Файл: PIT_Metodichka_po_peredatochnym_funktsiam.pdf

Вариант 4.  Если  выполняю тся условия:

|(5 !2 - 2 В 2) > 0 ;

\ ( В % - 2 В 1В3) > 0 ,  

то амплитудная частотная характеристика не имеет экстремумов.

Если выполняю тся условия:

| ( ^ 2 - 2 5 2) = 0;

{(Б 22 -  2 В Д  = 0,

то  амплитудная  частотная  характеристика  имеет  второй  и  третий  экстре­

мумы  также  при 

= 0.  П ри  этом  амплитудная  частотная  характеристика 

имеет  максимально  возможную  полосу  пропускания,  т.е.  максимально 
плоская.

Если принять, что

В{ = Т ,

ТО

В2  = —Г 2;

2 

2

в

3

 = -т3.

3 

8

Таким  образом,  эталонная  передаточная  функция  третьего  порядка 

имеет вид

В

Д

- !  

з  , 

1  \   2 

' 

(4'5)

- Т 3р 3 + - Т 2р 2 +Тр + 1 

8 

2

Х арактеристическое  уравнение  эталонной  передаточной  функции 

третьего порядка

- Г  V  

+ - Т 2р 2 +Тр 

+ 1 =  0.

8 

2

Или

\ Гр + !) ' {^А

,Т2р2

 + 

2

 Г/? +1) = О’

Корни  характеристического  уравнения  эталонной  передаточной 

функции третьего порядка

Тр\  = - 2 ; 

1

' 

(4-6)

7 > 2 ;3 = - 1 ± У ^ '. |

41

При  этом  эталонная  переходная  характеристика  и  эталонная  ампли­

тудная  частотная  характеристика  системы  третьего  порядка  соответствен­
но равны  [6]:

г~ 

{

/ьп(0~1 —~

~

ту

?

-зшТз——е

4  I  

1

Аз о -   г:

*   а \ — Г 6П 6 + 1

г  V 64

(4.7)

(4.8)

, , У ' хи

*  ,3 

4.3  Эталонная передаточная функция четвертого порядка

Передаточная  функция системы четвертого порядка имеет вид

Щ о (р ) =

Т 

з  ~ 

о------------------- •

В4р4 + Вгръ + В2р2 + В{р 

+ 1

Т акой  передаточной  функции  соответствует  амплитудная  частотная 

характеристика

Л40(О) = ГВ}0* + (5 32 -  25 25 4) ■

 О6 + (5 22 -  25,53 + 254) ■

 О4 4-

4-(52 - 2 5 2) - 0 2 +1

Возьмем  частную   производну’Ю  амплитудной  частотной  характери­

стики по угловой частоте и приравняем её к нулю:

дЭ40( О )   _  

1 

ВП 

~  2

85 | п 7 + 6 • (53  -  2525 4) • а 5 4-

+4 • (В | -  25,5 , 4- 254) ■

 О3 4- 2 • (Я,2 -  252) ■

 О

х Г 5 |о 8 4- (5 32 -  2525 4) • О 6 + (5 22 -  25,53 + 254) ■

 П4 + 

_3

4-(512 - 2 5 2) - П 2 4-1]  2 - о .

Отсюда следует, что

О •

 [45|О0 + 3 •

 (53  — 

2В2В4) ■

 Пц + 

&

э2/-,6

4-2 • (В | -  25,5 3 4- 254) • О2 4-(5,2  -  2В2)

=  

0

.

Таким  образом,  амплитудная  частотная  характеристика  всегда  имеет 

один экстремум при  Г2 = 0.  При этом  Д ,о := * •

42

Вариант  1.  Если выполняю тся условия:

(Вх

  -  

2В2) <

 0;

•  ( В | - 2 # , # 3 + 2 в 4) > 0 ;

(В?]-2В2В4)>(),

то амплитудная частотная характеристика имеет ещ ё один экстремум. 

