ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 879
Скачиваний: 3
152 ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
координатами, а их производные по времени —обобщенными скоростями. В соответствии с этой терминологией для системы материальных точек, не стесненных какими-либо связями, обобщенными координатами служат 3N величин, заданных в любой из рассмотренных ранее систем координат: декартовой, цилиндрической, сферической и т. д. В этом смысле «новые координаты»
<7/(/' = 1, |
..., я), о которых шла речь |
в § 1 и 2 этой главы, |
являются |
обобщенными координатами. |
Подобным же образом |
а) |
б) |
Рис. |
IV.9. |
при рассмотрении голономных систем, движение которых стеснено механическими связями, возможен самый разнообразный выбор обобщенных координат. Так, в примере, представленном на рис. IV. 3, б, обобщенной координатой (как уже было указано) может служить либо координата у точки, либо ее координата х, либо дуга вдоль параболы (отсчитанная с учетом знака от какойлибо начальной точки, например от начала координат), либо
угол, образованный лучом, |
проведенным |
из начала координат |
|
к материальной |
точке, и осью абсцисс, |
и т. д. Для примера, |
|
представленного |
на рис. IV.5, различный |
выбор возможных сис- |
|
тем обобщенных |
координат |
определяется |
тем, каким образом |
фиксируется, во-первых, положение одной точки и, во-вторых, положение второй точки относительно первой. На рис. IV.9 приведены примеры различных способов введения обобщенных координат. На рис. IV.9, а в качестве обобщенных координат
выбраны декартовы |
координаты хг и ух первой точки и угол ч|), |
|||||
образованный прямой, соединяющей две точки системы, и гори- |
||||||
зонталью (g1 = xl, |
q2= ylt |
q-4 = ty); на рис. IV.9, |
б обобщенными |
|||
координатами служат полярные координаты первой точки и угол |
||||||
для |
определения |
положения второй точки (<7Х = г1? |
<72= <р, ^з —1*!5); |
|||
на |
рис. IV.9, в —декартовы координаты второй |
точки и угол, |
||||
образованный прямой, соединяющей две точки системы, с |
верти- |
|||||
калью, проведенной |
через |
вторую точку (Qi = xz, |
q2 —y2, |
q3 = b). |
||
Разумеется, в этом примере возможен и иной выбор обобщенных координат.
На рис. IV. 10 изображен так называемый двойной плоский маятник, а на рис. IV.11—система, состоящая из плоского
§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ |
153 |
маятника, к которому на пружине подвешен грузик. Изображен-
ная на рис. IV. 10 |
система имеет две степени свободы, и в качест- |
||||
ве |
обобщенных координат можно взять, например, либо углы а |
||||
и |
р, либо величины xt и хг, |
либо величину хх |
и угол р и т. д. |
||
Число степеней свободы системы, показанной на рис. IV.11, |
|||||
зависит от |
предположения |
о движении грузика, подвешенного |
|||
к |
пружине. |
Если |
грузик |
может занимать |
любое положение |
О |
У |
V///, |
|
||
х, |
|
а, |
|
|
Рис. IV. 10. |
Рис. IV.11. |
вплоскости и от его положения зависит только упругая сила пружины, то пружина лишь предопределяет силовое взаимодействие между грузиком и маятником, т. е. характер возникающих
всистеме потенциальных сил, и не накладывает каких-либо ограничений на движение системы. Поэтому в данном случае система имеет три степени свободы, и соответственно обобщенны-
ми координатами могут быть величина а или хх — ею фиксируется положение маятника —и какие-либо две величины, например декартовы координаты, фиксирующие положение грузика. Иначе обстоит дело, если пружина может растягиваться лишь вдоль вертикали, т. е. если грузик вынужден всегда находиться на одной вертикали с маятником (например, движется по вертикальной направляющей, закрепленной на маятнике). В этом случае система имеет две степени свободы и обобщенными координатами
могут служить, например, угол |
а и расстояние 1= х2 — х1 от |
маятника до грузика, т. е. длина |
пружины. |
По самому определению понятия «обобщенная координата» ясно, что декартовы координаты всех точек системы однозначно определяются, коль скоро заданы обобщенные координаты, несмотря на то, что число обобщенных координат может быть значительно меньше утроенного числа материальных точек."Более того, число материальных точек может быть бесконечным, например, если система содержит тела, а число обобщенных координат конечно и даже мало. Но в любом случае декартовы координаты полностью определяются через обобщенные, и при этом функции,
154 ГЛ. IV. КОВАРИАНТНЛЯ ФОРМЛ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
