Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

ВЗГЛЯНУТЬ.

Q9. Точка зрения, известная как интуиционизм, не позволяет сделать вывод о непременной завершаемости  вычисления на определенном этапе на том лишь основании, что бесконечное продолжение этого вычисления приводит к противоречию; бытуют в математике и иные точки зрения сходного характера — например, «конструктивизм» и «финнтизм». Не окажется ли гёделевское доказательство спорным, будучи рассмотрено с этих позиций?

В своем гёделевском доказательстве (в частности, в утвер­ждении (М)) я использовал аргумент следующего вида: «Допу­щение о ложности X приводит к противоречию; следовательно, утверждение X истинно». Под «X» в данном случае следует по­нимать утверждение: «Вычисление Ck (k) не завершается». Это рассуждение относится к типу reductio ad absurdum; что же касается доказательства Гёделя в целом, то оно и в самом деле построено именно таким образом. Направление же в математике, называемое «интуиционизмом» (у истоков которого стоял гол­ландский математик Л. Э. Я. Брауэр; см. [222] и НРК, с. 113— 116), отрицает возможность построения обоснованного доказа­тельства на основе reductio ad absurdum. Интуиционизм возник приблизительно в 1912 году как реакция на некоторые сформи­ровавшиеся к концу девятнадцатого — началу двадцатого века математические тенденции, суть которых сводится к следующему: математический объект можно полагать «существующим» даже в тех случаях, когда нет никакой возможности этот объект так или иначе воплотить в действительности. А надо сказать, что слиш­ком вольное применение крайне расплывчатой концепции мате­матического существования и впрямь приводит порой к весь­ма неприятным противоречиям. Самый известный пример такого противоречия связан с парадоксальным «множеством всех мно­жеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рассела. (Если множество Рассела является членом самого себя, то оно таковым не является; если же оно членом самого себя не явля­ется, то оно им, как ни странно, является! Подробнее см. §3.4 и НРК, с. 101.) Дабы противостоять общей тенденции, в рам­ках которой могут считаться «существующими» весьма вольно определенные математические объекты, интуиционисты полага­ют необоснованным математическое рассуждение, позволяющее делать вывод о существовании того или иного математического объекта на основании одной лишь противоречивости его несуще­ствования. Доказательство существования объекта посредством reductio ad absurdum не дает абсолютно никаких оснований по­лагать, что упомянутый объект действительно можно построить. Каким  же  образом  запрет на  применение  reductio  ad absurdum может повлиять на наше гёделевское доказательство? Вообще говоря, совсем не может, по той простой причине, что reductio ad absurdum мы применяем, если можно так выра­зиться, наоборот, то есть противоречие в нашем случае выво­дится из допущения, что нечто существует, а не из обратного допущения. С интуиционистской точки зрения все выглядит со­вершенно законно: мы заключаем, что объект не существует, на том основании, что противоречие возникает как раз из допуще­ния о существовании этого самого объекта. Предложенное мною гёделевское доказательство, по сути своей, является в интуицио­нистском смысле абсолютно приемлемым. (См. [222], с. 492.)

Аналогичные рассуждения применимы и ко всем прочим «конструктивистским» или «финитистским» направлениям в ма­тематике, о каких мне известно. Комментарий к возражению Q8 демонстрирует, что даже та точка зрения, согласно которой по­следовательность натуральных чисел нельзя считать «на самом деле» бесконечной, не освобождает нас от неизбежного вывода: для установления математической истины мы таки не пользуемся познаваемо обоснованными алгоритмами.

