ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3456
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
Точный симплектоморфизм, по определению,
––
это конечный член од-
нопараметрического семейства диффеоморфизмов, порожденного движе-
нием точек симплектического фазового пространства под действием неко-
торой гамильтоновой системы. Здесь функция Гамильтона может зависеть
от времени. Требование
точности
заключается в том, что гамильтониан
должен быть однозначной функцией, а не просто замкнутой 1-формой.
Поворот тора (не имеющий неподвижных точек) служит примером не-
точного симплектоморфизма. В размерности 2 симплектоморфизмы
––
это
просто диффеоморфизмы, сохраняющие площадь. В высших размерностях
они определяются сохранением обобщенной площади (которая являет-
ся замкнутой невырожденной 2-формой, называемой
«
симплектической
структурой
»
и
«
интегральным инвариантом Пуанкаре
»
, или
«
гильбертовым
инвариантным интегралом
»
).
Сформулированная выше теорема была опубликована как гипотеза
А. Пуанкаре (сразу после его смерти) для плоского кругового кольца,
и в этом случае она была позднее доказана Г. Д. Биркгофом. Я опу-
бликовал общую гипотезу, сформулированную выше, (доказав ее при
некоторых ограничениях) в 1965 г., но эта статья оставалась непрочитанной
почти 20 лет, поскольку она была напечатана на французском языке
(в C. R. Acad. Sci. Paris).
Позже эта
«
гипотеза Арнольда
»
послужила толчком к большому раз-
витию симплектической топологии (замечательны работы Конли, Ценде-
ра, Громова, Элиашберга, Шапрона, Лоденбаха, Сикорава, Флёра, Хофе-
ра, ...). Возможно, теория гомологий Флёра (со своими приложениями к
топологии и квантовой теории поля) является наиболее известным продук-
том развития, порожденного этой проблемой.
В прошлом году мне сообщили, что
«
гипотеза Арнольда
»
окончательно
доказана (независимо несколькими соревнующимися командами, включа-
ющими Фукая, Оно, Руана и многих других; все они использовали технику
Концевича). К сожалению, я не могу проверить, верны ли окончатель-
ные доказательства. Доказанное утверждение является, возможно, более
слабым, чем моя изначальная оптимистическая формулировка, приведен-
ная выше (и основанная на неформальной аналогии между лагранжевыми
многообразиями и
«
многозначными производящими функциями
»
рацио-
нальной механики).
В любом случае я рассматриваю прогресс на пути к доказательству тео-
ремы о симплектических неподвижных точках (и ее версии для пересечений
лагранжевых многообразий) как одно из главных достижений математики
прошедшего века.
81
i
i
i
i
i
i
i
i
§ 3. Симплектические упаковки
Если совокупность шаров в евклидовом пространстве может быть вло-
жена в больший шар с помощью сохраняющего объемы диффеоморфного
вложения, то объем большего шара должен быть больше, чем общий объ-
ем шаров, которые требуется вложить. Для возможности симплектической
упаковки в размерности 2 это ограничение является и достаточным.
Однако в симплектическом пространстве размерности большей двух
такая упаковка в шар большего объема не всегда возможна. М. Л. Громов
заметил, что
в четырехмерном пространстве два одинаковых шара
единичного объема не могут быть симплектически вложены без
самопересечений в шар объема два
. Позже Д. Макдаф и Л. Полтерович
подсчитали максимальную часть большего 4-шара, которая может быть
симплектически покрыта с помощью
n
<
10 одинаковых непересекающихся
меньших шаров: только 50
%
для
n
=
2 шаров и только 75
%
для
n
=
3
(в то время как для
n
=
4 или 9 ограничений нет, что легко следует из
существования разбиения треугольника на 4 или 9 конгруэнтных меньших
треугольников).
Недавно П. Биран доказал совершенно неожиданный результат в этой
области:
начиная с n
=
10
все эти ограничения громовского типа
исчезают и можно покрыть всю внутренность
(
за возможным ис-
ключением области, объем которой произвольно мал
)
с помощью
заданного большого числа n симплектических шаров одинакового
объема
.
