Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 880

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

142 ГЛ IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

Лагранжа. В общем случае кинетическая энергия является функцией q и q, а если преобразование (9) нестационарно, то также и /:

 

 

 

T = T(q,

q,

t).

 

 

 

Подсчитаем

производную

 

 

 

 

 

 

 

 

dT

_ V (дТ

• и д Т

- \

л.дТ

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dT _дТ

удТ

. ,d

удТ

 

. __у .

d< дТ_ _

 

 

dt ~~dt+Z.

dq,q> + dt Zi dq)qi

~~ ZdQj

di Щ

~

 

 

 

 

 

dT

XfddT

 

dT\.

, d\\dT .

 

 

 

= W -

2 [dt djj - dq])^ + dl

Ш,Ц1

 

Рассмотрим теперь порознь суммы, входящие

в правую

часть

этого выражения. В

первой сумме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дТ

дТ

 

 

 

выражение

в скобках

совпадает с левой

частью

уравнений

Лаг-

ранжа. Рассматривая значения производной dT/dt на траекто-

риях

движения, эту

сумму

в силу (31) можно

заменить суммой

£] (—dV/dqj

-\-Q**) CJJ, где

Q** —непотенциальная часть

обобщен-

ных

сил. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

дТ

дТ\ ,

XV

d v

\ О

 

 

 

 

 

 

 

 

dqf

 

 

 

 

 

где

сумма

iV** = 2Q**9/

называется

мощностью непотенциаль-

ных

сил х ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторую сумму из правой части

выражения

(46) можно пере-

писать так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wi

 

 

q,

q'-dt

[Ldj,

qi~rLwiQi

r

Используя теперь формулу Эйлера для однородных функций

Удр x,-kF

г) Название введено по аналогии с обычным понятием мощности силы F, а именно N = F-v —

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЛЛГРЛНЖА

143

где У7—произвольная однородная функция k-и степени, и вспоминая, что Т2 — квадратичная, а 7\ —линейная форма от qf, получаем

~ г

 

It

dT~ldt~l

di

dt

Подставляя (47) и (48) в (46),

получаем

 

 

dJ

_

£ 1 _udV

_ д 1 _

л/** J

 

9dT

_

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

d£

~

d(T+V)_

„

dT

 

dV

 

dt

dt

dt

~~'

dt ^

^

dt

r

 

 

 

~~'

dt

 

 

 

В частном случае, когда преобразование (9) стационарно,

Если предположить далее, что потенциальное поле

стационарно,

то dV/dt=r-0 и

 

dEdt _ = N*

(49)

Система, у которой все силы потенциальны, а потенциальное поле стационарно, была названа выше консервативной. На точки консервативной системы непотенциальные силы не действуют, ЛГ**=О и поэтому

-я- = 0» т. е. Е = const.

at

Таким образом, мы установили, что закон сохранения механической энергии для консервативных систем имеет место в любых координатах qu ... , qn, если преобразование (9) стационарно.

Покажем теперь, что Е = const во время движения и для некоторых неконсервативных систем. Действительно, равенство

ф = О

(50)

может иметь место, несмотря на то, что все (или некоторые) QJ* отличны от нуля. В таких случаях вновь Е = const, хотя и существуют непотенциальные силы. Системы такого рода называют

144

ГЛ. IV. КОВАРИЛНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

гироскопическими, а непотенциальные обобщенные силы Q**, для которых выполняется условие (50), —гироскопическими силами 1).

Если непотенциальные части обобщенных сил таковы, что во время движения выполняется неравенство

(51)

то в процессе движения dE/dt^O и полная энергия Е не увеличивается, а может лишь рассеиваться на отдельных этапах движения. Если неравенство (51) выполняется строго (конечно, тогда хотя бы одна из производных fy отлична от нуля), то движение все время сопровождается рассеиванием энергии. Системы такого рода называются диссипативными(соответственно —строго диссипативными), а силы, удовлетворяющие неравенству (51),—

диссипативными силами.

