Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 870

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

184 ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для

плоской фигуры,

лежащей в плоскости

хОу, 2 , = О,

и мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

Jх

т

Jy — Jг-

 

Рассмотрим, например, однородный диск радиуса г и поместим

начало

координат в его центр, направив ось г перпендикулярно

плоскости диска. Так как для диска Jx=*Jy, сразу

имеем

 

 

2Jx=Jz^l/2mr\

т. е. Jx = 1/4rnr\

 

и мы (безвсякого

интегрирования!) подсчитали момент инерции

диска относительно

диаметра.

 

 

Первые

пять замечаний позволяют в некоторых

важных слу-

чаях сразу

указать

главные илидаже главные центральные оси

инерции. В общем случае для нахождения главных осей инерции надо по обычным правилам линейной алгебры привести квадратичную форму (29) к каноническому виду (к главным осям).

Если оси координат неподвижны и тело движется относительно этих осей, то моменты инерции тела относительно этих осей меняются во время движения. Между теммоменты инерции являются важными характеристиками движения и войдут далее в его уравнения. Естественно поэтому, чтопри исследовании движения твердого тела оказывается более удобным ввести в рассмотрение

оси,

жестко

связанные с телом и движущиеся

вместе

с ним.

Тогда

 

моменты инерции тела по отношению к таким осям уже

не меняются.

 

 

 

 

 

 

Моменты

инерции

тела

относительно

осей |,

г), £,

жестко

связанных с телом, принято обозначать первыми буквами

латин-

ского

алфавита А, В, С, D, E, F, а именно

 

 

Л = У|,

B = JV

С = УЕ, D= J^,

£ = УЦ>

F=*Jln.

(38)

Для

осей, жестко

связанных с телом, формулу (25) можно

теперь

переписать так:

 

 

 

 

 

 

 

Jt

=аМ + Р2 5 + У2С - 2$yD - 2ауЕ - 2ccpF.

(39)

 

§ 3. Кинетическая энергия и кинетический момент

 

 

 

твердого тела, имеющего неподвижную точку

 

Прежде чемприступить в следующем

параграфе к исследова-

нию

уравнений движения

тела с неподвижной точкой, мы рас-

смотрим, как вычисляют притаком движении две его основные характеристики: кинетическую энергию и вектор кинетического момента.

Свяжем с телом

оси декартовой системы

координат %, г\, %

с началом в неподвижной точке. В каждое

мгновение скорости

тела распределены

так,как будто происходит вращение относи-

§ 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ

185

тельно мгновенной оси с некоторой мгновенной угловой скоростью,

и поэтому существует вектор угловой

скорости со. Предположим

теперь, что в некоторое мгновение орт угловой

скорости имеет

направляющие

косинусы,

равные

а,

р

и у,

так

что

проекции

вектора угловой скорости на оси

£,

т|,

£ системы

координат,

связанной

с телом,

соответственно

равны

 

 

 

 

 

 

 

р —аы,

<7= р<в,

г — уц).

 

 

(40)

Проекции

р, q,

r

вектора

угловой

скорости

на

оси

связанной

с телом системы будут иметь большое значение

во

всем даль-

нейшем изложении. Именно, они

будут

играть

роль

вспомога-

тельных координат, при помощи которых мы запишем далее уравнения движения тела с неподвижной точкой. Поэтому существенно выразить основные функции, характеризующие движе- ние,—скалярную функцию (кинетическую энергию) и векторную

функцию (кинетический момент) — через

эти переменные р, q и г.

1.

К и н е т и ч е с к а я

э н е р г и я . Если известен

момент инер-

ции Ja

тела

относительно мгновенной

оси ю, то

кинетическая

энергия тела,

разумеется,

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

Т = Уа,?.