Огромная часть всех этих достижений произошла из открытия (Д. Мак-
даф и Л. Полтеровичем) странной связи этой упаковки в симплектиче-
ской геометрии с алгеброй и комплексной алгебраической геометрией: эти
результаты (показывающие, например, что
критическое значение не-
покрытого объема для n
=
8
шаров равно
1
/
289
объема большего
шара
) основаны на нескольких работах, в которых даны контрприме-
ры к алгебраическим гипотезам Гильберта, связанным с его
«
14-й проб-
лемой
»
.
Продолжая эту цепь рассуждений, Биран использовал ее в обратном
направлении:
получая новые результаты на симплектической сторо-
не двойственности между симплектическими и голоморфными ми-
рами, он получал интересные новые неравенства между инвари-
антами
(
типа характеристических чисел
)
некоторых комплексных
алгебраических объектов
.
Эти новые результаты в алгебраической геометрии напоминают мне не-
равенство Мияоки для чисел Чженя. Однако положение дел в этой области
неравенств оставляет желать лучшего, даже для простейших обобщений
82
i
i
i
i
i
i
i
i
соотношений Плюккера. Например, неизвестно, чему равно
максимальное
число овалов параболической линии графика многочлена степени
n от двух переменных
: ответ (3 или 4) неизвестен даже для
n
=
4, а
асимптотика лучших из известных примеров для больших
n
равна
n
2
/
2, в
то время как из результатов Харнака вытекает асимптотическая верхняя
оценка 2
n
2
.
Для алгебраической поверхности степени
n
в
R
P
3
отношение известных
нижней и верхней оценок даже больше четырех: оно равно 20. К сожале-
нию, алгебраические геометры не умеют решать реальные вещественные
задачи.
§ 4. Неявные дифференциальные уравнения
В 1885 г. шведский король Оскар II объявил 4 призовых математиче-
ских проблемы. Две из этих проблем хорошо известны: задача трех тел
(неверно
«
решенная
»
в получившей премию работе А. Пуанкаре, которая
позже стала основой для его
«
Новых методов небесной механики
»
) и дина-
мика твердого тела (исследованная в знаменитой работе С. Ковалевской,
которая легла в основу теории вполне интегрируемых систем).
Менее широко известно, что одна из четырех проблем оставалась от-
крытой около 100 лет до ее окончательного решения А. Давыдовым, за-
мечательный результат которого я сейчас опишу. Формулировка задачи
была следующей:
построить качественную теорию неявных диффе-
ренциальных уравнений
(
подобную качественной теории Пуанкаре
для фазовых кривых векторного поля в окрестности особых точек,
в которых поле обращается в нуль
).
Давыдов свел изучение особых точек неявных дифференциальных урав-
нений к случаю нулей векторных полей, получив список нормальных форм,
к которым можно свести неявное дифференциальное уравнение (в духе
теории нормальных форм Пуанкаре для обыкновенных дифференциальных
уравнений).
А именно, неявное дифференциальное уравнение определяет поверх-
ность, вложенную в трехмерное пространство линейных элементов плос-
кости. Векторное поле, связанное с неявным дифференциальным уравне-
нием, живет не на плоскости независимых и зависимых переменных, а на
этой поверхности. Она естественным образом проектируется на плоскость
независимых и зависимых переменных с ветвлением над дискриминант-
ной кривой. Вдоль линии ветвления векторы поля вертикальны (касаются
слоя).
Приведя векторное поле на поверхности к нормальной форме Пуанка-
ре, Давыдов свел задачу о неявных уравнениях к изучению классификации
83
i
i
i
i
i
i
i
i
ветвлений векторных полей Пуанкаре (относительно разветвленной про-
екции поверхности на плоскость).
Замечательная теорема Давыдова говорит:
Эти ветвления не имеют новых инвариантов
:
они определяют-
ся, с точностью до диффеоморфизмов, полями Пуанкаре наверху,
а нормальные формы неявных дифференциальных уравнений навер-
ху определяются списком тех общих уравнений, для которых поля
Пуанкаре имеют фиксированные значения инвариантов
(
а именно,
фиксированные собственные значения линеаризованных уравнений,
которые являются единственными инвариантами классификации
Пуанкаре
).
