Файл: Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения направлений.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 127
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Тогда имеем 
. Отсюда 
или , после возведения в квадрат и приведения подобных, получим каноническое уравнение параболы 
с вершиной в точке 
.
Задание №4. Найти решение системы с помощью правила Крамера для систем трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными
правило Крамера имеет вид:
при условии 
, где
.
Определитель третьего порядка, обозначаемый символом
,
вычисляется по правилу треугольника или Сариуса:
.
Например
Решение.
.
Ответ: (1, -2, 3).
Применение метода Гаусса приведено в примере к заданиям 1-10.
Задание № 5. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
При вычислении предела дробно-рациональной функции при
получаем неопределенность типа 
, для раскрытия которой нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень х.
Пример 1.
.
Решение. Разделим числитель и знаменатель на степень
:
.
В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при
числитель и знаменатель имеют неопределенность 
, надо разделить их на 
и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на .
Пример 2.
.
Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида . До множим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавимся от иррациональности в числителе):
.
При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел и его следствия:
; 
.
Пример 3.
.
Решение. Преобразовав разность косинусов в произведение, получим
Если в пределе получаем неопределенность
, то используем
второй замечательный предел.
или 
(2)
Пример 4.
.
Решение. Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём
.
Пример 5.
.
Решение. Выполнив преобразования и применив формулу (2), найдём
.
Задание №6. Задана функция
. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать схематический чертеж.
Решение. Функции
, 
, и 
непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках 
и 
. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.
В точке : 
, 
, 
.
Таким образом,
. Значить, функция непрерывна в точке
.
В точке
: 
, 
, 
.
Таким образом,
, т.е. функция имеет разрыв Ι рода и непрерывна слева. Скачок функции 
в точке равен ∆
. График функции изображен на рисунке
При выполнении следующего задания необходимо знать правила вычисления производной (производная суммы, произведения и частного дух функций), а также изучить таблицу производных.
Задание №7. Найти производные
данных функций.
а)
.
.
б)
. 
.
в)
.
.
г)
.
Прологарифмируем обе части равенства . Тогда 
, т.е. 
. Теперь продифференцируем последнее равенство 
Откуда получаем 
.
д)
.
Продифференцируем обе части уравнения по x, учитывая, что y есть функция от x. Тогда получим
. Отсюда - 
т.е. 
.
Задание №8. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции
, вычислить значение 
с точностью до 0,0001. a=0,5.
Решение. Разложим
по формуле Тейлора n-го порядка
.
Положив
. Отсюда или , после возведения в квадрат и приведения подобных, получим каноническое уравнение параболы с вершиной в точке .Задание №4. Найти решение системы с помощью правила Крамера для систем трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными
правило Крамера имеет вид:
при условии , где .Определитель третьего порядка, обозначаемый символом
,вычисляется по правилу треугольника или Сариуса:
.Например
Решение.
.Ответ: (1, -2, 3).
Применение метода Гаусса приведено в примере к заданиям 1-10.
Задание № 5. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
При вычислении предела дробно-рациональной функции при
получаем неопределенность типа , для раскрытия которой нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень х.Пример 1.
.Решение. Разделим числитель и знаменатель на степень
: .В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при
числитель и знаменатель имеют неопределенность , надо разделить их на и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на .Пример 2.
.Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида
. До множим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавимся от иррациональности в числителе): .При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел и его следствия:
; .Пример 3.
.Решение. Преобразовав разность косинусов в произведение, получим
Если в пределе получаем неопределенность
, то используем
второй замечательный предел.
или (2)Пример 4.
.Решение. Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём
.Пример 5.
.Решение. Выполнив преобразования и применив формулу (2), найдём
.Задание №6. Задана функция
. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать схематический чертеж. Решение. Функции
, , и непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках и . Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.В точке
: , , .Таким образом,
. Значить, функция непрерывна в точке
.
В точке
: , , .Таким образом,
, т.е. функция имеет разрыв Ι рода и непрерывна слева. Скачок функции в точке равен ∆ . График функции изображен на рисунке При выполнении следующего задания необходимо знать правила вычисления производной (производная суммы, произведения и частного дух функций), а также изучить таблицу производных.
Задание №7. Найти производные
данных функций.а)
. .б)
. .в)
. .г)
.Прологарифмируем обе части равенства
. Тогда , т.е. . Теперь продифференцируем последнее равенство Откуда получаем .д)
.Продифференцируем обе части уравнения по x, учитывая, что y есть функция от x. Тогда получим
. Отсюда - т.е. .Задание №8. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции
, вычислить значение с точностью до 0,0001. a=0,5.Решение. Разложим
по формуле Тейлора n-го порядка .Положив