Вариант 2.  Если  выполняются условия:

\&1  ~  2В2) < 0;

*

(В2  2>В\В^

 4- 

2В

4) < Ор 

(В^-2В2В4)>0,

то  амплитудная частотная характеристика имеет ещё один экстремум. 

Вариант 3.  Е сли выполняю тся условия:

(В?-2В2)<0-,

■

 (В%-2В]В3 + 2ВЛ)>0-,

(В 1  -   2 В 2Ва ) <

 0,

то амплитудная частотная характеристика имеет ещё один экстремум. 

Вариант 4.  Если выполняю тся условия;

\ В \   ~ 2В2) > 0;

<(В2-2В1В3 + 2В4)<0;

(В$-2В2В4)>0,

то амплитудная частотная характеристика имеет ещ ё два экстремума. 

Вариант 5.  Если выполняю тся условия:

\ в ? -

2

В2) >

0

-

■

(В1 -2ВХВЪ + 2В4

 )<0;

(Вх

  -  

2В2В4)

 < 0,

то амплитудная частотная характеристика имеет ещ ё два экстремума.

В  соответствии  с  правилом  знаков  Декарта  можно  определить,

сколько  ещё экстремумов  имеется у  амплитудной частотной характеристи­

ки.

43

Вариант 6.  Если выполняются условия:

~ 2В2) > 0;

-  ( В |- 2 В , В 3 + 2В4) > 0 ; "

(В32 - 2 В 2В4) < 0 ,

то  амплитудная частотная характеристика имеет ещ ё два экстремума. 

Вариант 7. Если выполняю тся условия:

{В\  -  2В2) < 0; 

, 

;;  . 

;

•  (В 2 — 2В]В3  + 2В4) > 0; 

'  -

(В32 - 2 В 2В4) < 0 ,

то амплитудная частотная характеристика имеет ещё три экстремума. 

Вариант 8.  Если выполняю тся условия:

'(В,2 - 2 В 2) > 0 ;

■

  (В2 - 2 В 1В2 + 2 В 4) > 0 ;

(В 2 - 2 В 2В4) > 0,

то амплитудная частотная характеристика больше не имеет экстремумов. 

Если выполняю тся условия:

(В 2 ~ 2В2) = 0;

■

  ( В | -  2В;В3 + 2В4) = 0;

(В32 - 2 В 2В4) = 0,

то  амплитудная  частотная  характеристика  имеет  второй,  третий  и  четвер­
тый экстремумы также  при  О  = 0.  При этом  амплитудная  частотная  харак­
теристика имеет максимально  возможную  полосу  пропускания,  т.е.  макси­
мально плоская.

Если принять, что

вх=т,

ъ з Л т \

4 

8

Таким  образом,  эталонная  передаточная  функция  четвертого  порядка 

имеет вид

* ' « 0 ’) - Т - г т г  

Г У Г ----------- 5-------------------' 

(4 9 )

у

 +  

2

_ л  

1

8 

4 

^  

2 

■

Х арактеристическое  уравнение  эталонной  передаточной  функции 

четвертого порядка

3 - 2 л /2  

4 + 

3  3 + 1 Г2  2 + т  + ! = 0

8 

4 

2

Или

^

г

У

+ ^

+ Д С 2 - ^

- 2 . 2 - ^

4 

2

\

- Т Ар А + -----   — 7д> +  1

=  

0

.

Корни  характеристического  уравнения  эталонной  передаточной 

функции четвертого порядка

тР\-,2  = -( > /2 + 1 )  ±У;  |

7>3.4 = - 1 ± у ( 7 2 + 1 ) . |

(4.10)

П ри  этом  эталонная  переходная  характеристика  и  эталонная  ампли­

тудная  частотная  характеристика  системы  четвертого  порядка  соответ­

ственно равны   [6]:

Д« о(0  =  1-

5111 | ч / 2   +

1

-

 с о з ^ л / 2   + 1 1

1

~т

2 + 4 2 (   .  I 

Л  

~(>/2+1)~

з т — +  

С03—  -е

2 

[ 

Т  

Т

т.

(4.11)

45