Файл: Контрольные работы. Теория автоматического управления.docx

Высокочастотные асимптоты ЛАЧХ (справа от наибольшей сопрягающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.

Примечания

1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи _i=1/T_i, вдали с асимптотами  левой 0 дБ/дек , правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка.

2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же.

3. ЛФЧХ строятся по точкам, рассчитанным аналитически.

Пример

Пусть задана передаточная функция объекта

.

Требуется построить асимптотическую ЛАЧХ объекта.

1. Выделение элементарных звеньев.

Вынесем множитель из каждой скобки так, чтобы свободный член в этой скобке был равен 1:

.

Корни квадратного трёхчлена в знаменателе комплексно-сопряжённые, поэтому можно представить заданную передаточную функцию в виде произведения передаточного коэффициента и четырёх передаточных функций элементарных звеньев:

,

,
где .

Звенья с передаточными функциями и - идеальные звенья с введением производной, второе из них – неминимально - фазовое. Звено с передаточной функцией - апериодическое звено, а звено с - колебательное, поскольку .

2. Определение сопрягающих частот.

Сопрягающие частоты – это точки излома ЛАЧХ. Они определяются как . Таким образом,

рад/с, рад/с,

рад/с, рад/с.

Поскольку при построении ЛАЧХ на оси абсцисс откладывается lgω, вычислим десятичные логарифмы этих частот:

_{, ,}

_{, .}

3. Построение ЛАЧХ.

Отметим найденные точки излома ЛАЧХ на оси абсцисс:

Поскольку интегрирующие и дифференцирующие звенья в системе отсутствуют, на низких частотах (примерно до первой сопрягающей частоты ) система имеет постоянное усиление, равное k=10. Учитывая, что амплитудная характеристика откладывается в логарифмическом масштабе (в децибеллах) получаем

20lgk=20lg10=20

и можно сразу нарисовать начальный участок ЛАЧХ:

На частоте вступает в действие апериодическое звено, которое даёт наклон -20 дБ/дек, в интервале от до график спускается вниз на

дБ, поэтому ордината для частоты равна дБ:

На частоте идеальное звено с введением производной добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен нулю:

На частоте неминимально – фазовое идеальное звено с введением производной ещё добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен +20 дБ/дек. В интервале от до график поднимается на дБ, поэтому ордината для частоты равна 9,6+10,4 20 дБ:

Наконец, на частоте колебательное звено добавляет наклон -40 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен -20 дБ/дек:

Приложение 3

Пример рекомендуемой последовательности действий при анализе

устойчивости системы

Пусть задана структурная схема (рис. 5) и параметры исследуемой системы.

Рис. 5. Структурная схема исследуемой системы

Алгоритм исследования устойчивости замкнутой САУ:

• определяем передаточную функцию замкнутой системы

где W_пк(p) – передаточная функция прямого канала системы; W_ос(p) – передаточная функция обратной связи;

• записываем характеристическое уравнение замкнутой системы:

(Т₁р+1)(Т₂р+1)(Т₃р+1)+k₁k₂k₃=0;

после преобразования этого выражения получим:

Т₁Т₂Т₃р³+(Т₁Т₂+Т₁Т₃+Т₂Т₃)р²+(Т₁+Т₂+Т₃)р+(1+k₁k₂k₃)=0;

обозначим:

а₀=T₁T₂T₃;

a₁=Т₁Т₂+Т₁Т₃+Т₂Т₃;

а₂=Т₁+Т₂+Т₃;

а₃=1+k₁k₂k₃;

тогда выражение примет стандартную форму:

а₀р³+а₁р²+а₂р+а₃=0;

• условия устойчивости замкнутой системы 3-го порядка:

1. а₀>0, a₁>0, a₂>0, a₃>0 (условие Рауса);

2. a₁a₂>a₀a₃ (условие Гурвица);

если условия устойчивости имеют место, то система устойчива;

• система на границе устойчивости, если выполняется равенство в условии Гурвица, отсюда определяется критическая величина передаточного коэффициента разомкнутой системы:

;

• заключение об устойчивости системы.

Приложение 4

Методы настройки параметров ПИД – регулятора

ПИД – регулятор был изобретён в 1910 году. Долгое время настройка параметров регулятора осуществлялась эвристическим ручным методом, основанным на интуиции и изобретательстве инженеров.

В 1942 году американские учёные J.G. Ziegler и N.B. Nichols (США, г. Рочестер, штат Нью-Йорк) при исследовании систем с ПИД – регуляторами обнаружили две закономерности:

 Оптимальная зона пропорциональности П – регулятора в два раза меньше величины зоны пропорциональности, при которой в САУ начинается автоколебательный процесс;

 Время изодрома T_i и время предварения T_d зависят от периода возникающих автоколебаний.

