Файл: Пеноуз Роджер. Тени разума. В поисках науки о сознании.doc

Как же первоначальное кенигсбергское доказательство Гёде-ля связано с тем, что я представил в § 2.5? Не будем углубляться в детали, укажем лишь на наиболее существенные моменты. В роли формальной системы F из исходной теоремы Гёделя выступает наша алгоритмическая процедура А:

алгоритм А <—> правила системы F.

Роль же представленного Гёделем в Кенигсберге предположения G (F), которое в действительности утверждает непротиворе­чивость системы F, играет полученное в §2.5 конкретное пред­положение «вычисление Ck (k) не завершается», недоказуемое посредством процедуры А, но интуитивно представляющееся ис­тинным, коль скоро процедуру A мы полагаем обоснованной:

утверждение «вычисление Ck (k) не завершается» <—> утверждение «система F непротиворечива».

Возможно, такая замена позволит лучше понять, каким об­разом убежденность в обоснованности процедуры — такой, на­пример, как А — может привести к другой процедуре, с исходной никак не связанной, но в обоснованности которой мы также должны быть убеждены. Поскольку если мы полагаем процедуры некоторой формальной системы F обоснованными — т. е. проце­дурами, с помощью которых мы получаем одни лишь действи­тельные математические истины, полностью исключив ложные утверждения; иными словами, если некое предположение Р вы­водится из такой процедуры как ИСТИННОЕ, то это значит, что оно и в самом деле должно быть истинным, — то мы долж­ны также уверовать и в ^-непротиворечивость системы F. Если под «ИСТИННЫМ» понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ» — «ложное» (как оно, собственно, и есть в рамках любой обосно­ванной формальной системы F), то безусловно истинно следующее утверждение:

не все предположения Р (0), Р (1), Р (2), Р(3), Р (4), ... могут быть ИСТИННЫМИ, если утверждение «предположение Р (п) справедливо для всех натуральных чисел п» ЛОЖНО, что в точности совпадает с условием -непротиворечивости.

Однако убежденность в w-непротиворечивости формальной системы F может происходить не только из убежденности в об­основанности этой системы, но и из убежденности в ее обыкно­венной непротиворечивости. Поскольку если под «истинным» понимать «истинное», а под «ЛОЖНЫМ» — «ложное», то, несо­мненно, выполняется следующее условие:

ни одно предположение Р не может быть одновременно и ИСТИННЫМ, и ЛОЖНЫМ,

в точности совпадающее с условием непротиворечивости. Вооб­ще говоря, во многих случаях различия между непротиворечи­востью и ^-непротиворечивостью практически отсутствуют. Для упрощения дальнейших рассуждений этой главы я, в общем слу­чае, не стану разделять эти два типа непротиворечивости и буду обычно говорить просто о «непротиворечивости». Суть доказа­тельства Гёделя и Россера сводится к тому, что установление факта непротиворечивости формальной системы (достаточно об­ширной) превышает возможности этой самой формальной систе­мы. Первоначальный (кенигсбергский) вариант теоремы Гёделя опирался только на w-непротиворечивость, однако следующий, более известный, вывод был связан уже исключительно с непро­тиворечивостью обыкновенной.

Сущность гёделевского доказательства в нашем случае со­стоит в том, что оно показывает, как выйти за рамки любого заданного набора вычислительных правил, полагаемых обосно­ванными, и получить некое дополнительное правило, в исходном наборе отсутствующее, которое также должно полагать обосно­ванным, — т. е. правило, утверждающее непротиворечивость исходных правил. Важно уяснить следующий существенный мо­мент:

убежденность в обоснованности равносильна убежденности в непротиворечивости.

Мы имеем право применять правила формальной системы F и полагать, что выводимые из нее результаты действительно ис­тинны, только в том случае, если мы также полагаем, что эта формальная система непротиворечива. (Например, если бы си­стема F не была непротиворечивой, то мы могли бы вывести, как ИСТИННОЕ, утверждение «1 = 2», которое истинным, разу­меется, не является!) Таким образом, если мы уверены, что при­менение правил некоторой формальной системы F действительно эквивалентно математическому рассуждению, то следует быть готовым принять и рассуждение, выходящее за рамки системы F, какой бы эта система F ни была.

2.10. Возможные формальные возражения против (продолжение)

Продолжим рассмотрение различных математических воз­ражений, высказываемых время от времени в отношении моей трактовки доказательства Гёделя—Тьюринга. Многие из них тес­но связаны друг с другом, однако я полагаю, что в любом случае их будет полезно разъяснить по отдельности.

