Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл (12,43Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 873

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

180	ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Мы покажем далее, что в этом случае можно повернуть систему координат BOKpyi оси z на такой угол (он находится единственным образом), что в новой системе координат х', у', г' все три центробежных момента будут равны нулю:

J х'у' =	J х'г' = J у'г' = U»
В таких случаях говорят,	что ось г (а не вся система коорди-

нат!) является главной осью инерции в точке О. Вообще, если два центробежных момента инерции равны нулю, а третий отличен от нуля, то ось, соответствующая общему индексу равных нулю центробежных моментов инерции, называется главной осью инерции в точке О.

Тот факт, что такой поворот координат действительно возможен и является единственным, следует немедленно из формул, выражающих новые координаты через старые при повороте системы координат относительно оси г:

х' = х cosа -+- у sina,
у' = у cosа —х sinа,	(34)
г' = г.

Используя равенства (34) и условие Jуг = Jxz —0, вычислим моменты инерции J,rz> wJX'Z''-

ii/z" = Ъ Щу\г[ = cosa £ mly,zi — sin a £ tnlxlzi	=
'i = cos a £ rtitXtz,
= ./«cos a-f-./^ sin a = 0.	(35)

Таким образом, два центробежных момента инерции, равные нулю до поворота системы координат, остаются равными нулю при любом повороте вокруг оси г. Подсчитаем теперь

= sina соь a £ m,yl — sin a cos a V,mrf + (cos2 a — sin2 a) 2

= — g-sin 2a ( £ /ад2 - Ц т(у!) + cos2a 1] m ^ , . (36)

Поскольку

2 m; 4- 2 m/«/f =2 mt (xf+г?) —2 m^(г/f +г?) =/й — Jx,

из формулы (36) непосредственно следует, что существует единственный угол а, при котором Jx,y, = 0:

2Jxll


			§ 2. ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА							181
	Указанные выше			рассуждения		оправдывают			наименование
«главная ось инерции» для отдельно						взятой оси.
	З а м е ч а н и е		2.	Пусть в точке		О задана система				координат
х, у, z, и пусть ось г является					главной для точки О. Выясним,
остается ли она			главной для		любых		других	точек,		лежащих
на	этой оси. Иначе говоря, выберем						произвольную точку А на
оси	г	и проведем	через нее оси х',			у', параллельные				осям х, у
(ось	г'	совпадает	с осью г; см. рис. V.5). Будет						ли ось г' глав-
ной	также и для точки Л?
	Новые координаты точек выражаются через							старые так:.

(а —О А), и поэтому центробежные моменты инерции относительно новых осей равны

i —а) = Jxz — аМхс,

- a) = Jyg - а

Из того факта, что старые моменты инерции Jхг и Jуг равны нулю, следует, что новые моменты инерции JX'Z- и Jy-Z' равны нулю тогда и только тогда, ко-

z\z	гда х ;=}&с = 0,т-е-		к о г д а центр
	инерци!гт)асположен		на оси г.
	Таким образом,	главная ось

		/П;
Рис.	V.5.	Рис. V.6.
инерции остается	главной для всехсвоих точек тогда и только

тогда, когда она является главнойцентральной осью инерции.

З а м е ч а н и е 3. Если у тела есть ось материальной симметрии, то она является главной центральной осью инерции этого тела.

Осью материальной симметрии называется ось, обладающая следующим свойством. Если из произвольной i'-й точки смассой mi провести прямую, перпендикулярную этой оси,то на продолжении такой прямой найдется другая точка с точно такой же массой т{, расположенная от прямой на том же самом расстоянии (рис.V.6). Приняв ось материальной симметрии за ось z и

182		ГЛ	V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
направив из ее произвольной точки О любым образом оси х											и у
(но так, чтобы система х,				у,	г была		правой), замечаем,			что из
свойств материальной симметрии следует, что для каждой											i-й
точки	тела с координатами			х„	у и zt		и массой	/л; можно		найти
в теле	точку	с той же массой			тг и	с координатами			—х,,	—yt,
Z{. Поэтому		центробежные		моменты			инерции	Jxz = £ tnixizl			и
Jyz = HmtyiZi		равны	нулю,	так как в этих суммах					все	члены