В качестве критерия оптимальности принята величина декремента затухания

D = 0,2-0,3. Декремент затухания D выражается через отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга на половину периода,

.

Зиглер и Никольс предложили два метода настройки ПИД – регулятора: первый основан на параметрах переходной характеристики, второй на частотных характеристиках объекта управления. Точность настройки параметров регулятора и недостатки обоих методов Зиглера – Никольса одинаковы.

1. Настройка параметров ПИД – регулятора по временному модифицированному методу Зиглера – Никольса.

Пусть известно математическое описание объекта второго порядка в форме передаточной функции

.

Требуется найти параметры ПИД - регулятора по параметрам переходной характеристики объекта.

Алгоритм расчёта:

1. Определяем переходную характеристику объекта и её производную, используя модель объекта в Simulink:

2. По максимальному значению производной находим точку перегиба переходной характеристики и проводим через неё касательную к переходной характеристике путём смещения характеристики интегрирующего звена ki/p изменением параметра a с помощью модели в Simulink (рис. 2), где ki = max[dh(t)/dt].

3. Определяем численные значения параметров a и L по графику переходной характеристики и касательной к ней в точке перегиба.

4. Определяем параметры ПИД – регулятора по формулам таблицы 1 [ ].

Таблица 1. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по временному методу Зиглера - Никольса

	Расчёт по	отклику на	скачок
Регулятор	k	Tи	Tд
П	1/a
ПИ	0,9/a	3L/k
ПИД	1,2a	2L/k	0,5Lk

Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению

.

5. Строим модель системы с ПИД – регулятором в Simulink и проводим исследование САУ.

Пример 1

Передаточная функция объекта имеет вид

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по параметрам отклика объекта на единичный скачок.

1. Составляем модель исследования разомкнутой исходной системы в Simulink (рис. 1).

В состав алгоритмической структуры входит модель объекта, модуль формирования производной переходной характеристики, интегратор с передаточным коэффициентом, равным величине экстремума импульсной переходной характеристики и модуль сдвига переходной характеристики идеального интегрирующего звена так, чтобы она проходила через точку перегиба переходной характеристики объекта.

Рис. 1. Алгоритмическая структура для исследования разомкнутой исходной системы в Simulink

2. По отклику модели определяем базовые расчётные параметры: a = 0,145 - величина смещения переходной характеристики интегрирующего звена в точку перегиба переходной характеристики объекта (точку перегиба переходная характеристика объекта и максимум производная этой характеристики h^’_max = 3,704 проходят в один и тот же момент t_экстр. = 0,1205 ), L = 0,04- величина отрезка на оси времени, отсекаемого касательной к переходной характеристике в точке перегиба. Графики исследуемой модели приведены на рис.2.

3. Составляем скрипт в Matlab для расчёта параметров ПИД – регулятора:

a=0.145;

L=0.04;

k=1.2/a

Ti=2*L/k

Td=0.5*L*k

ki=1/Ti

kd=Td

и определяем настройки регулятора:

k = 8.2759, Ti = 0.0097c, Td =0.1655c, ki = 103.4483c^-1, kd =0.1655c.

Рис. 2. Графики исследуемой модели разомкнутой исходной системы: 1 - переходная характеристика объекта, 2 – производная переходной характеристики объекта, 3 - переходная характеристика интегрирующего звена, передаточный коэффициент которого равен максимуму производной переходной характеристики объекта ( k_и = 3,704), 4 - смещённая в точку перегиба переходной характеристики объекта переходная характеристика интегрирующего звена

4. Строим модель для исследования системы в Simulink (рис. 3).

На рис. 3 изображены (сверху – вниз) модели исследуемой системы с настройками регулятора по методу Зиглера – Никольса, системы с ручной настройкой параметров регулятора, объекта и модель формирования касательной в точке перегиба переходной характеристики объекта.

Рис. 3. Алгоритмическая структура для исследования скорректированной системы в Simulink

5. Снимаем переходные характеристики модели, изображенной на рис. 3, где обозначены: 1 – переходная характеристика объекта, 2 – касательная к переходной характеристике объекта в точке перегиба, 3 – переходная характеристика системы при настройке регулятора по методу Зиглера – Никольса, 4 - переходная характеристика системы при ручной настройке регулятора ( k = 15, Ti = 0,013c, Td = 0,525c)

Рис. 4. Графики переходных характеристик модели, изображенной на рис. 3

2. Настройка параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера – Никольса.

Пусть известно математическое описание объекта управления в форме передаточной функции

или .

Требуется найти параметры ПИД - регулятора по частотному методу Зиглера –

Никольса.

Алгоритм расчёта:

1. Определяем по АФХ и ЛЧХ объекта частоту , при которой фазовый сдвиг

объекта равен -180^о.

