ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 858
Скачиваний: 3
242 |
Г л . VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ |
т. е. опустим знак *, указывающий, что соответствующие коэффициенты получены при разложении в ряд функции Q*(q, q), так как это обстоятельство не будет играть далее существенной роли.
Учитывая дополнительную обобщенную силу, зависящую явно от времени, представим уравнения линейного приближения стационарной системы в виде
(55)
где Qj (t) —зависящие явно от времени части обэбдэнных сил. Предполагается, что в процесса движения они остаются малыми по модулю и не выводят систему из малой окрестности положения равновесия —к этому вопросу мы еще вернемся ниже.
В связи с тем, что система |
уразнгний (55) является линейной, |
а для линейных систем имеет место принцип суперпозиции, можно |
|
рассмотреть движение системы |
под действием какой-либо одной |
силы из Qj(t) (/' = 1, ...,/г), |
предположив, что все остальные |
равны нулю. Определив порознь движения, возникающие под
действием каждой из таких обобщенных сил, их следует |
затем |
сложить. |
|
Учитывая это обстоятельство, положим |
|
Q.(Q = Qs(')=" - =Q»(O = O, |
(56) |
т. |
е. |
будем считать, что отлична от нуля только обобщенная сила |
Q1 |
(t), |
относящаяся к первой обобщенной координате, а все осталь- |
ные обобщенные силы такого рода равны нулю. |
||
|
Общее решение системы линейных дифференциальных уравне- |
|
ний (55) складывается из двух слагаемых: первым является общее решение соответствующей однородной системы, получающейся из
(55) при Qj(t) = O ( / = 1 , .... п) |
(обозначим его через q*), а вто- |
||
рым — частное решение |
соответствующей неоднородной |
системы |
|
(обозначим это частное решение через q**). Тогда |
|
||
qj^qj |
+ qj* |
( / = 1 , . . . , л ) . |
(57) |
Что касается общего решения однородной системы q*, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q(t) стремится в пределе к движению q** (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы Qr (t).
Движения q*, которые бы возникали при отсутствии такой вынуждающей силы, называются свободными. Если этими движе-
§ 7. ВНЕШНЯЯ СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ЯВНО ОТ ВРЕМЕНИ |
243 |
ниями являются колебания, то их называют свободными колебаниями. Движение q**, которое возникает благодаря наличию вынуждающей силы, зависящей явно от времени, и к которому в пределе стремится суммарное движение, называют вынужденным движением (в случае колебаний говорят о вынужденных колебаниях).
В этом разделе мы будем изучать только вынужденные движения, помня о том, что общее движение складывается из вынужденных и из свободных движений.
1. Гармоническая вынуждающая сила. Частотная характеристика. Предположим, что обобщенная сила Q1 является гармонической функцией от t,
Q, (0 = A sin Q^. |
(58) |
Здесь А — амплитуда, а и —частота внешней вынуждающей силы Qx. Нам удобно далее вместо истинной обобщенной силы рассмат-
ривать комплексную функцию
Qj (/) = Aeiat = A (cos Qt + i sin Qf). |
(59) |
Интересующая нас действительная функция (58) получается как мнимая часть этого комплексного выражения:
0- |
(60) |
Рассмотрим уравнения (55), в которых Q1 (t) определяется выражением (59), a Qi = Qs= ... = Qn = 0. Нас интересует частное решение такой системы дифференциальных уравнений. Зная это решение и учитывая формулу (60), можно выделить в полученном решении мнимую часть и найти истинные вынужденные колебания.
Частное решение уравнений (55) с правой частью (59) будем искать в виде
qf = B^« |
(/=1 |
п). |
(61) |
Подставив эти выражения |
в наши уравнения и сократив на экспо- |
||
ненциальный множитель, отличный от |
нуля при любом t, |
получим |
|
J ] [a,n*Q)2 + M ^ )+ <7*]5ft = M |
(/= 1, ..., п) (62) |
|||||
А = 1 |
|
|
|
|
|
|
(здесь 6jy —обычный |
символ |
Кронекера: 6i/ = l при / = 1 и 61; |
= О |
|||
при }Ф\.) |
|
|
|
|
|
|
Если ввести |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
dlk |
(iQ) = ajk |
(iQf |
+ b,k (iQ) + c/k, |
(63) |
|
то уравнения (62) представятся в |
виде |
|
|
|||
2 |
d}k |
(iQ) Bk = б1;-А |
(/ = 1 |
я). |
(64) |
|
244 |
ГЛ VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ |
|
Уравнения (62) представляют собой систему линейных алгеб- |
раических уравнений относительно неизвестных Bk\ коэффициентами этих уравнений являются комплексные величины, определяемые по формулам (63).