Q10. Абсолютна ли математическая истина? Как мы уже видели, существуют различные мнения относительно абсолютной истинности утверждений о » бесконечных множествах. Можем ли мы доверять доказательствам, опирающимся на какую-то рас­плывчатую концепцию «математической истины», а не на, скажем, четко определенное понятие формальной ИСТИНЫ?

Что касается формальной системы F, описывающей общую теорию множеств, то, действительно, не всегда ясно, можно ли вообще говорить о каком-то абсолютном смысле, в котором то или иное утверждение о множествах является либо «истинным», либо «ложным», — вследствие чего под сомнение может попасть и само понятие «обоснованности» формальной системы, подоб­ной F. В качестве поясняющего примера приведем один извест­ный результат, полученный Гёделем (1940) и Коэном (J 966). Они показали, что определенные математические утверждения (так называемые континуум-гипотеза Кантора и аксиома выбо­ра) никак не зависят от теоретике-множественных аксиом си­стемы Цермело--Френкеля — стандартной формальной систе­мы, обозначаемой здесь через ZF. (Аксиома выбора гласит, что для любой совокупности непустых множеств существует еще од­но множество, которое содержит ровно один элемент из каждо­го множества совокупности^. Согласно же континуум-гипотезе Кантора, количество подмножеств натуральных чисел — рав­ное количеству вещественных чисел — представляет собой вторую по величине бесконечность после множества собствен­но натуральных чисел^. Читателю нет нужды вникать в скры­тый смысл этих утверждений прямо сейчас. Равно как нет ну­жды и мне углубляться в подробное изложение аксиом и пра­вил процедуры системы ZF.) Некоторые математики убеждены в том, что система ZF охватывает все методы математического рассуждения, необходимые для обычной математики. Некоторые даже утверждают, будто приемлемым математическим доказа­тельством можно считать только такое доказательство, какое можно, в принципе, сформулировать и доказать в рамках систе­мы ZF. (См. комментарий к возражению Q14, где дается оценка применимости к таким субъектам гёделевского доказательства.) Иными словами, эти математики настаивают на том, что ИСТИННЫМИ, ЛОЖНЫМИ и НЕРАЗРЕШИМЫМИ в рамках систе­мы ZF математическими утверждениями можно считать только те утверждения, истинность, ложность и неразрешимость, соответ­ственно, которых, в принципе, устанавливается математически­ми средствами. Для таких людей аксиома выбора и континуум-гипотеза являются математически неразрешимыми (что, по их мнению, и доказывается выводом Гёделя—Коэна), и они наверня­ка будут утверждать, что истинность или ложность этих двух ма­тематических утверждений суть предметы достаточно условные. Влияют ли эти кажущиеся неопределенности в отношении абсолютного характера математической истины на выводы, ко­торые мы сделали из доказательства Гёделя—Тьюринга? Никоим образом, так как мы имеем здесь дело с классом математиче­ских проблем гораздо более ограниченной природы, нежели те, что, подобно аксиоме выбора и континуум-гипотезе, относятся к неконструктивно-бесконечным множествам. В данном случае нас занимают лишь утверждения вида

«такое-то вычисление никогда не завершается»,

причем рассматриваемые вычисления можно задать совершен­но точно через действия машины Тьюринга. Такие утвержде­ния в логике называются Hi-высказываниями (или, точнее, П5-высказываниями). В пределах формальной системы F утвержде­ние G (F) является Щ-высказыванием, а вот П (F) таковым не является (см. §2.8). По всей видимости, не существует каких-либо разумных доводов против того, что истинный/ложный ха­рактер любого Щ-высказывания есть предмет абсолютный и никак не зависит от избранного нами мнения относитель­но предположений, касающихся неконструктивно-бесконечных множеств — таких, например, как аксиома выбора и континуум-гипотеза. (С другой стороны, как мы вскоре убедимся, выбор метода рассуждения, принимаемого нами в качестве инструмента для получения убедительных доказательств hi -высказываний, действительно может определяться мнением, которого мы при­держиваемся в отношении неконструктивно-бесконечных мно­жеств; см. возражение Q11.) Очевидно, если не считать крайней позиции, занимаемой отдельными интуиционистами(см. коммен­тарий к Q9), единственное здравое возражение по поводу абсо­лютного характера истинности таких утверждений может быть связано с тем обстоятельством, что некоторые принципиально завершающиеся вычисления могут потребовать для своего вы­полнения столь непомерно долгого времени, что на практике, вполне возможно, не завершатся и, скажем, за все время жизни вселенной; может случиться и так, что для записи самого вычис­ления (пусть и конечного) потребуется так много символов, что физически невозможным окажется составить даже его описание. Впрочем, все эти вопросы были исчерпывающим образом про­анализированы выше, в обсуждении возражения Q8, там же мы выяснили, что на наш основной вывод <£ они никоим образом не влияют. Вспомним и о возражении Q9, рассмотрение которого показало, что позиция интуиционистов в этом случае также не избегает вывода Ш.