2. Определяем передаточный коэффициент объекта на частоте .

3. Определяем период колебаний .

4. По табл. 2 Зиглера – Никольса определяем параметры ПИД – регулятора,

используя полученные данные и .

Таблица 2. Формулы для расчёта параметров ПИД – регулятора по частотному методу Зиглера - Никольса

	Расчёт по	частотным	параметрам
Регулятор	k	Tи	Tд
П	0,5/
ПИ	0,4/	0,8 /k
ПИД	1,6/	0,5 /k	0,125 k

Примечание: система обозначений параметров регулятора соответствует уравнению

.

5. Составляем в Matlab модели замкнутых исходной и с ПИД – регулятором систем

для построения переходных характеристик, по которым оцениваем устойчивость и

показатели качества.

Пример 2

Передаточная функция объекта имеет вид

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по частотным параметрам объекта управления.

1. Составляем модель в форме скрипта Matlab для определения АФХ и ЛЧХ объекта по его передаточной функции.

numo=[1];

deno=[10 11 1];

Wo=tf(numo,deno)

[nums,dens]=pade(0.3,2)

Ws=tf(nums,dens)

Wir=Wo*Ws

nyquist(Wir)

%margin(Wir)

2. Определяем АФХ объекта и находим параметры =1,87с^-1 и =|Real|=0,0265.

3. Определяем ЛЧХ объекта и находим параметры =1,84с^-1 и =10^-31,7/20= 0,026.

Параметры объекта, найденные по ЛЧХ, точнее параметров АФХ, поэтому принимаем их за основу.

4. Составляем скрипт для определения параметров ПИД – регулятора по полученным параметрам ЛЧХ: =1,84с^-1 и =10^-31,7/20= 0,026. Расчётные формулы параметров ПИД – регулятора приведены в таблице 2 алгоритма расчёта.

k180=0.026;

w180=1.84;

T180=2*pi/w180

kn=0.6/k180

Tu=0.5*T180/kn

ku=1/Tu

Td=0.125*T180*kn

kd=Td

Расчётные параметры ПИД – регулятора: kn = 23.0769, ku = 13.5159, kd = 9.8503.

5. Составляем скрипт для определения переходных характеристик исходной и скорректированной замкнутых систем.

kp=23.0769;

ki=13.5159;

kd=9.8503;

numo=[1];

deno=[10 11 1];

Wo=tf(numo,deno)

[nums,dens]=pade(0.3,2)

Ws=tf(nums,dens)

numi=[ki];

deni=[1 0];

Wi=tf(numi,deni)

numd=[kd 0];

dend=[1];

Wd=tf(numd,dend)

Wsr=minreal(Wo*Ws/(1+Wo*Ws))

step(Wsr)

%Wsrpid=minreal((kp+Wi+Wd)*Wo*Ws/(1+(kp+Wi+Wd)*Wo*Ws))

%step(Wsrpid)

6. Определяем переходную характеристику исходной (нескорректированной) системы, произведя «Пуск» скрипта п.5 в Matlab.

7. Определяем переходную характеристику скорректированной системы, сняв знак % в последних двух строках скрипта и установив % в двух предыдущих строках.

Показатели качества систем приведены на графиках.

3. Настройка параметров ПИД – регулятора по методу CHR (Chien – Hrones – Reswick).

Авторы этого метода использовали критерий максимальной скорости нарастания при отсутствии перерегулирования или при наличии не более чем 20% - ного перерегулирования. Такой критерий позволяет получить больший запас устойчивости, чем в методе Зиглера – Никольса.

Метод CHR даёт две разные системы параметров регулятора. Одна из них получена при наблюдении отклика на изменение уставки, решая задачу качества регулирования, вторая – при наблюдении отклика на внешние возмущения, решая задачу ослабления внешних возмущений.

Если важно и то и другое, то необходимо использовать регуляторы с двумя степенями свободы.

В этом методе объект аппроксимирован моделью первого порядка с задержкой:

.

Для расчёта параметров регулятора используются параметры переходной характеристики объекта: и .

Параметр определяется из выражения:

, отсюда ,

или из графика переходной характеристики объекта.

Формулы для расчёта параметров регулятора приведены в таблицах 3 и 4.

Таблица 3

Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на изменение уставки метода CHR

	Без перерегулирования				С 20% - ным перерегулированием
Регулятор
	k	Ти	Тд	k		Tи	Тд
П	0,3/а			0,7/a
ПИ	0.35/a	1,2 /k		0,6/a		1,0 /k
ПИД	0,6/a	10 /k	0,5 k	0,95/a		1,4 /k	0,47 k

Таблица 4

Формулы для расчёта коэффициентов регулятора по отклику на внешние воздействия метода CHR