ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3455
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
Комплексное решение
x
этого уравнения является (пятизначной) ком-
плексной алгебраической функцией от значения комплексного коэффици-
ента
a
. Когда коэффициент
a
непрерывно меняется, пять комплексных
корней уравнения тоже непрерывно меняются. Если менять коэффициент
так, чтобы у уравнения (2) ни в какой момент не было кратного корня,
то можно непрерывно следить за каждым отдельным корнем. И если в
некоторый момент значение коэффициента
a
вернется к своему исходному
значению, то и двигавшиеся непрерывно корни все вместе в конце будут
теми же, что и в начале, однако каждый отдельный корень может при этом
вернуться не на свое исходное место, а на место другого корня, как это
происходит, например, с корнями квадратного уравнения
x
2
+
a
=
0, когда
комплексный коэффициент
a
обходит вокруг начала координат.
В результате движения параметра
a
возникает перестановка пяти кор-
ней исходного уравнения (для квадратного уравнения это была бы просто
перестановка, переводящая корень
x
1
в корень
x
2
, а
x
2
––
в
x
1
).
Всевозможным (не приводящим по дороге к кратным корням) путям
движения коэффициента
a
от начального положения обратно к нему же от-
вечает некоторый набор перестановок корней начального уравнения. Этот
набор образует группу: если две перестановки реализуются движениями
коэффициента
a
, то можно реализовать и их произведение, состоящее в
последовательном применении сначала одной, а потом другой перестанов-
ки. Для этого коэффициенту
a
нужно пройти сначала первый замкнутый
путь, а потом второй. При прохождении пути в обратную сторону будет
реализована перестановка корней, обратная той, которую реализовывал
исходный путь (произведение прямой и обратной перестановок возвращает
каждый корень на свое исходное место).
Итак, все реализуемые путями в плоскости коэффициента
a
переста-
новки корней
x
образуют группу. Эта группа перестановок корней исходно-
го уравнения называется его
группой монодромии
(
«
однозначности вдоль
путей
»
).
Чтобы понять все это, полезно найти группу монодромии приведенного
выше уравнения (2). Оказывается,
эта группа состоит из всех
120
перестановок пяти корней исходного уравнения
.
Группа всех
n
! перестановок
n
предметов называется
n-й симметри-
ческой группой
и обозначается через
S
n
. Например, группу
S
3
можно
считать группой из шести симметрий правильного треугольника, вершины
которого она переставляет, а группу
S
4
––
группой из 24 симметрий пра-
вильного тетраэдра (в ней 12 вращений и 12 отражений), переставляет же
она четыре вершины тетраэдра.
Вращения образуют подгруппу
R
в этой группе симметрий: произведе-
ние двух вращений является вращением. Группа
R
не коммутативна.
16
i
i
i
i
i
i
i
i
В группе вращений тетраэдра есть еще замечательная подгруппа
G
из
4 элементов. Она состоит из трех вращений на 180
◦
вокруг осей, соединя-
ющих середины противоположных ребер, и из тождественного преобразо-
вания. Группа
G
коммутативна.
Группа вращений тетраэдра действует на тройке прямых, соединяющих
середины противоположных ребер. Указанная выше подгруппа состоит в
точности из всех тех вращений, которые переводят каждую из описанных
трех прямых в себя. Таким образом, мы получаем цепочку из трех групп
G
→
R
→
S
4
.
В группе симметрий тетраэдра
S
4
есть еще и другие подгруппы
––
например,
группа 6 симметрий, оставляющих на месте одну из вершин, или из двух
симметрий, переводящих в себя одно из ребер.
Эти подгруппы, однако, зависят от
«
случайного
»
выбора (вершины или
ребра), они меняются местами при перенумерации вершин (как говорят в
математике,
«
при изменении системы координат
»
). Напротив, группы
G
и
R
не зависят ни от какого произвола в выборе системы отсчета (т. е.
от нумерации вершин): они
инвариантны
относительно такого измене-
ния нумерации вершин (которое, например, превратило бы перестановку
1
→
2
→
3
→
1 в перестановку 2
→
4
→
1
→
2, если бы мы придали верши-
нам (1, 2, 3, 4) номера (2, 4, 1, 3)).
Инвариантные подгруппы называют также
нормальными делителя-
ми
. Всякий раз, когда подгруппа
B
группы
A
является нормальным делите-
лем, можно
«
разделить
A
на
B
»
и образовать новую группу
C
, называемую
факторгруппой
(и обозначаемую
C
=
A/B
). Элементами группы
C
явля-
ются
«
классы смежности
»
aB
элементов группы
A
по подгруппе
B
.
