ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4937
Скачиваний: 5
Ðîçäië
1
22
90.
Знайдіть 12 % від числа: а) 45; б) 2,5.
91.
Знайдіть число, 15 % якого дорівнює: а) 300; б) 0,6.
Багатьом фахівцям часто доводиться виконувати обчи слен ня
за умови, якщо деякі значення виражено у відсотках. Коротко
їх називають
відсотковими розрахунками
.
Нагадаємо, що
відсоток
– це сота частина.
1 %
=
0,01, 10 %
=
0,1, 100 %
=
1.
П р и м і т к а.
Відсотки часто називають процентами, а за мість
«скільки відсотків» іноді кажуть «який відсоток».
Існує три основні види задач на відсотки:
знаходження відсотків від числа
;
знаходження числа за відсотками
;
знаходження відсоткового відношення двох чисел.
Розглянемо приклади таких задач.
Потрібно зорати поле, площа якого дорівнює 300 га. За
перший день трактористи виконали 40 % завдання. Скільки
гектарів зорали вони за перший день?
За перший день трактористи зорали 120 га, що ста новить
40 % поля. Знайдіть площу всього поля.
Потрібно зорати поле, площа якого дорівнює 300 га. За
перший день трактористи зорали 120 га. Скільки від
сотків
усього поля вони зорали за перший день?
Спробуйте розв’язати кожну із цих задач кількома спосо ба ми,
замінивши 40 % дробом 0,4 чи
Такі задачі зручно розв’язувати
способом пропорції
. Офор м -
люва ти розв’язання сформульованих задач можна так:
300 га – 100 %,
х
га – 40 %.
120 га – 40 %,
х
га – 100 %.
300 га – 100 %,
120 га –
х
%.
Крім трьох основних видів задач, існують також склад ніші
задачі на відсотки. Насамперед це задачі, в яких ідеться про
збільшення чи зменшення чого9небудь на кіль
ка відсотків, і
обернені до них. Розв’язуючи такі задачі, уточнюйте насам
-
3
2
1
3
2
1
3
2
1
§ 3. Відсоткові розрахунки
§ 3
ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ
23
перед про відсотки від чого саме йдеться. Про це в задачі прямо
не говориться, але існують домовле ності про розуміння тих чи
інших висловлювань.
Для прикладу розглянемо задачу.
З а д а ч а. Спочатку ціну на товар підвищили на 10 %, а потім
знизили на 10 %. Як змінилася ціна на цей товар у результаті
двох переоцінок?
Зверніть увагу на те, що перший раз ідеться про 10 % від
початкової ціни, а другий раз – про 10 % від підвище ної ціни.
А вони не однакові.
Р о з в ’ я з а н н я.
Нехай спочатку товар коштував
а
грн.
Після підвищення ціни на 10 % він став коштувати
а
грн. +
+ 0,1
а
грн., або 1,1
а
грн.
10 % від підвищеної ціни становлять (1,1
а
⋅
0,1) грн., або
0,11
а
грн. Після зниження вартості товар став кошту вати (1,1
а –
– 0,11
а
) грн., або 0,99
а
грн.
Отже, спочатку товар коштував
а
грн., а після двох пе ре оці -
нок став коштувати 0,99
а
грн., тобто на 0,01
а
грн. менше. Це
становить 0,01
а
:
а
=
0,01, або 1 %.
Відповідь.
Після двох переоцінок початкова ціна това
ру
знизилася на 1%.
Особливо часто доводиться розв’язувати задачі на відсотки
бухгалтерам і працівникам банків. Розглянемо для прикладу
задачі, пов’язані з нарахуванням відсоткових грошей.
Прості відсотки
– це нарахування відсотків лише на по чат -
ково інвестовану суму.
Наприклад, на початку року вкладник розміщує на рахунку
в банку суму
Р
під відсоток
r
. Через рік він одержить суму
Р
1
,
яка дорівнює початковому вкладу (
Р
) плюс нараховані від сотки:
Через два і три роки сума на рахунку складатиме:
Аналогічно можна представити суму
Р
n
, яку вкладник одер -
жить через
n
років:
Тут
Р
– сума початкового вкладу,
Р
n
– сума вкладу через
n
років.
Нарахування за схемою простих відсотків застосовується,
як правило, в короткострокових фінансових операціях, коли
після кожного інтервалу нарахування кредитору виплачують ся
відсотки, а також у будь9яких інших випадках за домов ле ністю
сторін, що беруть участь в операції.
Ðîçäië
1
24
У довгострокових фінансово9кредитних угодах частіше
використовують
складні відсотки
– їх нараховують не тільки на
основну суму, а й на нараховані раніше відсотки. У цьому
випадку кажуть, що відбувається
капіталізація
відсотків у міру
їх нарахування.
Припустимо, що вкладник дав ощадбанку під 9 % річних
1000 грн. Це –
початковий капітал
. Через рік банк нарахує
вкладнику за це 90 грн.
відсоткових грошей
(9 % від 1000 грн.).
Після цього на рахунку вкладника стане 1090 грн., оскільки
1000 (1 + 0,09)
=
1090. За другий рік відсоткових грошей йому
нара хують уже 9 % від 1090 грн.;
нарощений капітал
вклад9
ника після двох років дорівнюватиме 1000 (1 + 0,09)
2
грн.
Зрозуміло, що через
n
років нарощений капітал становитиме
1000 (1 + 0,09)
n
грн.