Решая систему (64) линейных алгебраических уравнений с ком-
плексными коэффициентами по правилу |
Крамера, получаем |
||
|
В * = - ^ М , |
|
(65) |
где в знаменателе стоит |
определитель матрицы из коэффициентов |
||
системы алгебраических |
уравнений (64) |
|
|
|
dn(iQ) |
... dln(lQ) |
|
|
|
|
(66) |
|
dal(iQ) ... |
dnn(iQ) |
|
Легко видеть, что если |
в этом определителе |
заменить t'Q на ком- |
|
плексное переменное Я, то он совпадает с характеристическим полиномом (24). Но у асимптотически устойчивой системы все нули характеристического полинома расположены слева от мнимой оси. Поэтому в таком случае определитель (66) отличен от
нуля |
при любом Q. |
|
|
|
|
В |
числителе в формуле (65) стоит определитель Alft — алгебраи- |
||||
ческое дополнение расположенного в |
первой строке и k-м столбце |
||||
элемента определителя Д. |
|
|
|
|
|
Как определитель А, стоящий в |
знаменателе выражений (65) |
||||
и не зависящий от индекса k, так и определители Alft, |
стоящие |
||||
в числителе этих выражений, представляют |
собой полиномы от Я |
||||
с комплексными коэффициентами. Поэтому |
отношение |
определи- |
|||
телей |
в выражении (65) является дробно-рациональной функцией. |
||||
Вид этой функции зависит от k. Заметим здесь же, |
что степень |
||||
числителя в любом случае не превосходит |
степени |
знаменателя. |
|||
Более того, легко видеть, что в невырожденных случаях степень
числителя заведомо меньше степени знаменателя. |
' |
Обозначим эту дробно-рациональную функцию через |
Wlh](iQ): |
^• = Wlk(i®) = \Wlk\eiarsWik. |
(67) |
Тогда искомое частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (55) при учете обобщенной силы (59) можно представить в виде
q*= А | Wlk (/Q) | е' IQi+arg *i* «аП (k = 1, ..., л). (68)
Вспомним теперь, что мы заменили интересующую нас обобщенную силу (58) комплексным выражением (59) и что (§8) является мнимой частью выражения (59). Выделив в полученном
S Г ВНЕШНЯЯ СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ЯВНО ОТ ВРЕМЕНИ |
245 |
частном решении (68) мнимую часть, находим искомое частное
решение системы |
(55) при условии (58), а именно |
|
|
|
|||
qk |
— A Wlk(iQ) |
sin[Qt+ |
arg Wlh(iQ)] |
(k = 1, |
... , |
п). |
(69) |
Сравнивая формулы (69), определяющие вынужденные движе- |
|||||||
ния, |
возникшие |
благодаря |
действию |
вынуждающей |
силы |
(58), |
|
с выражением для этой силы, устанавливаем, что |
в этом случае |
||||||
вынужденные движения представляют собой гармонические коле-
бания той |
же |
частоты, но с иными |
амплитудами |
и со |
сдвигом |
|||||
фаз. Амплитуды и фазы вынужденных |
колебаний полностью опре- |
|||||||||
деляются введенной выше комплексной функцией Wlk(iQ), |
и для |
|||||||||
данной системы зависят поэтому только от частоты внешней силы Q. |
||||||||||
|
Введенная выше функция Wlk(iQ), |
играющая столь |
важную |
|||||||
роль при определении вынужденных колебаний, называется частот- |
||||||||||
ной |
характеристикой системы, или, как говорят иногда, ее ампли- |
|||||||||
тудно-фазовой характеристикой. Индексы при Wlk |
показывают, |
|||||||||
что |
эта дробно-рациональная |
функ- |
imW |
|
||||||
ция мнимого переменного зависит, с |
|
|||||||||
одной стороны, |
от |
того, |
к |
какой |
|
|
|
|||
координате относится внешняя гар- |
|
|
|
|||||||
моническая сила, —это обстоятельст- |
|
|
|
|||||||
во |
подчеркивается первым индексом |
|
|
ЛеИ/ |
||||||
(в |
рассматриваемом |
нами |
случае, |
|
|
|||||
когда сила действует на первую |
ко- |
|
|
|
||||||
ординату, |
этот |
индекс |
равен |
1), |
|
|
|
|||
и, |
с другой стороны, от того, вы- |
|
|
|
||||||
нужденные |
колебания какой |
коор- |
|
|
|
|||||
динаты исследуются,--это обстоя- |
Рис. |
VI.12 |
|
|||||||
тельство подчеркивается вторым ин- |
|
|
|
|||||||
дексом k. |
В зависимости от того, на какую координату действует |
|||||||||
внешняя сила и какая координата наблюдается, получаются разные частотные характеристики. Из формулы (67) следует, что при изменении места приложения внешней силы и номера координаты, за которой ведется наблюдение, изменяется лишь числитель дробно-рациональной функции W, знаменатель же во всех случаях одинаков.
Рассмотрим теперь несколько подробнее только что введенную
важную характеристику системы |
—ее частотную характеристику. |
В комплексной плоскости можно |
построить годограф функцииW |
(рис. VI.12). Для этого надо, подставляя в выражение (67) зна- |
|
чения Q, меняющиеся от 0 до + о о , подсчитывать порознь дей- |
|
ствительные |
и мнимые части этого выражения и по точкам строить |
|
годограф. Начинаясь на |
действительной оси (так как W при |
|
Q = 0 равно |
отношению |
свободных членов полиномов Alft и Д), |