Класс смежности
aB
элемента
a
––
это множество (не подгруппа!) всех
произведений вида
ab
, где
b
––
любой элемент подгруппы
B
. Этот класс
––
подмножество группы
A
.
Умножение в
C
определяется как умножение представителей: (
a
1
B
)
×
×
(
a
2
B
)
=
a
1
a
2
B
. Класс
a
1
a
2
B
не зависит от от выбора представителей
a
1
и
a
2
классов
a
1
B
и
a
2
B
, а только от самих классов, если подгруппа
B
––
нормальный делитель. Факторгруппа
Z
/n
Z
группы целых чисел по
подгруппе чисел, делящихся на
n
, называется группой вычетов по модулю
n
и состоит из
n
элементов.
Полезно иметь в виду построенную выше цепочку (
«
из трех групп и
двух отображений
»
)
1
→
B
→
A
→
C
→
1
.
Стоящая дополнительно слева единица означает, по определению, что ото-
бражение
B
→
A
––
вложение подгруппы (т. е. что образы разных элемен-
17
i
i
i
i
i
i
i
i
тов всегда разные). Стоящая дополнительно справа единица означает, по
определению, что образ отображения
A
→
C
покрывает группу
C
цели-
ком. Каждая стрелка по определению переводит произведение любых двух
отображаемых объектов в произведение их образов (такие отображения
называются
гомоморфизмами
).
Каждая соседняя пара стрелок в нашей строке из четырех стрелок
обладает тем свойством, называемым точностью, что
выходящий из сред-
ней группы гомоморфизм переводит в
1
в точности весь образ при-
водящего в среднюю группу слева гомоморфизма
.
Цепочка (в ней может быть и больше групп и гомоморфизмов) на-
зывается
точной последовательностью
, если в каждой средней группе
выполнено указанное и подчеркнутое выше свойство точности.
Факторгруппы по нашим специальным нормальным делителям легко
вычислить. Эти группы
S
4
/R
,
R/G
,
G/
{
1
}
состоят из двух, трех и четырех элементов соответственно, и
каждая из
них коммутативна
.
Чтобы все это понять, полезно рассмотреть еще группу
B
всех сим-
метрий куба. В ней 48 элементов. У куба четыре большие диагонали.
Симметрии куба переставляют их. Мы получаем гомоморфизм
B
→
S
4
,
сопоставляющий симметрии куба перестановку диагоналей. Образом явля-
ется вся группа 24 перестановок диагоналей.
В тождественную перестановку 1 отображаются две симметрии куба:
тождественная и антиподальная (симметрия относительно центра). В част-
ности, подгруппа из 24 вращений куба отображается на группу
S
4
пере-
становок диагоналей изоморфно.
Теперь нужно посмотреть, какие из подгрупп группы всех симметрий
куба являются в ней нормальными делителями.
Основное для теории разрешимости уравнений в радикалах понятие
теории групп
––
это понятие
разрешимой группы
. Разрешимость
––
это
«
составленность из коммутативных составляющих
»
. Группа
G
называется
разрешимой
, если для нее существует такая цепочка нормальных делите-
лей
1
→
G
1
→
G
2
→
. . .
→
(
G
n
=
G
)
(
G
k
––
нормальный делитель в
G
k
+
1
), что все факторгруппы
G
k
+
1
/G
k
ком-
мутативны.
18
i
i
i
i
i
i
i
i
Выше мы показали, что группа
S
4
симметрий тетраэдра разрешима.
Еще легче проверить разрешимость группы
S
3
симметрий правильного
треугольника.
Ненамного сложнее доказать разрешимость группы
B
симметрий куба.
Но самым замечательным является тот факт, что
группа S
5
всех
120
перестановок пяти элементов уже неразрешима
. Эта неразреши-
мость следует из того, что
единственный имеющийся в группе S
5
не-
тривиальный нормальный делитель
–
–
это группа из
60
четных пе-
рестановок. А она уже не имеет нетривиальных нормальных дели-
телей
(
тривиальные
–
–
это
1
и сама группа
).
Доказательства этих свойств группы перестановок из пяти элемен-
тов можно извлечь из свойств додекаэдра
––
правильного многогранника,
имеющего 12 (отсюда
«
додека
»
, греческое
«
двенадцать
»
) пятиугольных
граней, сходящихся по 3 в 20 вершинах и пересекающихся по 30 ребрам.