Взагалі, вкладений в ощадбанк початковий капітал
А
0
під
р
% річних через
n
років перетвориться в нарощений капітал:
Це
формула складних відсотків
. За цією формулою можна
розв’язувати також задачі, не пов’язані з нарощенням капі талу.
Відсоткові гроші за неповний рік нараховують пропорційно
до числа днів. Наприклад, якщо 350 грн., віддані під 11 % річ них,
були в банку 183 дні, тобто
року, то за це вкладник одер жить
(грн.). Нарощений капітал вкладника дорівню-
вати ме 369,25 грн.
Подібні до поняття відсотка проміле і проба.
Проміле
– це одна тисячна (1 ‰
=
0,001). Наприклад, роз -
чин солі, концентрація якого 5 проміле, – це розчин, 1000 г
якого містять 5 г солі.
Пробами
характеризують сплави дорогоцінних металів.
Так, золото 8759ї проби – це сплав, 1000 г якого містять 875 г
чистого золота.
Примітка.
До переходу на метричну систему мір (1918 р.)
пробою називалося дещо інше. У старих підручниках ариф
-
метики пояснювалося: «Проба означає, скільки вагових частин
чистого металу міститься в 96 вагових частинах сплаву». Тоді
пробою називали кількість золотників чистого металу, які
містяться в одному фунті сплаву. А 1 фунт дорівнював 96 зо -
лотникам. Сплав, який тепер називають золотом 7509ї проби,
рані ше називали золотом 729ї проби. А в багатьох англомовних
краї нах його і тепер називають золотом 189ї проби.
Проби дорогоцінних металів, з яких виготовляють різ
ні
вироби, не довільні. В Україні законом установлено такі проби:
§ 3
ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ
25
•
для золота – 375, 500, 583, 750, 958;
•
для срібла – 800, 875, 916.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Що таке відсоток? А відсоток числа?
2.
Що таке відсоткове відношення двох чисел?
3.
Назвіть три основні види задач на відсотки.
4.
Як знайти кілька відсотків від числа?
5.
Як знайти число за відсотками?
6.
Як знайти відсоткове відношення двох чисел?
7.
Яким способом зручно розв’язувати задачі на відсотки?
1.
Під час перевірки вологість зерна дорівнювала 16 %. 2 ц цьо-
го зерна просушили, після чого воно втратило 20 кг. Ви знач те
вологість зерна після просушування.
Р о з в ’ я з а н н я.
2 ц
=
200 кг (мал. 9).
1) Скільки вологи містили 200 кг
зерна до просушування?
200
⋅
0,16
=
32 (кг).
2) Скільки вологи містило зерно піс -
ля просушування?
32 – 20
=
12 (кг).
3) Якою стала маса всього зерна
після просушування?
200 – 20
=
180 (кг).
4) Якою стала вологість зерна після
просушування?
12 : 180
=
0,0666...
≈
6,7 (%).
2.
На малюнку 10 наведено діаграму вікового складу укра -
їнців, які жили в 1897 р. в Росії. Скільки відсотків від усього
Мал. 9
Мал. 10
Ðîçäië
1
26
українського населення становили тоді діти віком до 10 років?
А скільки діти і молодь до 20 років? Скільки новонароджених
не доживало до 10 років?
Р о з в ’ я з а н н я.
Хлопчиків до 10 років тоді було близько 31 %,
стільки ж і дівчаток. Отже, дітей до 10 років було трохи більше
30 %.
Молоді від 10 до 20 років було близько 22 %. Отже, разом з
дітьми вони становили приблизно 52 %. Людей старшого віку
було близько 48 %.
Оскільки діти віком до 10 років становили приблизно 31 %
усіх українців, а молодь від 10 до 20 років – близько 22 %, то не
доживали до 109річного віку близько 30 % усіх дітей.
3.
До 10 кг 39відсоткового розчину солі долили 5 л води. На
скільки відсотків зменшилася концентрація розчину?
Р о з в ’ я з а н н я.
Наявний розчин мав 10
⋅
0,03
=
0,3 (кг) солі.
5 л води мають масу 5 кг. Маса утвореного розчину 15 кг, він
містить 0,3 кг солі. Знайдемо його концентрацію.
0,3 : 15
=
0,02, 0,02
=
2 %, 3 % – 2 %
=
1 %.
Відповідь.
Відсоткова концентрація розчину зменшилася
на 1 %.
92.
Знайдіть 10 % від числа: 180; 6000; 40; 8; 0,75.
93.
Знайдіть число, 50 % якого дорівнюють: 8; 20; 18 000; 1.
94.
Виразіть у відсотках відношення:
9 : 100; 6 : 10; 7 : 20; 13 : 10;
95.
Скільки відсотків становлять:
а) 5 від 20;
б) 15 від 60;
96.
Скільки відсотків становлять:
а) 3 см відносно 12 см; б) 5 см відносно 1 дм;
в) 80 г відносно 1 кг;
г) 5 хв відносно 1 год;
ґ) 0,1 м відносно 1 м;
д) 0,1 г відносно 1 кг;
е) 2 с відносно 1 год;
є) 3 ц відносно 1 т?
97.
Скільки відсотків площі всього квадрата
становить площа його зафарбованої частини
(мал. 11)?
98.
На скільки відсотків змінилося значення
вели чи ни, якщо воно: а) збільшилося вдвічі;
б) збільши лося втричі; в) зменшилося вдвічі;
г) зменшилося в чотири рази; г) зменшилося в
п’ять разів?
Мал. 11