Файл: Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения направлений.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 80
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Тогда имеем
. Отсюда
или , после возведения в квадрат и приведения подобных, получим каноническое уравнение параболы
с вершиной в точке
.
Задание №4. Найти решение системы с помощью правила Крамера для систем трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными
правило Крамера имеет вид:
при условии
, где
.
Определитель третьего порядка, обозначаемый символом
,
вычисляется по правилу треугольника или Сариуса:
.
Например
Решение.
.
Ответ: (1, -2, 3).
Применение метода Гаусса приведено в примере к заданиям 1-10.
Задание № 5. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
При вычислении предела дробно-рациональной функции при
получаем неопределенность типа
, для раскрытия которой нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень х.
Пример 1.
.
Решение. Разделим числитель и знаменатель на степень
:
.
В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при
числитель и знаменатель имеют неопределенность
, надо разделить их на
и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при
числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на
.
Пример 2.
.
Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида
. До множим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавимся от иррациональности в числителе):
.
При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел и его следствия:
;
.
Пример 3.
.
Решение. Преобразовав разность косинусов в произведение, получим
Если в пределе получаем неопределенность
, то используем
второй замечательный предел.
или
(2)
Пример 4.
.
Решение. Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём
.
Пример 5.
.
Решение. Выполнив преобразования и применив формулу (2), найдём
.
Задание №6. Задана функция
. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать схематический чертеж.
Решение. Функции
,
, и
непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках
и
. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.
В точке
:
,
,
.
Таким образом,
. Значить, функция непрерывна в точке
.
В точке
:
,
,
.
Таким образом,
, т.е. функция имеет разрыв Ι рода и непрерывна слева. Скачок функции
в точке
равен ∆
. График функции изображен на рисунке
При выполнении следующего задания необходимо знать правила вычисления производной (производная суммы, произведения и частного дух функций), а также изучить таблицу производных.
Задание №7. Найти производные
данных функций.
а)
.
.
б)
.
.
в)
.
.
г)
.
Прологарифмируем обе части равенства
. Тогда
, т.е.
. Теперь продифференцируем последнее равенство
Откуда получаем
.
д)
.
Продифференцируем обе части уравнения по x, учитывая, что y есть функция от x. Тогда получим
. Отсюда -
т.е.
.
Задание №8. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции
, вычислить значение
с точностью до 0,0001. a=0,5.
Решение. Разложим
по формуле Тейлора n-го порядка
.
Положив
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_9ba83730b862ed49.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_83fe5865a44eec2f.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_9be21b9fa4205710.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_ed05886f5f4c5ff8.gif)
Задание №4. Найти решение системы с помощью правила Крамера для систем трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_27b3716f65287305.gif)
правило Крамера имеет вид:
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_7d82c455263f4a8f.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_9dbe2ed10798216b.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_9739ed6498a8b3c2.gif)
Определитель третьего порядка, обозначаемый символом
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_669bc7489f15d753.gif)
вычисляется по правилу треугольника или Сариуса:
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_33447526a2261bc0.gif)
Например
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_193cf0bac562f0e7.gif)
Решение.
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d9c616397c9c7e10.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_4b9687ac819edc00.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_cedf8b49ea6c16e9.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_17c0f52a327dba06.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_44a0db6c88fb4666.gif)
Ответ: (1, -2, 3).
Применение метода Гаусса приведено в примере к заданиям 1-10.
Задание № 5. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
При вычислении предела дробно-рациональной функции при
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_4131be951423ccb3.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_a17d8bda425c70ce.gif)
Пример 1.
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_7c80d17818c5c072.gif)
Решение. Разделим числитель и знаменатель на степень
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_726d631cf2d95913.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_f87fff175d116c17.gif)
В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_77d0b90310a89c62.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_39e6a592d5ee4d5d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_bb6d057fcb2b712d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_77d0b90310a89c62.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_bb6d057fcb2b712d.gif)
Пример 2.
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_8b4b7d06b279e336.gif)
Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_39e6a592d5ee4d5d.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_cbaaac2b0ddfe5c9.gif)
При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел и его следствия:
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_510fb126f96cc4e2.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_7547a358170637a1.gif)
Пример 3.
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_1f012af1d35ac813.gif)
Решение. Преобразовав разность косинусов в произведение, получим
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_8da4a4077cc8c11a.gif)
Если в пределе получаем неопределенность
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d464113d52e47610.gif)
второй замечательный предел.
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d0bc333bab835894.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_aae258b8c1675e87.gif)
Пример 4.
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_a34df926339772ab.gif)
Решение. Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_ad8af37d47859959.gif)
Пример 5.
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_9dc32d74ddc77473.gif)
Решение. Выполнив преобразования и применив формулу (2), найдём
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d04a04f4064bf60d.gif)
Задание №6. Задана функция
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_44b1b635f8d74bd7.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_66432588e46b9be.gif)
Решение. Функции
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_96823993dea30890.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_bed0bdbafb9a447a.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_8b9376ddef8c07ec.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_8545f64e98cfcebe.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_a1f8c385ea793cd7.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_923ac51a0ceb496.gif)
В точке
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_a1f8c385ea793cd7.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d15c61b55853da56.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_94de91c53e82066.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_94d0c448a3fa58a0.gif)
Таким образом,
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_ccec6f266436c3e5.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_a1f8c385ea793cd7.gif)
.
В точке
![](/images/files/168005/1198438_html_923ac51a0ceb496.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_63186f2f83f7ff7e.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_7ca1f5e4ec37a9bf.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_aec70b9a3168e0c2.gif)
Таким образом,
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_c80434d29e677c8e.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_ab4847ded92d7331.gif)
![](/images/files/168005/1198438_html_923ac51a0ceb496.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_4907dd260e768573.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_1e7a05cb239dc55b.png)
При выполнении следующего задания необходимо знать правила вычисления производной (производная суммы, произведения и частного дух функций), а также изучить таблицу производных.
Задание №7. Найти производные
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_f8ce08d4e901338d.gif)
а)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_b605e5f3bc04a535.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_679471ddb2cc2c58.gif)
б)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_c8d2eb7f7886495b.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d3a96f82e969daf8.gif)
в)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_3c80d8120c20ff66.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_fd0a48eceb13458e.gif)
г)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_776c53d4283944d8.gif)
Прологарифмируем обе части равенства
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_776c53d4283944d8.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d0cc30041fb3ac15.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_66a44eac1e249ebb.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_db8fd30aa57de966.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_8cd9d1abcb387aaf.gif)
д)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_411e0b07585d7f1b.gif)
Продифференцируем обе части уравнения по x, учитывая, что y есть функция от x. Тогда получим
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_8af4069e835a6f4e.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_d2f8947aa81f4910.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_99bc6301ee5ea6ee.gif)
Задание №8. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_69096fac27af2369.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_bca36a5ba5832ad5.gif)
Решение. Разложим
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_f42cd58ccc7bb56a.gif)
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_b839dfa5ecc3335d.gif)
Положив
![](https://images.student-it.ru/files/168005/1198438_html_290559f219948a62.gif)