Файл: Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения направлений.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 94
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, 
, 
, 
. Таким образом,
.
Проверим этот результат дифференцированием:
или 
.
в)
. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой можно разложить 
. Тогда подынтегральная функция раскладывается на сумму простейших дробей 
. Откуда, приравнивая числители, находим 
. Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:
.
Приравнивая соответствующие коэффициенты при
в левой и правой частях последнего равенства, получим систему из трех уравнений:
Тогда
.
Вычислим отдельно последний интеграл
. Используя равенства 
, получаем, что 
. Отсюда, окончательно, получаем интеграл 
.
г)
. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку
, 
, тогда
.
Задание № 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Пример.
. Решение: Согласно формуле 
. Тогда имеем
. Интеграл сходится.
Задание № 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L
Пример.
. Объём тела вращения находим по формуле: 
.
Задание № 4. Исследовать сходимость числового ряда
.
Пример 1.
. Для этого ряда применим признак Даламбера: 
, 
, 
. Тогда 
.
Тогда по признаку Даламбера ряд расходится.
Пример 2.
. Применим интегральный признак Маклорена Коши, составив функцию 
. Так как на интервале 
эта функция 
и с ростом 
монотонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом: 
. Данный интеграл сходится, так как
,
поэтому сходится и данный ряд.
Задание № 5. Найти интервал сходимости степенного ряда
.
Пример.
. Коэффициенты ряда: 
, 
. Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда:
.
Следовательно, ряд сходится для значений
, удовлетворяющих неравенству 
. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если 
, то получим обобщенный гармонический ряд 
, который сходится, так как 
. Если 
, то получим знакопеременный ряд 
, который сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Задание №6. Найти частные производные 1-го порядка.
Пример.
. Находим частые производные
, 
.
Задания №7 и № 8. Решить задачу по теории вероятности.
Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной задаче на каждую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет,
если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно
. Число билетов, которое знает студент, равно 
. Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равновероятные события, получаем вероятность сдачи зачета:
.
Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна
.
Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие
) равна 
, вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие 
)равна 
=0,4, вероятность получить задачу по интегральному исчислению (событие 
) равна 
. Если событие 
, , . Таким образом, .Проверим этот результат дифференцированием:
или .в)
. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой можно разложить . Тогда подынтегральная функция раскладывается на сумму простейших дробей . Откуда, приравнивая числители, находим . Раскроем скобки в правой части и приведем подобные: .Приравнивая соответствующие коэффициенты при
в левой и правой частях последнего равенства, получим систему из трех уравнений: Тогда
.Вычислим отдельно последний интеграл
. Используя равенства , получаем, что . Отсюда, окончательно, получаем интеграл .г)
. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку
, , тогда .Задание № 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Пример.
. Решение: Согласно формуле . Тогда имеем . Интеграл сходится.Задание № 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L
Пример.
. Объём тела вращения находим по формуле: .Задание № 4. Исследовать сходимость числового ряда
.Пример 1.
. Для этого ряда применим признак Даламбера: , , . Тогда .Тогда по признаку Даламбера ряд
расходится.Пример 2.
. Применим интегральный признак Маклорена Коши, составив функцию . Так как на интервале эта функция и с ростом монотонно убывает, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом:
. Данный интеграл сходится, так как
,поэтому сходится и данный ряд.
Задание № 5. Найти интервал сходимости степенного ряда
.Пример.
. Коэффициенты ряда: , . Подставим их в формулу для радиуса сходимости степенного ряда: .Следовательно, ряд сходится для значений
, удовлетворяющих неравенству . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если , то получим обобщенный гармонический ряд , который сходится, так как . Если , то получим знакопеременный ряд , который сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.Задание №6. Найти частные производные 1-го порядка.
Пример.
. Находим частые производные , .Задания №7 и № 8. Решить задачу по теории вероятности.
Пример 1. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению и 20 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первый же доставшийся наугад билет из трех задач по одной задаче на каждую тему. Какова вероятность для студента сдать зачет,
если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение. Число билетов, которое может составить преподаватель, равно
. Число билетов, которое знает студент, равно . Считая, что студенту билет достается случайным образом и что это равновероятные события, получаем вероятность сдачи зачета: .Пример 2. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 10 задач по пределам функций, 20 задач по дифференциальному исчислению, 20 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он может решить пять задач по пределам, 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение № 1. Студент знает 38 задач из пятидесяти, поэтому вероятность сдать зачет равна
.Решение № 2. Вероятность получить задачу по пределам (событие
) равна , вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие )равна =0,4, вероятность получить задачу по интегральному исчислению (событие ) равна . Если событие