 

 

(41)

Однако

Ja

 

изменяется во времени,

так

как мгновенная ось пере-

мещается

относительно тела. Выразим поэтому кинетическую

энергию

не

через

момент инерции

7Ш,

а через элементы тензора

инерции

для

неподвижной

точки

и закрепленных

в теле

осей

£, г] и £> т.

е. через А, В,

С, D,

E,

F.

 

 

Момент инерции /© может быть

выражен через элементы

этого

тензора

при помощи формулы (39).

Подставив это выражение

для Уф в формулу

(41), получим

 

 

 

 

2Т = (асо)2Л + (Рсо)2В -f- (уы)2С — 2(0со) (усо) D -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2 (асо) (усо) Е -

2 (асо) (0со) F.

Воспользовавшись

далее соотношениями (40), имеем

 

 

 

Т =

~ Ар* + -J-Bq* + ± Cr2 -

Dqr - Epr -

Fpq.

(42)

Если оси 5. Л> £ являются главными осями инерции для неподвижной точки, то в этом (и только в этом) случае D = E =

— F = 0 и формула (42) принимает более простой вид

(43)

186

 

ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Следовательно, кинетическая энергия тела с неподвижной

точкой

в общем

случае не равна сумме кинетических энергий

трех вращений,

происходящих относительно трех связанных

с телом

осей с угловыми скоростями, равными проекциям угло-

вой скорости тела на эти оси. Такое простое соотношение получается лишь в том исключительном случае, когда оси, связанные с телом, совпадают с главными осями инерции для неподвижной точки. При любом ином выборе связанных осей необходимо учитывать еще дополнительные члены, обусловленные центробежными моментами инерции и выписанные в формуле (42).

2 . К и н е т и ч е с к и й

момент. Из определения кинетического

момента имеем

 

 

 

 

Ко = £/*< X mfOi = ZMifi X (а) X

rt).

 

Раскрывая это двойное векторное произведение, получаем

Ко = 2тг ю (г, • п)

-

Spiir, (n • и) =

 

 

 

 

 

•).

(44)

Спроектируем левую

и

правую части векторного

равенства

(44) на ось |:

 

 

 

 

+Л?+С?) -

2 >

 

 

 

 

Л?4-И) -

q&

 

Выражения в скобках в первой сумме равны квадратам расстояний до оси |, и следовательно, эта сумма представляет собой момент инерции относительно оси \, т. е. А. Аналогично вторая и третья суммы образуют центробежные моменты инерции F и Е соответственно. Поэтому

K% = Ap-Fq-Er.

(45)

Далее можно было бы совершенно аналогично спроектировать равенство (44) сначала на ось т|, а затем на ось £, и определить так выражения для /Сл и /Cg. Можно, однако, поступить иначе. Правая часть выражения (45) содержит лишь элементы тензора инерции относительно осей \, ц, £ и проекции вектора ю на эти же оси, а левая часть — проекцию на одну из этих осей вектора Ко- Все операции над векторами и тензорами инвариантны относительно циклической перестановки осей, лишь бы при этом не менялась взаимная ориентация осей, т. е. правая система координат переходила в правую же систему. Дважды выполняя циклическую перестановку осей, т. е. элементов тензора инерции

§ 3. КИНЕТИЧЕСКАЯ

ЭНЕРГИЯ И КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ

187

и проекций

векторов

м

и

/Со в равенстве (45), получаем

два

аналогичных

равенства,

так

что в конечном итоге

 

 

 

 

 

 

(46)

Формулы (46) определяют кинетические моменты тела относительно связанных с ним осей через проекции угловой скорости на эти оси и элементы тензора инерции.

В том и только в том случае, когда оси, связанные с телом, направлены по главным осям инерции для неподвижной точки, центробежные моменты равны нулю и формулы (46) превращаются в обычные соотношения

Кх=Ар, К^ (47)

Таким образом, кинетические моменты относительно осей, связанных с телом, вообще говоря, не могут быть определены как произведения проекции угловой скорости на соответствующую ось на момент инерции тела относительно оси. Такое простое определение кинетических моментов относительно осей, связанных с телом, возможно лишь в указанном выше исключительном случае, когда эти оси являются главными.