§ 4. Использование уравнений Лагранжа для описания движения систем с механическими связями

До сих пор мы рассматривали систему материальных точек в предположении, что ничто не ограничивает движения точек и

что это движение предопределяется действующими на

точки

силами, в частности, силовыми полями. При этом наличие

иных

материальных объектов в пространстве, не принадлежащих

к рас-

сматриваемой системе, было существенно лишь в том отношении, что эти объекты могли создавать силовые поля (например, поле всемирного тяготения, магнитное поле и т. д.), но сами по себе не препятствовали движению рассматриваемой системы. Иначе говоря, до сих пор мы пренебрегали тем фактом, что «посторонняя»

для изучаемой

системы материя сама занимает некоторое

место

в пространстве

и, следовательно, точки нашей системы

уже

не могут занимать того же самого места. Такая идеализация приемлема для многих задач физики. В технике приходится считаться с кардинально иной постановкой задачи; например, придвижении частей машин место, занятое какой-либо деталью, уже не может быть занято в тот же момент другой деталью, и это накладывает ограничения на свободу движения изучаемой системы.

Любые ограничения, накладываемые на движение исследуемой системы тем фактом, что материя занимает место в пространстве и поэтому в той или иной мере препятствует движению исследуемых материальных точек, называются механическими связями.

х) Название это исторически связано с тем, что силы, удовлетворяющие

условию (50), возникают, в частности, при движении гироскопов.

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛЛГРАНЖЛ ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

145

Классификация механических связей. Начнем с простейших примеров механических связей. В качестве первого примера рассмотрим движение материальной точки т в плоскости х, у при условии, что на этой плоскости существует препятствие, имеющее

У

У

 

о/77

х0х

6)

Рис. IV.3.

форму параболы у —ах2 и не позволяющее материальной точке оказаться справа от него (т. е. в заштрихованной на рис. IV.3, a области). Таким образом, во время движения материальная

точка т может находится лишь в тех точках

плоскости, которые

находятся слева от параболы или на ней (рис. IV.3, а).

Другим

примером может служить механическая связь,

определяемая тем

условием, что материальная точка

во время

движения

должна

все время находиться на указанной

выше параболе

(рис. IV.3, б).

В первом случае безотносительно к

действующим

силам,

только

за счет

рассматриваемого

ограниче-

 

 

ния, координаты точки должны

удо- у

 

 

влетворять

условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

у 5э

ах2.

 

 

 

 

 

Во

втором

случае

условие имеет

 

 

уже

форму

не неравенства, а равен-

 

 

ства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у — ах .

 

 

(oz)

 

 

Теперь

усложним

механическую

 

 

связь: предположим, что

рассматри-

Рис.

IV.4.

ваемая точка должна

все время

на-

 

 

ходиться

на той

же

параболе,

но

 

 

сама парабола поступательно движется с постоянной скоростью v, параллельной оси х (рис. IV.4). В этом случае возможные положения точки в плоскости также ограничены, но условия, накладываемые такой механической связью на координаты х и у, имеют вид

у — и ул — vij •

\уд)

146 ГЛ IV. КОП\РИ\МТНЛЯ ФОРЛ'И УР\ПППШП ДВПЖРНИЯ

В качестве следующего примера рассмотрим ограничение несколько иного типа. Представим себе плоское движение двух точек тг и тг, стесненное следующим условием: во время движения расстояние между этими двумя точками должно все время оставаться постоянным и равным / (рис. IV.5). Легко видеть, что при этом координаты точек хи у± и х2, у2 должны удовлетворять

равенству

to-jOM-to-ifc)8-*". (

Рассмотрим теперь более сложный случай: пусть в предыдущем примере вводится еще одно ограничение-скорость середины

У\

и

 

0

 

 

*-

 

 

 

 

Рис. IV.5.

 

Рис. IV.6.

 

отрезка, соединяющего

точки, должна

быгь всегда

направлена

вдоль этого отрезка (рис. IV.б)1). Это условие

накладывает

дополнительное ограничение не только

на координаты

точек, но

и на скорость середины

отрезка, соединяющего точки,

а значит,

и на скорости самих точек. Проекции скорости середины отрезка на оси х и у равны

у, = х,-\-х2

У1

и поэтому условие, что скорость середины отрезка всегда направлена вдоль отрезка, выражается равенством

л+ {к

(56)

 

Последний пример отличается от ранее рассмотренных в двух отношениях: во-первых, ограничения обусловили не одно, а Два равенства ((54) и (56)) одновременно; во-вторых, условие' (56) накладывает ограничения не только на координаты, но и на скорости, и выражается поэтому не конечным равенством, а дифференциальным уравнением по отношению к координатам точек.

*) Идеализированная модель полоза санок или конька.

Смотрите также файлы