ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.06.2019
Просмотров: 11544
Скачиваний: 241
w
w
Задняя поверхность
лопасти
Передняя поверхность
б
а
лопасти
Рис. 1.14. Схема распределения относительных скоростей
в потоке между лопастями:
а – по струйной теории; б – при конечном числе лопастей
Указанные допущения называются
схемой бесконечного числа лопа-
стей
. Эти допущения до определенной степени идеализируют, упрощают
характер движения жидкости в межлопастном пространстве. Однако, при-
няв их, можно без значительных погрешностей получить основные расчет-
ные соотношения центробежных насосов, объяснить влияние геометриче-
ских и режимных параметров на напор, подачу, мощность, КПД насоса.
В действительности относительные скорости
w
частиц жидкости, ле-
жащих на одной окружности, неодинаковы (рис. 1.14,
б
). Давление на ли-
цевой стороне лопасти (передняя сторона лопасти по отношению к на-
правлению её движения) больше, чем на её тыльной стороне. Согласно
уравнению Бернулли, чем больше давление, тем меньше скорость. Поэто-
му относительная скорость частиц, движущихся вдоль лицевой стороны
лопасти, меньше относительной скорости частиц, движущихся вдоль её
тыльной стороны. Траектории частиц, непосредственно примыкающих к
лопасти, совпадают с ней по форме. Траектории же остальных частиц не-
сколько отличаются.
Отличия реальных условий движения жидкости в межлопастных ка-
налах от идеализированной схемы бесконечно большого числа лопастей
струйной модели потребуют корректировки полученных решений. Абсо-
лютную скорость
C
можно разложить на две составляющие: окружную
С
→
U
и радиальную
С
.
R
Окружная составляющая абсолютной скорости представляет собой
проекцию абсолютной скорости на направление касательной к окружности
и равна:
α
= cos
C
C
U
, (1.34)
31
а радиальная составляющая представляет собой проекцию
С
на направле-
ние радиуса рабочего колеса:
α
= sin
C
C
R
, (1.35)
где
α − угол между абсолютной
С
и окружной
U
скоростями (см. рис.
1.13).
Абсолютная скорость
С
связана с окружной
С
U
и радиальной
С
R
соот-
ношением:
2
2
2
R
U
С
С
С
+
=
. (1.36)
Величина радиальной составляющей
С
R
определяет подачу насоса, а
окружная составляющая
С
U
влияет на величину напора.
1.6. Основное уравнение центробежных насосов
Основное уравнение лопастных насосов можно вывести на основа-
нии уравнения моментов количества движения. Пусть тело
М
массой
m
(рис. 1.15) движется со скоростью
С
.
Количеством движения
называ-
ется вектор, равный по величине про-
изведению массы тела на его скорость
и направленный вдоль вектора скоро-
сти. Спроектировав количество дви-
жения на направление, перпендику-
лярное лучу, проведенному к телу
М
из точки
О
, и умножив полученную
проекцию на расстояние
ОМ = R
, по-
лучим момент количества движения
тела относительно точки
О
:
mc
C
α
M
L mC
R
. (1.37)
cos
=
α
R
Производная по времени от мо-
мента количества движения механиче-
ской системы относительно неподвиж-
ной точки равна главному моменту
всех внешних сил, приложенных к сис-
теме относительно той же точки, т. е.
О
Рис. 1.15. Момент количества движения
32
M
dt
dL Δ
=
. (1.38)
Используем приведенные положения механики для объема жидкости,
заключенной в канал между лопастями насоса (см. рис. 1.13). Выделим кон-
трольными поверхностями А и В объем жидкости, находящейся в канале.
Через промежуток времени dt объем жидкости АВ переместится в положе-
ние А'В'. Изменение момента количества движения жидкости за время dt:
dL = L
A'B'
– L
AB
. (1.39)
Момент количества движения жидкости в объеме А'В' равен сумме
моментов количества движения жидкости в объёмах А'А и В В':
B
B
B
A
B
A
L
L
L
′
′
′
′
+
=
, (1.40)
а момент количества движения жидкости в объеме АВ равен сумме момен-
тов количества движения в объемах АА' и В'В:
B
A
A
A
AB
L
L
L
′
′
+
=
. (1.41)
Подставляя формулы (1.40) и (1.41) в формулу (1.39), получаем:
A
A
B
B
L
L
dL
′
′
−
=
. (1.42)
Объем ВВ' равен объему жидкости, вытекающей через поверхность В
за время dt, т. е. равен
Δ
Qdt, а масса жидкости, заключенная в объеме ВВ',
равна
ρ
BB
m
Q
′
dt
= Δ
, (1.43)
где
ΔQ – расход жидкости в одном межлопастном канале.
= m =
ρΔQdt.
Для несжимаемой жидкости объем АА' = ВВ' и m
AA′
BB′
Моменты количества движения массы жидкости, заключенной в объ-
емах ВВ' и АА', равны соответственно:
2
2
ρ
cos α
BB
L
QdtC
′
2
R
= Δ
,
1
1 1
AA
R
′
,
(1.44)
ρ
cosα
L
QdtC
= Δ
где C
1
cos
α
1
и C
2
cos
α
2
– проекции абсолютной скорости на входе и выходе
из рабочего колеса на направление касательной к внутренней и внешней
его окружности (см. рис. 1.13); R
1
и R
2
– внутренний и наружный радиусы
рабочего колеса. Подставляя формулу (1.44) в формулу (1.42), получаем:
1
1
1
2
2
2
cos
cos
R
QdtC
R
QdtC
dL
α
Δ
ρ
−
α
Δ
ρ
=
,
)
cos
cos
(
1
1
1
2
2
2
R
C
R
C
Q
dt
dL
α
−
α
Δ
ρ
=
.
