Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

16 ГЛ I КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

Аналогично устанавливаются выражения для ускорения:

венном способе, в пространстве х, у, z задается кривая, по кото-

Введем в рассмотрение так называемый сопровождающий трехгранник1), образованный ортами т, п и Ь касательной, главной нормали и бинормали 2) в точке А траектории (рис. 1.4). Направление ортов т, п и Ъ меняется при движении точки Л, т. е. эти орты представляют собой вектор-функции т = т (t), n=n (t), &=&(/)

!) Иногда этот трехгранник называют естественным, натуральным или подвижным.

2) Напоминаем читателю, что главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, а бинормалью — нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости (Соприкасающаяся плоскость получается как предел плоскостей, проходящих через три близкие точки кривог, при неограниченном сближении этих точек В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью самой кривой.)

т. е. вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории и по абсолютной величине равен модулю производной ds/dt.

Формула (5) устанавливает связь между выражениями скорости при векторном и естественном способе задания движения; аналогично

Таким образом, вектор w лежит в соприкасающейся плоскости сопровождающего трехгранника. Его проекция на касательное направление

называется касательным (или тангенциальным) ускорением, а его проекция на направление главной нормали

(8)

— нормальным ускорением. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Ясно, что

w—

Вчастном случае, когда траекторией движения является окружность, касательное ускорение направлено перпендикулярно радиусу окружности, а нормальное — по радиусу к центру (рис. 1,5).

20 ГЛ. I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

но, с другой стороны, очевидно, что

d дг д dr dv

Используя (15) и (16), представляем равенство (14) в виде

«..-«[!(••«)—&]•

или

Коль скоро вектор-функция v(q, q) определена поформуле (12), v2 = v-v может быть подсчитана как скалярная функция q и q, и тогда формула (17) для любой системы обобщенных координат определяет проекцию ускорения w на ось qt.

§3. Общие соображения о движении систем отсчета

Вэтом параграфе будет начато рассмотрение движения одной системы отсчета относительно другой (рис. 1.1,6). О системе отсчета, относительно которой рассматривается движение, как и ранее, предполагается, что соответствующая геометрическая твердая среда содержит континуум геометрических точек, заполняющих пространство, и поэтому в любой момент времени каждая

точка второй системы отсчета обязательно совпадает с какой-либо точкой первой1). В этой первой системе отсчета по-прежнему будем рассматривать прямоугольную декартову систему коорди-

нат х, у, г и условимся называть эту систему отсчета «латинской средой»2).

Вгеометрической твердой среде второй системы отсчета также введем декартову систему координат, но ее оси обозначим греческими буквами |, т), £ (векторы /, /, Л —орты этих осей) и будем называть условно вторую систему отсчета «греческой средой». Интересующая нас задача состоит в изучении движения греческой среды относительно латинской.

Непосредственно ясно, что условие неизменности расстояния между точками греческой среды во время движения накладывает ограничения на возможные скорости ее точек. Так, например,

х) Можно было бы предположить, что эта геометрическая твердая среда содержит счетное множество точек, образующих некоторую упорядоченную «решетку». Тогда положение движущейся точки определялось бы тем, в какой клетке этой решетки она находится в рассматриваемый момент.

2) Термины «латинская среда» и «греческая среда» (см. ниже), конечно, могут встретить вполне естественные возражения, но они очень удобны и поэтому будут широко использоваться в дальнейшем (даже без кавычек).