Чтобы оценить эту фундаментальную теорию Давыдова, я должен за-
метить, что предыдущие работы в этой важной для приложений области
принадлежат многим специалистам (в топологии, динамических системах,
дифференциальных уравнениях, теории управления, плазменной физике,
уравнениях в частных производных типа Трикоми и т. д.), включая Р. Тома,
У. Брюса, Л. Дара, М. Чибрарио. Но эти предшественники Давыдова дока-
зали только более простые результаты о
топологической классификации
(которые сами по себе трудны в этой проблеме), и общее мнение о возмож-
ности дифференциальной классификации было довольно отрицательное.
Статья Давыдова является нечастым случаем классического фундамен-
тального результата, открытого лишь современными математиками, несмо-
тря на его пользу во многих приложениях.
§ 5. Небесная механика и диофантовы приближения
на подмногообразиях
Здесь я объясню (избегая технических деталей) очень важные недав-
ние результаты (М. Севрюка) из
теории возмущений гамильтоновых
дифференциальных уравнений
, принадлежащие той ее части, которая
известна как КАМ теория.
Новые результаты описывают эволюцию динамической системы, участ-
вующей в
быстром движении
с
n
частотами и в
медленной эволюции
параметров движения. Типичной моделью, из которой эта теория про-
изошла несколько столетий назад, служит планетная система со своими
быстрыми кеплеровскими движениями в сочетании с медленными
«
вековы-
ми
»
изменениями таких параметров кеплеровых эллипсов, как усредненное
расстояние от Земли до Солнца и т. д., вследствие взаимодействия планет.
Результат состоит в том, что
катастрофических изменений в си-
стеме не произойдет, благодаря тому, что некоторые характери-
стики кривизны медленной эволюции не обращаются в нуль тожде-
84
i
i
i
i
i
i
i
i
ственно
(
в частности, в случае планетных систем они не зануля-
ются
).
Сложность заключается в том, что эволюция может привести быстрое
движение к
резонансу
между его частотами, делая эргодическое движение
неустойчивым. При входе системы в резонанс могут последовать другие
сценарии эволюции, отличные от описанного усредненной системой, и ре-
зультатом теории является доказательство
малой вероятности
(малой
общей меры начального множества состояний)
этих опасных эволюций
(
обоснованное тем, что характеристики кривизны не зануляются
тождественно
).
Теория Севрюка опубликована им несколько лет назад совместно с его
нидерландскими сотрудниками: H. Broer, G. Huitema, M. Sevryuk. Quasi-
periodic motions in families of dynamical systems. Order amidst chaos. Berlin:
Springer-Verlag, 1996. (Lecture Notes in Mathematics, 1645).
В последние годы своей жизни М. Эрман изучал приложения сложной
теоремы Севрюка к небесной механике.
В обычных приложениях KAM теории к небесной механике (которые я
развивал в 1963 г.) используется условие невырожденности: необращение
в нуль некоторых определителей. В своей статье 1963 г. я доказал, что они
не обращаются в нуль для плоской задачи
n
тел и для пространственной
задачи трех тел.
М. Эрман посчитал этот определитель для пространственной задачи
четырех тел и заметил, что он обращается в нуль. Таким образом, мы
оказываемся в ситуации теоремы Севрюка, а не в рамках обычной KAM
теории (если число тел больше трех и нельзя пренебречь отклонениями,
делающими движение неплоским).
Я не читал работы Эрмана (незадолго до своей смерти он говорил мне,
что там будет более 500 страниц) и не знаю, содержит ли она ссылки на
работы Севрюка, как должно быть.
На самом деле я всегда знал о существовании этой проблемы, и я начал
работать над ней, опубликовав первый результат в этом направлении в
1965 г. Математически она сразу привела меня к проблеме
диофантовых
приближений на подмногообразии евклидова пространства и вли-
яния кривизны этого подмногообразия, затрудняющей сохранение
резонанса во время эволюции
.
Продолжив это исследование, мои ученики создали важную теорию
разрушения резонанса, исходя из кривизны подмногообразия быстрых ча-
стот. Старшим из моих учеников, начавшим эту работу по диофантовым
приближениям на подмногообразиях, был Г. Маргулис; позже его работа
была продолжена А. Пяртли, Ю. Ильяшенко, Н. Нехорошевым, В. Бахти-
ным, и наконец М. Севрюк приложил полученную теорию к гамильтоновым
85