Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

щенные импульсы являются, вообще говоря, функциями тех же переменных

В силу соотношений (7) частная производная от импульса по какой-либо обобщенной скорости имеет вид

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов ajk, отличен от нуля в силу основной теоремы лагранжева формализма,

относительно обобщенных скоростей, т. е. представлена в виде

торый момент известны обобщенные координаты и обобщенные импульсы, то по формулам (12) всегда можно подсчитать обобщен-

Почленно сравнивая формулы (16) и (17), получаем систему уравнений

и, кроме того, равенство

Эти соотношения получены нами как формальное следствие перехода к новым переменным; в частности, не было поставлено условие, чтобы обобщенные координаты q удовлетворяли уравнениям Лагранжа. Потребуем теперь, чтобы это условие выполнялось; тогда уравнения (18) будут представлять собой уравнения движения и в силу уравнений Лагранжа (8) могут быть записаны так:

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2л дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент ^ = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q.

В этом смысле уравнения (20) представляют собой эквивалент уравнений Лагранжа (4). Уравнения (20) разрешены относительно старших производных и представлены в симметричной и удобной форме. Их называют каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона для движения в потенциальных полях.

Равенство (19), полученное нами дополнительно, устанавливает важные свойства гамильтониана: частные производные гамильтониана и лагранжиана по времени отличаются лишь знаком. Отсюда сразу следует, что в том случае, когда лагранжиан не зависит явно от времени, гамильтониан также не зависит явно от времени.

264 ГЛ. VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Выясним теперь физический смысл гамильтониана Н натуральной системы.

Интересуясь лишь численным значением гамильтониана, можно записать его как функцию лагранжевых переменных

Ограничиваясь теперь рассмотрением натуральных систем и вспоминая, что лагранжиан, как и кинетическая энергия натуральной системы, может быть представлен суммой трех форм — квадратичной L2, линейной L\ и нулевой степени Lo относительно скоростей q, перепишем равенство (21) так:

. Воспользуемся теоремой Эйлера об однородных функциях, утверждающей, что если W {х) — однородная функция k-n степени,