выражающие декартовы координаты материальных точек через обобщенные координаты, не зависят явно от времени, если все механические связи склерономны, и зависят явно от времени, если среди механических связей системы имеются реономные. Имея в виду этот общий случай, представим зависимости между декартовыми координатами точек и обобщенными координатами в виде
xi = h (q, |
t), |
щ = Ф / (q, t), |
zi = % (q, |
t) |
(i = 1, |
2, . . . , N). (60) |
||
Переходя |
в |
этих |
выражениях к |
виртуальным |
перемещениям, |
|||
т. |
е. дифференцируя их |
при предположении, что явно входящее |
||||||
в |
выражения |
(60) |
время |
является константой, получаем |
||||
|
1 |
|
$> |
щ |
|
|
|
|
(61) |
Соотношения (60) |
и (61) формально совпадают с соотношени- |
|||
ями |
(8) и (12) этой |
главы, хотя |
к ним приходят из иных сооб- |
|
ражений. Отсюда сразу вытекают следующие результаты. |
||||
1. Механические голономные связи предопределяют зависи- |
||||
мости (60) |
между декартовыми |
и «новыми» координатами, если |
||
в качестве |
«новых» |
координат выбрана любая система обобщен- |
||
ных |
координат. |
|
|
|
2. Для |
системы |
с механическими голономными связями раз- |
||
личие между операторами d и б имеет простой механический смысл, соответствующий различию между возможными и виртуальными скоростями, а число п новых координат равно числу степеней свободы системы. Имея в виду это обстоятельство, мы при выводе уравнений Лагранжа считали, что п удовлетворяет неравенству n^SN, хотя при отсутствии механических связей оснований для такого обобщения не было.
Идеальные связи. Для того чтобы записать второй закон Ньютона для материальной точки, движение которой стеснено механической удерживающей связью, надо к действующим на точку силам добавить реакции связи. Эти реакции сами заЬисят от характера движения точки, т. е. являются функциями ее скоростей и ускорений. Используя лагранжев формализм для систем, содержащих механические связи, часто удается описать движения системы, не вводя в рассмотрение эти функции — реакции связи.
Для того чтобы пояснить это последнее обстоятельство, введем новое понятие. Условимся механические связи называть идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы равна нулю. Обычно идеальными являются связи, при которых движение материаль-
§ 4 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ |
155 |
пой точки вдоль кривой или поверхности, определяющей |
связь, |
происходит без трения. Действительно, в этом случае реакции связей направлены по нормалям к кривым или поверхностям, стесняющим движение, а виртуальные скорости — по касательным к ним, и поэтому виртуальная работа реакций связей в таких случаях равна нулю. Если из-за учета трения связь оказывается не идеальной, т. е. ее реакция не ортогональна к виртуальной скорости, то эту реакцию можно разложить на «идеальную составляющую», направленную по нормали, и на «неидеальную составляющую», направленную вдоль виртуальной скорости.
Использование уравнений Лагранжа для систем, содержащих
механические голономные связи. Если система содержит механические связи, но все они голономны, то можно в качестве «новых»
координат использовать |
обобщенные |
координаты |
qu |
..., qn |
(их |
|
число п = ЗМ— гs^3N |
равно числу |
степеней свободы системы), |
||||
а формулы (8) получаются так, как |
это |
было |
пояснено |
выше |
||
(см. рассуждения, приводящие к формулам |
(60)). |
|
|
|
||
При выводе уравнений Лагранжа мы исходим из записи второго закона Ньютона. Для систем, содержащих голономные механические связи, этот закон имеет вид
mfi^Fi |
+ Rt, |
/ = 1, |
.... N, |
(62) |
|
где /?( —реакция |
связи, действующая на |
t'-ю точку системы. |
|||
Дословно повторяя |
вывод уравнений Лагранжа |
из § 2 этой |
|||
главы, приходим |
к уравнениям |
Лагранжа (22) с той |
лишь раз- |
||
ницей, что теперь |
Q, в них означает |
|
|
||
Выше было показано, что обобщенная сила Q'/'= Л-^'ТГ1 Р а в н а
множителю при 6<7у в выражении для виртуальной работы приложенных сил F{. Аналогично Qf = \ Rt • -—- —такой же множи-
i
тель в выражении для виртуальной работы реакций связей. Таким образом, уравнения Лагранжа пригодны для описания системы, содержащей голономные механические связи.
В том случае, когда связи идеальные, сумма |
работ их реак- |
ций на виртуальном перемещении равна нулю. |
В связи с тем, |
что bqj —независимые приращения, множители Qf |
в выражении |
для виртуальной работы реакций идеальных связей Rt порознь равны нулю:
N |
|
ч , - ^Ki |
dq/ - и . |
1 1