2.7. Некоторые более глубокие математические соображения

Для того чтобы лучше разобраться в значении гёделевского доказательства, полезно будет вспомнить, с какой, собственно, целью оно было первоначально предпринято. На рубеже веков ученые, деятельность которых была связана с фундаментальны­ми математическими принципами, столкнулись с весьма серьез­ными проблемами. В конце XIX века — в значительной степени благодаря глубоко оригинальным математическим трудам Георга Кантора (с «диагональным доказательством» которого мы уже познакомились) — математики получили в распоряжение эф­фективные методы доказательства некоторых наиболее фундаментальных своих результатов, основанные на свойствах беско­нечных множеств. Однако с этими преимуществами оказались связаны и не менее фундаментальные трудности, проистекаю­щие из чересчур вольного обращения с концепцией бесконечно­го множества. Особо отметим парадокс Рассела (на который я вкратце ссылался в комментарии к Q9, см. также §3.4 — Кан­тор о нем также упоминает), обозначивший некоторые препят­ствия, подстерегающие склонных к опрометчивым умозаключе­ниям. Тем не менее, все понимали, что если вопрос о допустимо­сти тех или иных методов рассуждения продумать с достаточной тщательностью, то можно добиться очень и очень впечатляющих математических результатов. Проблема, по всей видимости, сво­дилась к отысканию способа, посредством которого можно было бы в каждом конкретном случае абсолютно точно определить, была ли соблюдена при выборе метода рассуждения «достаточ­ная тщательность».

Одной из главных фигур движения, поставившего перед со­бой цель достичь этой точности, был великий математик Давид Гильберт. Движение окрестили формализмом; в соответствии с его основополагающим принципом, следовало однозначно опре­делить все допустимые методы математического рассуждения в пределах той или иной конкретной области раз и навсегда, вклю­чая и те, что связаны с понятием бесконечного множества. Такая совокупность правил и математических утверждений называет­ся формальной системой. После того как определены правила формальной системы F, решение вопроса о корректности приме­нения этих правил — количество которых непременно является конечным — сводится к элементарной механической проверке. Разумеется, если мы хотим, чтобы любой выводимый с помощью таких правил результат мог считаться действительно истинным, нам придется присвоить им всем статус вполне допустимых и обоснованных форм математического рассуждения. Однако неко­торые из рассматриваемых правил могут подразумевать какие-либо манипуляции с бесконечными множествами, и в этом слу­чае математическая интуиция, подсказывающая нам, какие ме­тоды рассуждения допустимы, а какие нет, может оказаться и не достойной абсолютного доверия. Сомнения в этой связи как. нельзя более уместны, учитывая несоответствия, возникающие при столь вольном обращении с бесконечными множествами, что допустимым становится даже парадоксальное «множество всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рас­села. Правила системы F не должны допускать существования «множества» Рассела, но где же, в таком случае, следует про­вести границу? Вообще запретить применение бесконечных мно­жеств было бы слишком строгим ограничением (обычное евкли­дово пространство, например, содержит бесконечное множество точек, да и множество натуральных чисел является бесконеч­ным); кроме того, существуют же формальные системы, абсо­лютно в этом смысле удовлетворительные (поскольку в их рам­ках не допускается, к примеру, формулировать сущности, подоб­ные «множеству» Рассела), применяя которые можно получить большую часть необходимых математических результатов. Отку­да нам знать, каким из этих формальных систем можно верить, а каким нельзя?

Рассмотрим подробнее одну такую формальную систему F; для математических утверждений, которые можно получить с по­мощью правил системы F, введем обозначение ИСТИННЫЕ, а для утверждений, отрицания (т. е. утверждения, обратные рас­сматриваемым) которых выводятся из того же источника, — обо­значение ЛОЖНЫЕ. Любое утверждение, которое можно сфор­мулировать в рамках системы F, но которое не является в этом смысле ни истинным, ни ложным, будем полагать нераз­решимым. Кто-то, возможно, сочтет, что поскольку на деле может оказаться «бессмысленным» и само понятие бесконечного множества, то, по всей видимости, нельзя абсолютно осмысленно говорить ни об истинности, ни о ложности относящихся к ним утверждений. (Это мнение применимо, по крайней мере, к неко­торым разновидностям бесконечных множеств, если не ко всем.) Если придерживаться такой точки зрения, то нет особой разни­цы, какие именно утверждения о бесконечных множествах (неко­торых разновидностей) оказываются ИСТИННЫМИ, а какие — ЛОЖНЫМИ, лишь бы не вышло так, что одно утверждение по­лучится ИСТИННЫМ и ЛОЖНЫМ одновременно, т.е. система F должна все же быть непротиворечивой. Собственно говоря, в этом и состоит суть истинного формализма, а в отношении формальной системы F первостепенно важно знать лишь следующее: (а) является ли она непротиворечивой и (Ь) является ли она полной. Система F называется полной, если любое мате­матическое утверждение, должным образом сформулированное в рамках F, всегда оказывается либо истинным, либо ЛОЖНЫМ (т. е. НЕРАЗРЕШИМЫХ утверждений система F не содержит).