В додекаэдр можно вписать пять кубов, вершинами каждого из которых
является часть вершин додекаэдра. С этой целью начнем с одной из пяти
диагоналей грани. На двух соседних гранях, сходящихся в конце этой
диагонали, тоже выберем по проходящей через эту вершину диагонали
грани (так, чтобы три сходящиеся в этой вершине додекаэдра выбранные
диагонали граней переводились друг в друга сохраняющим эту вершину
вращением додекаэдра). Продолжая этот процесс выбора диагоналей в
вершинах уже построенных диагоналей граней, мы будем получать все
новые диагонали граней и вершины, пока не построим все 8 вершин иско-
мого куба и все 12 его ребер (являющихся диагоналями двенадцати граней
додекаэдра).
На каждой грани додекаэдра мы получим таким путем одну диагональ.
Если бы мы начали с другой из пяти диагоналей исходной грани, то по-
строили бы другой из пяти вписанных в додекаэдр кубов.
Описанная здесь конструкция была использована Кеплером при ана-
лизе планетных орбит и поиске закона распределения расстояний планет от
Солнца в геометрии правильных многогранников, вписанных друг в друга.
Он называл это
«
гармонией мира
»
.
Проделав такую же конструкцию с диагоналями граней для исходного
куба вместо додекаэдра, мы получили бы два тетраэдра, вписанных в куб
(вместо пяти кубов, вписанных в додекаэдр). Это построение тетраэдров
позволяет легко доказать разрешимость групп симметрий и вращений куба,
а с ними
––
разрешимость в радикалах уравнений четвертой степени.
Для додекаэдра и группы
S
5
анализ подгрупп и нормальных делителей
немного сложнее, но тоже в принципе прост: перемножая симметрии, лег-
ко проверить, что подгруппа обязательно совпадает со всей группой
S
5
,
если она содержит хотя бы одну симметрию, переставляющую пять кубов
19
i
i
i
i
i
i
i
i
нечетным образом, и удовлетворяет принципу относительности (
«
незави-
симости подгруппы от выбора координат
»
), определяющему нормальные
делители.
Дело в том, что принцип относительности доставляет вместе с данной
(нечетной) симметрией так много других (получающихся из нее какой-либо
еще симметрией, действующей как перевыбор системы координат), что из
их произведений составляется уже вся группа
S
5
.
Из неразрешимости группы
S
5
перестановок пяти элементов следует и
неразрешимость групп перестановок б
´
ольшего числа элементов
S
6
,
S
7
, ...
Возвращаясь к теореме Абеля, я скажу только, что группа монодромии
корня степени
m
(
x
=
a
1
/m
)
––
коммутативная группа (группа вычетов по
модулю
m
). А
группа монодромии комбинации нескольких коренных
функций составляется из монодромий составляющих ее радикалов
(
коренных функций
) так, что группа монодромии комбинации оказыва-
ется разрешимой.
Поэтому общее уравнение степени 5 или выше неразрешимо: ведь его
группа монодромии неразрешима (что следует, как это объяснено выше, из
анализа симметрий додекаэдра и их действий на 5 вписанных в додекаэдр
кубов).
Таким образом, доказательство теоремы Абеля соединяет все части
математики: геометрию (додекаэдр), алгебру (разрешимые группы), топо-
логию (монодромия) и даже (хотя об этом я выше не говорил) теорию
чисел (алгебраических). Анализ тоже появляется здесь
––
в виде теории
римановых поверхностей, и я скажу сейчас об этом несколько слов.
Абелевым интегралом
называется интеграл от рациональной функции
от двух переменных, связанных между собой алгебраическим уравнением:
I
=
]
H
(
x
,
y
)
=
0
R
(
x
,
y
)
dx
,
где
R
––
рациональная функция, а
H
––
многочлен (определяющий ту алге-
браическую кривую
{
H
=
0
}
, вдоль которой ведется интегрирование).
Это
––
прямое обобщение классических
«
табличных интегралов
»
Нью-
тона, включающих в себя квадратные корни, или интегралов от раци-
ональных комбинаций тригонометрических функций, или эллиптических
интегралов, выражающих длину эллипса или его дуги, включающих ква-
дратные корни из многочленов степени 4, и т. д.
В этом случае радикалов для выражения интегралов явно недостаточно
(появляются, как все знают, еще и логарифмы, арксинусы, арктанген-
сы и т. д.). Аналогом разрешимости в радикалах является в этом случае
возможность
интегрирования в классе элементарных функций
, т. е.
возможность представления интеграла в виде конечной комбинации ради-
20