попарно уничтожаются. Следовательно, ось материальной сим-


метрии—главная			ось	инерции для любой своей точки. Она явля-
ется центральной			осью, поскольку			центр		инерции С расположен
на оси материальной симметрии.
З а м е ч а н и е			4.	Если в теле		есть	плоскость материальной
симметрии, то любая				прямая, перпендикулярная этой плоскости,
является	главной		осью для точки, в которой эта прямая пере-
секает плоскость материальной					симметрии.
Говорят,		что тело		имеет плоскость			материальной		симметрии,
если для	любой i-й точки с массой mi можно найти другую точку
с такой	же	массой,		которая	лежит на			общем перпендикуляре
к плоскости		и на одинаковом			от	этой		плоскости	расстоянии,

но по другую сторону от нее. Выберем в плоскости материальной

симметрии	произвольную		точку О и проведем через нее перпен-
дикулярную плоскости ось г, а оси х				и у	поместим в самой пло-
скости. Тогда		для любой	точки с массой		т{ и с координатами
Xt, yt> ?i в теле найдется			точка с той	же	массой mt и с коорди-
натами xh	yh	—Z{. Поэтому в суммах		£ т	; е д и Ц т ^ г , также
все члены попарно уничтожаются и

J хг = = •> уг = U .

Если в некоторой точке можно указать три главные оси инерции такие, что через любые две из них нельзя провести плоскость, перпендикулярную третьей, то эллипсоид инерции для этой точки заведомо является сферойг). Иногда это можно обнаружить, используя настоящее замечание.

В качестве примера рассмотрим однородный куб. Проведем через центр куба три плоскости материальной симметрии: две из них параллельны граням, а третья проходит через два противоположных ребра. В силу настоящего замечания перпендикуляры к этим плоскостям, проведенные через центр куба, представляют собой главные оси инерции; вместе с тем они удовлетворяют ука-

х) Если эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, то его главные оси взаимно перпендикулярны. У эллипсоида вращения ось вращения — одна из главных осей инерции, а остальные главные оси лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Лишь в том случае, когда эллипсоид вра- щения—сфера и любая ось —главная, существуют такие три главные оси инерции, что плоскость, проходящая через любые две из них, не перпендикулярна третьей.

	§ 2. ГЕОМЕТРИЯ МЛСС ТВЕРДОГО ТЕЛЛ	183
занному	выше условию. Следовательно, эллипсоид	инерции куба
для его	центра является сферой.

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр

куба, при переносе осей в вершину получают				различные прира-
щения, и	результирующие моменты		инерции	будут разными.
Читателю	предлагается	самому найти	главные	оси инерции для
вершины куба.
З а м е ч а н и е 5. Для однородных тел вращения ось вращения
и любые две взаимно		перпендикулярные и перпендикулярные ей
прямые образуют систему главных осей			инерции. Действительно,

ось вращения всегда является осью материальной симметрии и поэтому в силу замечания 3 является главной осью инерции. Для тела вращения любая плоскость, проходящая через ось вращения, является плоскостью материальной симметрии. Выберем поэтому на оси вращения произвольную точку и проведем через нее две взаимно перпендикулярные прямые, перпендикулярные оси вращения. Проводя затем поочередно плоскости через ось вращения и каждую из этих прямых, убеждаемся, что в силу замечания 4 вторая прямая, перпендикулярная проведенной пло-

скости, является		главной осью инерции. Утверждение доказано.
З а м е ч а н и е		6.	Моменты инерции произвольного тела отно-
сительно трех	взаимно перпендикулярных					осей удовлетворяют
«неравенствам	треугольника», т. е. неравенствам
		J х ~Т «у ==^ "»z«		•х	J у ^ =	»z>
		Jу	~Т " z =& Jxf	" у	« z ^ a	»*•
		Jг	Т "X 3 ^ «у>	"IZ	J X^=:	J у