

передаточная  функция  которой  V/ ( р ) .  Полагая  р  = у С»,  получаем  функ-

31

цию 

IV 

( ](}),   называемую  частотной  характеристикой  системы.  Отделив  в 

частотной характеристике вещественную и мнимую части,  запишем

ж ( / а  ) = р { п ) + ] < 2 ( п ) .

М ежду частотными характеристиками сущ ествует связь:

^ ( 0 )  = А/[ Р ( П ) ] 2 + [ е ( 0 ) ] 2  ;

<р(П) = агс1§

6 ( п ) .

Р ( П )  = Л ( П ) - с о з ^ ( О ) ;

<2(П) = ^ ( О ) - з т ^ ( О ) .

При  анализе  и  синтезе  электротехнических  систем  в  основном  при­

меняются амплитудные частотные характеристики.

Определим  амплитудную  частотную  характеристику  системы  с  пе­

редаточной функцией:  ,

1

Г ( р )  =

IV ( ] П )  = 

Л (П )

В хр  

+ 1

1 

1 - у Д О

1

- - г

В, О

1

 +А П  

1

- /

2

Ш  в{аг -\-1 

В\0.  +1

1

^ [ в , 2П 2 + 1 ]2 

{ 1

Определим  амплитудную  частотную  характеристику  системы  с  пе­

редаточной функцией:

С\Р  . 

.

Г ( р )  =

В , р  + 1

32

^ ( / о )  =

Л ( 0 )  =

1 + 

1-  /5,0

5,20 2 +1 •

 с,2о 2

^5,20 2  +1^

- + / •

С, О

с, о

+1

Определим  амплитудную  частотную  характеристику  системы  с  пе­

редаточной функцией:

Щ р )  = ----- — 1----------- ;

В2р  +Вхр 

+ 1

^ ( / 0 )  =

I

(1 - 5 20 2)--/5 ,0

(1 -  520 2) + /5,0  (1 -  

В2

О2] -  /5,0 

1 -5 20 2

5,0

(1 -  5 20 2 )2  + 5,20 2 

(1 ~  5 20 2 ]2 + 5,2 О 2

А (О ) :

I

1 -5 20 2)  4-5,20 2

( 1 - В 2П 2 )2  + В ?О г Т  

+ К

+'

Определим  амплитудную  частотную  характеристику  системы  с  пе­

редаточной функцией:

Ж ( р ) = -------Л В . ------- ;

В2р2+Вхр 

+ 1

33

Г (у П ) :

уС.П 

(1 ~ В 2П2) - ] В1П

(1 -  в

2

п2) + а п   (1 -  в

2

п2) -  а °

( 1 -В 2П2 )-С,П

В & О ?

(1

 -  В2П 2 )2  + В 2П 2 

(1

 -  В2П 2 )2  + В 2П 2

А ( П )  =

(

1

- В

2

П

2 )2

  + в ?  п 2

•с^п

2

|  

(1

 -  в 2п 2 )2  + В2П 2

С |0

^ В 22П 4 + (

в

,2  - 2 В а ) . П 2  +1

О пределим  амплитудную  частотную  характеристику  системы  с  пе­

редаточной  функцией:

Ч

р

)  

2, Р  + ‘ 

•

В2р   + В1лр +1

ж(./п) =

1 + ус,о 

( 1 - г А - Д О

(1 -  в

2

п2) + а п   (1 -  в

2

п2) -  А П

( 1 - В 2П 2) + В1С1П 2 

( 1 -В 2П2) А П - А П  

( 1 - в 2п 2)2 + А2п 2 

( 1 - В 2П 2)2 + В!2П 2

Л (П ) =

(1 - Я 20 2 ) 4-

{ \ - - в 2п 2 } с хп - в )о.

^ 1 - 5 2Г22 )  + В 2П 2

( ] - В 2П 2 ^   + В ^ П 2 - С 2П 2  + 1

\ - в 2п 2 ' 2  +В{ С12

2

С 2П 2 + 1

я | 0 4 + ( я ,2 - 2 # 2) - 0 2 + Г

О пределим  амплитудную   частотную  характеристику  системы 

редаточной функцией:

^ ( р ) = —

г ^ - ---------;

В2р   + В хр  + 1

* ( № ) :

- с 2о 2 

I1 “ В2^ 2) ~ 

_

1 -  Я20 2 ) + ]В]П   ^1 -  В2П 2 ) -  ;В 1С1 

-(1  - В 2П 2 ) - С 2П 2 

ВхС2&

( \ - В 2П 2 ^

2^2

+ 

вхп

(1 -Я

2

П2)

2гл2

+ В]  О.

А ( а )  =

1

( \ - В 2а 2 ^  + Я20 2 ■

 с | о 4

( 1 - 5 2П 2 )2 + В 2П 2

СпП1

^

з

| 0 4 + (

л

,2 - 2 5 2 ) - 0 2 +1

35