Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 859

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

246

ГЛ. VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

 

этот годограф стягивается к нулю

(как уже было указано выше,

в выражении (67) степень знаменателя в невырожденных

случаях

выше степени числителя). Если

теперь

отдельно

рассмотреть

изменения модуля

и аргумента

вектора

W {19.) в

зависимости

от й, то получатся

характеристики, которые называются соответ-

 

 

 

 

ственно

амплитудной

 

 

 

 

и фазовой характеристи-

 

чно)!

 

 

ками системы (рис.VI. 13

 

 

 

 

и VI.14).

 

 

 

 

 

 

Зная частотную ха-

 

 

 

 

рактеристику

системы,

 

 

 

 

можно определить ам-

Рис.

VI.13.

Рис.

VI.14.

плитуду и сдвиг

фазы вынужденного

колебания

координаты

при любой частоте внешней силы, скажем Qt. Для того чтобы сделать это, надо по рис. VI.12 (либо по рис. VI.13 и VI.14

J2?

д

 

Рис. VI.15.

 

соответственно) найти при Q = Qx

модуль и аргумент

функции

W (Ш), затем умножить амплитуду вынуждающей силы на \W (iQJl

и сдвинуть фазу гармонической функции, выражающей

силу, на

arg W(iQ,).

 

 

Если амплитудная характеристика системы (рис.VI.13) при некотором значении Q = Q* имеет отчетливо выраженный пик,

 

 

 

 

7 ВНЕШНЯЯ СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ЯВНО ОТ ВРЕМЕНИ

 

 

247

т. е. если

| W (iQ) \ при йя« Q* значительно больше, чем | W (iQ)

при остальных

 

значениях

Q, то при одной и той же

амплитуде

внешней

силы

Qx

 

амплитуда

отклика

резко возрастает,

когда

частота

внешней

силы приближается к значению

Q = Q*. Это

явление называется резонансом,

а частота Q* —резонансной часто-

той системы.

Разумеется,

амплитудная

характеристика системы

может

иметь

несколько

пиков

при

различных

значениях

Q*

(рис. VI. 15). В

этом случае говорят,

что система

резонирует

на

нескольких

частотах.

В

рассматриваемом

здесь

общем

случае

стационарной

системы

понятие

 

«резонанс»

является

не точным,

а скорее интуитивным, так как

 

оно связано с недостаточно чет-

ким

понятием

 

«отчетливо

выраженный

пик». Это понятие при-

обретает

точный

 

смысл

лишь в случае,

когда система

консерва-

тивна

(см. ниже).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу того что амплитудная

характеристика,

как

уже

было

указано

выше,

стягивается к нулю с ростом Q,

можно указать

такое значение «частоты среза» Q = Qcp, что при всех

Q >• Qcp и

при заданном

А

 

решение

q%* п о

 

 

 

 

 

 

 

 

модулю будет

меньше некоторого

 

 

 

 

 

 

 

 

наперед

заданного

числа

е > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(см. рис. VI.13 и VI.16, а). Задав-

 

 

 

 

 

 

 

 

шись

 

этим

числом

е и определив

 

 

 

 

 

 

 

 

таким образом значение Qcp, гово-

 

 

 

 

 

 

 

 

рят,

что рассматриваемая

система

 

 

 

 

 

 

 

 

в малых

колебаниях «пропускает»

 

 

 

 

 

 

 

 

лишь частоты

от

нуля до Q = Qcp,

 

 

 

 

 

 

 

 

а частоты,

большие

Qcp, «не про-

 

 

 

 

 

 

 

 

пускает».

 

В

этом

смысле меха-

 

 

 

 

 

 

 

 

нические системы

 

являются филь-

 

 

Рис. VI.16.

 

 

 

тром высоких частот.

Наоборот,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно

таким

 

образом

подоб-

 

 

 

 

 

 

 

 

рать

 

коэффициенты

a,

b

и с

рассматриваемой

системы

урав-

нений, чтобы амплитудная характеристика системы имела вид,

представленный на

рис. VI. 16, б,

т. е.

чтобы модуль

ампли-

тудной характеристики был больше

наперед выбранного

числа е

лишь тогда, когда Q

лежит между

двумя

числами пср1

и Йс р 2 ,

и был бы меньше числа е вне этого диапазона. В таких

случаях

говорят, что система

является полосовым фильтром, пропускаю-

щим полосу частот, заключенную между й с р 1 и Qcp2-

 

Рассмотрим теперь консервативную систему. Пусть а>и о)2, ...

..., «„ —ее собственные частоты (см. § 6 этой главы). Собственными колебаниями системы служат гармонические колебания с этими частотами, а это означает, что все корни характеристического уравнения консервативной системы —чисто мнимые и что они равны

±

±i

±
Рис. VI.17.