или
33
С учетом формул (1.38) и (1.34) запишем:
. (1.45)
)
(
1
2
1
2
R
C
R
C
Q
M
U
U
−
Δ
ρ
=
Δ
Это изменение момента количества движения происходит за счет мо-
мента сил, с которыми стенки канала действуют на жидкость. Полученное
уравнение может быть распространено на все рабочее колесо, представляю-
щее собой систему каналов. В этом случае под Q следует понимать расход
жидкости через колесо, под
– момент сил, с которым
рабочее колесо воздействует на находящуюся в нем жидкость (здесь n – ко-
личество межлопастных каналов). Таким образом, для рабочего колеса
∑
=
Δ
=
n
i
M
M
1
∑
=
Δ
=
n
i
Q
Q
1
к
. (1.46)
)
(
1
2
к
1
2
R
C
R
C
Q
M
U
U
−
ρ
=
Секундная работа (мощность), которую производит рабочее колесо,
воздействуя на находящуюся в нем жидкость, равна произведению момен-
та М на угловую скорость рабочего колеса
ω. Эта работа равна энергии,
передаваемой рабочим колесом жидкости за единицу времени, или гидрав-
лической мощности N .
г
Тогда N = N
ω или, с учетом (1.46):
г
. (1.47)
ω
−
ρ
=
)
(
1
2
к
г
1
2
R
C
R
C
Q
N
U
U
Так как R
1
ω = U
1
– окружная скорость рабочего колеса на входе и
R
2
ω = U
2
– окружная скорость рабочего колеса на выходе, то:
. (1.48)
)
(
1
2
к
г
1
2
U
C
U
C
Q
N
U
U
−
ρ
=
Ранее получено уравнение (1.15), в соответствии с которым
т
к
г
H
gQ
N
ρ
=
,
следовательно,
g
U
C
U
C
g
U
C
U
C
H
U
U
1
1
1
2
2
2
1
2
т
cos
cos
1
2
α
−
α
=
−
=
. (1.49)
В уравнении (1.49) Н
т
– напор, который создал бы центробежный на-
сос с бесконечным числом бесконечно тонких лопастей, если бы он пере-
качивал абсолютно невязкую жидкость, т. е. без учета потерь напора в на-
сосе (без учета
η ).
г
Уравнение (1.49) и есть основное уравнение центробежных насосов.
Оно впервые было получено Л. Эйлером в 1755 г. и называется уравнением
Эйлера. Оно связывает напор насоса со скоростями движения жидкости,
34
которые зависят от подачи, числа оборотов рабочего колеса, геометрии ло-
пастей (
α, R).
Уравнение (1.49) дает возможность по заданному напору, подаче и
числу оборотов рассчитать выходные элементы рабочего колеса. Очерта-
ние лопастей рабочего колеса зачастую принимается таким, что жидкость
входит в рабочее колесо в радиальном направлении, и угол
α
1
между ско-
ростями C
1
и U
1
равен 90°, а cos
α
1
= 0. Для таких насосов
2
2
2
т
cosα
C U
H
g
=
. (1.50)
Действительный напор, создаваемый рабочим колесом, меньше теоре-
тического при бесконечном количестве лопастей Н < Н
т
. Во-первых, это
объясняется тем, что часть энергии, получаемой жидкостью в рабочем ко-
лесе, затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений в про-
точной части машины. Эти потери учитываются гидравлическим КПД (
η
г
).
Во-вторых, указанное неравенство обусловлено отклонением действитель-
ной картины течения от предполагаемой струйной при бесконечном коли-
честве лопастей. Это учитывается введением поправочного коэффициента
ε
z
на конечное число лопастей
г
т
η
=
z
ε
H
H
. (1.51)
Гидравлический КПД современных центробежных машин оценивает
гидравлическое совершенство проточной части их и лежит в пределах
0,80–0,96. Поправочный коэффициент
ε
z
< 1 зависит от конструкции рабо-
чего колеса и определяется по полуэмпирическим формулам, например, по
формуле Стодолы:
2
2
sin
1
ε
2
β
π
−
=
z
C
U
U
z
, (1.52)
где z – число лопастей;
β
2
– угол между относительной и окружной скоро-
стями на выходе из рабочего колеса, т. е. угол, который характеризует кри-
визну лопасти (рис. 1.16). Остальные обозначения приведены выше. Зна-
чение поправочного коэффициента
ε
z
в ориентировочных расчетах можно
принять
ε
z
= 0,8–0,7.
Задачи
1.18. Определить величину теоретического напора, развиваемого цен-
тробежным насосом, при следующих данных: С = 2 м/с, d
1
= 100 мм,
α
1
= 90°, n = 2000 об/мин, С = 20 м/с, d = 250 мм, α
2
2
= 45°.
1.19. Рабочее колесо центробежного насоса имеет входной и выход-
ной радиусы R
1
= 100 мм и R
2
= 200 мм, ширину на входе b
1
= 100 мм и
35