Для строгого формалиста вопрос о том, является ли то или иное утверждение о бесконечных множествах действительно истинным в сколько угодно абсолютном смысле, не обязательно имеет смысл и, уж конечно же, не имеет никакого существенно­го отношения к процедурам формалистской математики. Таким образом, поиски абсолютной математической истины в отноше­нии утверждений, связанных с упомянутыми бесконечными ве­личинами, заменяются стремлением продемонстрировать непро­тиворечивость и полноту соответствующих формальных систем. Какие же математические правила допустимо использовать для такой демонстрации? Достойные доверия, прежде всего, причем формулировка этих правил никоим образом не должна основы­ваться на сомнительных рассуждениях с привлечением слишком вольно определяемых бесконечных множеств (типа множества Рассела). Была надежда на то, что в рамках некоторых срав­нительно простых и очевидно обоснованных формальных систем (например, такой достаточно элементарной системы, как ариф­метика Пеано) отыщутся логические процедуры, которых будет достаточно для того, чтобы доказать непротиворечивость других, более сложных, формальных систем — скажем, системы F, — непротиворечивость которых уже не столь бесспорна и в рам­ках которых допускаются формальные рассуждения об очень «больших» бесконечных множествах. Если принять философию формалистов, то подобное доказательство непротиворечивости для F, как минимум, даст основание для использования мето­дов рассуждения, допустимых в рамках системы F. Затем можно доказывать математические теоремы, применяя концепцию бес­конечных множеств тем или иным непротиворечивым образом, а может, удастся и вовсе избавиться от необходимости отвечать на вопрос о реальном «смысле» таких множеств. Более того, если удастся показать, что система F является еще и полной, то мож­но будет вполне резонно счесть, что эта система действительно содержит абсолютно все допустимые математические процедуры; т. е. представляет собой, в некотором смысле, полное описание математического аппарата рассматриваемой области.

Однако в 1930 году (публикация состоялась в 1931) Гёдель взорвал свою «бомбу», раз и навсегда показав, что мечта форма­листов принципиально недостижима. Он продемонстрировал, что не может существовать формальной системы F, которая была бы одновременно и непротиворечивой (в некоем «сильном» смысле, который мы рассмотрим в следующем разделе), и полной, — при условии, что F считается достаточно мощной, чтобы сочетать в себе формулировки утверждений обычной арифметики и стан­дартную логику. Таким образом, теорема Гёделя справедлива для таких систем F, в рамках которых арифметические утверждения типа теоремы Лагранжа и гипотезы Гольдбаха (см. §2.3) форму­лируются как утверждения математические.

В дальнейшем мы будем рассматривать только те формаль­ные системы, которые являются достаточно обширными, чтобы содержать в себе необходимые для действительной формулиров­ки теоремы Гёделя арифметические операции (а также, в случае нужды, и операции какой угодно машины Тьюринга; см. ниже). Говоря о какой-либо формальной системе F, я обычно буду под­разумевать, что она действительно достаточно обширна в этом смысле. Это допущение не отразится на наших рассуждениях сколько-нибудь существенным образом. (Тем не менее, рассмат­ривая формальные системы в таком контексте, я, для пущей яс­ности, буду иногда снабжать их эпитетом «достаточно обширная» или иным подобным.)