Рассмотрим теперь взаимное расположение двух векторов: векюра угловой скорости (А и вектора кинетического момента Ко- Их проекции на главные оси инерции |, т], £ таковы:

вектор (л: р,q, r, вектор Ко'- Ар,Bq, Cr.

Отсюда

сразу

 

следует, что направления этих векторов, вообще

говоря, не совпадают.

 

 

 

 

 

 

 

 

Направления

векторов ш и Ко

совпадают

лишь в том случае,

когда

вектор

о

направлен

вдоль одной из главных осей, напри-

мер вдоль оси

{• (либо г], либо же

£), т. е. когда из трех проек-

ций

угловой

 

скорости на эти оси две проекции равны нулю.

-)тот

случай,

 

разумеется,

всегда

имеет место,

если

эллипсоид

инерции

для

 

неподвижной

точки

является

сферой,

т. е. если

А = В = С, так

как в случае,

когда

эллипсоид инерции —сфера,

чюбая

ось,

проходящая

через неподвижную

точку,

является

i лавной осью

 

инерции1).

 

 

 

 

 

 

 

х) Сделаем теперь замечание, касающееся случая,

когда тело вращается

оокруг

неподвижной оси.

Выберем в этом

случае на оси вращения точку О

it поместим в нее

начало

связанной с телом

системы координат,

направив ее

•си | ,

ц,

£ по главным осям инерции. Если

ось вращения совпадает с одной

188

 

 

ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

 

Сравнивая

теперь формулу

(42)

и формулы

(46), устанавли-

ваем

соотношения

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

Ко«> = 2Т

 

 

 

(48)

 

„

дТ w

дТ

„

дТ

 

 

 

 

 

 

 

 

Если ввести

в

рассмотрение

матрицу

JJtJ

|

тензора

инерции

для

неподвижной точки в выбранной

системе

связанных

с телом

осей, то соотношение между вектором кинетического момента и вектором угловой скорости можно записать в векторно-матричной форме:

Ко = 1 Iю-

(50)

В этом смысле матрица тензора инерции является

матрицей

преобразования вектора угловой скорости в вектор кинетического момента.

§ 4. Эйлеровы углы и кинематические уравнения Эйлера

Рассмотрим две системы координат с общим началом в непод-

вижной точке О: неподвижную

в

 

пространстве

(«латинскую»)

 

систему

х, у,

г и

жестко

связан-

 

ную с телом

и движущуюся вме-

 

сте

 

с

ним («греческую»)

систему

 

5,

т),

£•

Тело

с

неподвижной

 

точкой, как уже указывалось вы-

 

ше,

 

имеет

три степени

 

свободы,

 

и поэтому для того, чтобы опреде-

 

лить его положение

в

простран-

 

стве, надо задать

три обобщенные

 

координаты.

 

 

 

 

 

 

 

Проведем через оси \ и г) плос-

 

кость

Р

до

пересечения

с пло-

Рис. V.7.

скостью

хОу

(рис. V.7).

Линия,

 

по

 

которой

эта

плоскость Р

пересекает плоскость хОу, обозначается

N

и называется

линией

узлов. Угол между осью х и линией

узлов

обозначается

буквой т|з

и называется углом прецессии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из этих осей, то обавектора —не

только

вектор

<в, нои вектор

 

KQ—будут

направлены вдоль оси вращения. Если же осьвращения не является главной

осью

инерции для точки О, то вектор Ко

не будет направленвдоль этойоси.

Вектор К для всех точек, взятых

на оси вращения, будет

направлен

вдоль

этой оси только в том случае, когда осьвращения —главная

централь-

ная ось инерции, так как тогда она является главной осью длявсех своих точек (см. замечание 2 в § 2 этой главы).

Смотрите также файлы