248

ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Тогда из теоремы Безу сразу следует, что левая часть характеристического уравнения системы имеет вид

(Я) =Ао П (К- i

©I)

(об этом уже шла речь выше), т. е. содержит лишь четные степени к. Ясно, что и алгебраическое дополнение любого элемента определителя А(X) обладает этим же свойством. Поэтому в случае консервативной системы частотные характеристики, определяемые формулами (67), являются не комплексными, а действительными функциями, и | W (iQ) | принимает бесконечные значения при

Q Q

Поэтому амплитудная характеристика консервативной системы имеет вид, показанный на рис. VI. 17, т. е. консервативная система резонирует на всех своихсобственных частотах и только на них.

Здесь понятие резонансной частоты имеет точный смысл: уконсервативной системы резонансной частотой называется значение Q, при котором амплитудная |MJ2)| характеристика системы имеет разрыв второго рода.

Из изложенного следует, что в случае, когда частота внешней силы приближается к любой из собственных частот консервативной системы, амплитуды вынужденных колебаний всех ее обобщенных координат неограниченно возрастают1).

Рассмотрим теперьфазовую характеристику консервативной системы. В связи с тем, что для консервативной систе-

мы Wlk(iQ) —действительная функция, аргумент ее может быть равен лишь нулю или кратен —л в зависимости от знака этой функции. Поэтому фазовой характеристикой консервативной системы служит кусочно-постоянная функция, равная 0 или крат-

! ) Мы не выясняем

здесь, по

какому закону

происходит

это нарастание

амплитуд

во

времени.

Читатель,

интересующийся

подробностям, найдет рх

в любом

курсе

теории колебаний (см.,например, Б у л г а к о в

Б. В. Колеба-

н и я . — М - Гостехиздат,

1954).

 

 

 

S 7 ВНЕШНЯЯ СИЛА, ЗАВИСЯЩЛЯ ЯВНО ОТ ВРЕМЕНИ

249

ная — я . Она имеет разрыв первого рода при всех значениях Q, равных собственным частотам системы

Q 1 = (D1, Й 2 = ( О 2 , . . . , Q n = (Un.

В случае консервативной системы с одной степенью свободы, возмущаемой гармонической обобщенной силой, уравнение движения имеет вид

aq+cq— A sin Q/.

Свободные колебания системы

q* = С sin (<o/-+-ф)

происходят с собственной частотой

<л = У с/а,

а вынужденные колебания описываются функцией

В этом простейшем случае

1

1

1

W (f Q ) ••

с — afi2

a(co2 — Q 2 ) '

" а ( Ш ) 2 + с

амплитудная

характеристика

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

\W(iQ)

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

со

2 — Q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а фазовая характеристика такова:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О при Q<co,

 

 

 

 

 

 

 

— я

при Q > со.

 

 

 

Эти три характеристики показаны на

рис. VI. 18.

 

 

 

Читателю

рекомендуется

самому

найти

явное выражение для

вынужденных

колебаний

консервативной

системы

с

п

степенями

свободы,

придерживаясь

следующего

плана.

 

 

 

1° Найти

матрицу преобразования

обобщенных

сил

Qly Q2, ...

. . . , Qn

(для

системы координат qx,

q2, ... , qn)

в

обобщенные

силы Qx,

0г>

•••. ®л (для главных

координат Вх,

6Я, . . . , бл). Для

этого надо приравнять выражения элементарной работы через обобщенные силы Q и в , представить в этом равенстве q как функции 0 при помощи преобразования (45) и изменить порядок суммирования. Читатель установит тогда, что искомая матрица преобразования Q в G получается транспонированием амплитудной матрицы v(ft.

250

ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

2° После того как обобщенные силы для главных координат найдены, вынужденные колебания каждой из этих координат 6у определяются по формуле (70).

k\mW

W(iQ)

\W(fO)\ щЩп)

 

 

со

 

 

 

 

 

•V* I

1

 

 

 

 

 

Рис. VI.18.

 

 

 

 

3°

Вынужденные колебания координат q} находятся

по фор-

муле

(45).

 

 

 

 

 

2. Периодическая, но не гармоническая вынуждающая сила.

Рассмотрим теперь

случай, когда на первую обобщенную коорди-

нату

действует не

гармоническая, а периодическая обобщенная

сила

с периодом Т,

заданная функцией Q*(t),

удовлетворяющей

 

 

условию

 

 

 

Qj(t)

 

Ц\ (t) = Щ (t -)- / ),

 

(/1)

 

 

например

функцией,

график

 

 

которой

изображен

на

 

 

рис.VI. 19.

 

 

 

 

 

Мы

будем предполагать^-

 

 

что периодическая функция

 

 

Q* (t)

представима

 

рядом

 

 

Фурье

 

 

 

 

 

 

Qt(t)=

 

 

 

 

Рис. VI. 19.

 

 

 

(72)

где амплитуды гармоник Ak и соответствующие сдвиги фаз срА определяются по обычным правилам разложения периодической функции в ряд Фурье, a Q = 2я/Т —круговая частота. Теперь внешняя сила, действующая на первую координату, представлена как сумма гармонических колебаний. В силу линейности системы

Смотрите также файлы