Кроме того, концепция (весьма ограниченная, надо сказать) математической истины, необходимая мне для доказательства Гёделя—Тьюринга, определена, вообще говоря, не менее четко, нежели концепции ИСТИННОГО, ЛОЖНОГО и НЕРАЗРЕШИМО­ГО для любой формальной системы F. Из сказанного выше (§ 2.9) нам известно, что существует некий алгоритм F, эквивалентный системе F. Если алгоритму F предстоит обработать некое пред­положение Р (формулируемое на языке системы F), то выпол­нение этого алгоритма может быть успешно завершено только в том случае, если предположение Р доказуемо в соответствии с правилами системы F, т.е. когда предположение Р ИСТИН­НО. Соответственно, предположение Р является ложным, если алгоритм F успешно завершается при обработке предположе­ния ~ Р, и НЕРАЗРЕШИМЫМ, если не завершается ни одно из упомянутых вычислений. Вопрос о том, является ли математи­ческое утверждение Р истинным, ложным или НЕРАЗРЕ­ШИМЫМ, в точности совпадает по своей природе с вопросом о реальной истинности утверждений о завершаемости или незавершаемости вычислений — иными словами, о ложности или ис­тинности определенных hi-высказываний — а кроме этого для нашего «гёделевско—тьюринговского» доказательства ничего и не требуется.

Q11. Существуют определенные П₁-высказывания, которые можно доказать с помощью теории беско­нечных множеств, однако не известно ни одного до­казательства, которое использовало бы стандарт­ные «конечные» методы. Не означает ли это, что даже к таким четко определенным проблемам ма­тематики, на деле, подходят субъективно? Различ­ные математики, придерживающиеся в отношении теории множеств разных убеждений, могут применять к оценке математической истинности П₁-высказываний неэквивалентные критерии.

Этот момент может оказаться существенным в том, что касается моих собственных выводов из доказательства Гёделя (—Тьюринга), и я, возможно, уделил ему недостаточно много вни­мания в кратком изложении, представленном в НРК. Как ни странно, но возражение QM, похоже, никого, кроме меня, не обеспокоило — по крайней мере, никто мне на него не указал! В НРК (с. 417, 418), как и здесь, я сформулировал доказатель­ство Гёделя(—Тьюринга) исходя из того, что посредством разума и понимания способны установить все «математики» или «мате­матическое сообщество». Преимущество подобной формулиров­ки, в отличие от рассмотрения вопроса о способности какого-либо конкретного индивидуума к установлению математиче­ских истин посредством своего разума и понимания, заключается в том, что первый способ позволяет избежать некоторых воз­ражений, которые нередко выдвигают в отношении той версии доказательства Гёделя, которую предложил Лукас (196 J). Самые разные ученые^³-¹ указывали, к примеру, на то, что «сам Лукас» никак не мог обладать знанием о своем собственном алгоритме. (Некоторые из них говорили то же самое и о варианте дока­зательства, предложенном много-, не обратив, судя по всему, внимания на тот факт, что моя формулировка вовсе не настолько «личностна».) Именно возможность сослаться на способности к рассуждению и пониманию, присущие всем «математикам» вооб­ще или «математическому сообществу», позволяет нам избежать необходимости считаться с предположением о том, что различные индивидуумы могут воспринимать математическую истину по-разному, каждый в соответствии с личным непознаваемым алго­ритмом. Значительно сложнее смириться с тем, что результатом выполнения некоего непостижимого алгоритма может оказаться коллективное понимание математического сообщества в целом, нежели с тем, что этот самый алгоритм обусловливает матема­тическое понимание всего лишь какого-то конкретного индиви­дуума. Суть возражения QJI как раз и заключается в том, что упомянутое коллективное понимание может оказаться совсем не таким универсальным и безличным, каким счел его я.