Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 855

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

265

времени. В системах

такого рода

 

 

 

 

f

=0,

 

(24)

но в силу уравнений

 

Гамильтона (20)

 

 

dt ~ 2и[dq, ^

' dp,P'j~T"dt

~

 

—

Х(дКдЛ_дЛдЖ\л-дА—дН^

 

 

jm4[dq,dpt

dpldql)

ЪТ dt '

 

и если dH/dt = O, то и dH/dt = 0, т. е. во время движения гамильтониан не меняется:

Я = const.

(25)

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (21)х), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщеннойэнергией, а утверждение (25) —

обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами.

В заключение этого параграфа обратим внимание на следующую

важную аналогию.

Если

dH/dq, = 0 , то dL/dqi — O, т. е. р ; = 0 ,

и, следовательно,

в этом

случае р,= const. Если же dH/dt = O,

то Н = const. В этом смысле обобщенную энергию Я можно рассматривать как «импульс для координаты 6>. В канонических уравнениях Гамильтона время t выступает в роли независимой переменной, оно еще «не уравнено в правах» с координатами q. Далее в этой главе, рассматривая интегральные инварианты, мы полностью исключим особую роль «координаты /» по сравнению с q, и тогда подмеченная выше аналогия и роль Я как «импульса

для

координаты i» станут еще более очевидными.

§ 3.

Первые интегралы уравнений движения. Скобки Пуассона.

'Циклические координаты

Впредыдущих главах мы уже встречались с понятием первого интеграла уравнений движения. Роль таких первых инте-

гралов играли

различные функции,

которые

во время движения

не изменяются

в силу

законов сохранения —закона сохранения

количества движения

(импульса),

закона

сохранения момента

количества движения (кинетического момента системы), закона сохранения механической энергии и т. д. Формулы, выражающие

Это возможно только для ненатуральной системы.

266 гл vii ДВИЖЕНИЕ в ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ полях

эти законы, содержат лишь координаты и их первые произвоцные, но не содержат вторых производных от координат. В предыдущих главах приводились примеры того, как можно использовать законы сохранения для упрощения уравнений движения, а в некоторых случаях для полного определения движения в обход

трудностей,

с которыми

сопряжено интегрирование

дифферен-

циальных уравнений движения в общем виде.

 

 

Произвольная

функция от гамильтоновых

переменных — вре-

мени, координат

и обобщенных

импульсов — называется первым

интегралом

уравнений движения,

если во время

любого

движения

значение этой функции не меняется,

 

 

 

 

f(q,

p, t) = const,

 

(26)

т. е. если при подстановке в нее вместо координат и обобщенных импульсов решений уравнений Гамильтона q = q(q°, p°, t) и р = = р (q°, p°, t) эта функция тождественно обращается в константу, зависящую только от начальных данных q° и р°.

Предположим, что задано т первых интегралов

 

ft(q, p, 0 = Ci = const

(i = l, ... , m).

 

 

(27)

Среди этих т интегралов

могут

быть

и зависимые, т. е. некото-

рые из равенств, входящих в систему

(27), могут оказаться

след-

ствиями

остальных. Такие

зависимые

первые интегралы не могут

быть использованы для

упрощения уравнений

движения,

и нас

интересуют лишь системы

 

независимых

первых

интегралов

(27).

Если т = 2п и если все

равенства,

входящие

в систему

(27),

независимы, то система

первых

интегралов называется

полной.

В силу

независимости функций, входящих

в эту систему,

полная

система

из т —2п первых

интегралов

может

быть

разрешена

относительно аргументов — ими являются

координаты

и обобщен-

ные импульсы —и представлена

в виде

 

 

 

 

 

 

<7у= Ф;(^. Ск •••- С2п),

pj=tyj(t,

Clt

... , С2Л)

(/ = 1. . . . , п).

В этом случае все координаты и обобщенные импульсы

полностью

определены как функции

времени и 2га констант. Эти константы

могут рассматриваться

как произвольные

постоянные, обычным

образом

определяемые по начальным данным. Поэтому

2га первых

интегралов полностью определяют движение системы при любых начальных данных.

Если система первых интегралов (27) содержит менее 2я равенств, т. е. если т < 2 / г , то знания т первых интегралов недостаточно для того, чтобы полностью определить движение, однако эти первые интегралы можно использовать для того, чтобы упростить уравнения движения, в частности, для тосо, чтобы снизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение.

$ 3 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

267

Определим

теперь

условия,

которым

должна удовлетверять

какая-либо функция гамильтоновых переменных

для того,

чтобы

быть первым интегралом уравнений движения.

 

 

Предположим,

что

некоторая

функция f(q,

p, t)= const яв-

ляется первым интегралом уравнений движения. Вычислим

произ-

водную df[q(t),

p(t),

t]/dt, где q (I) и p(t)

— решения уравнений

Гамильтона.

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируя

обе часги

равенства / (q, p, t) = const по вре-

мени и используя

уравнения

Гамильтона

(20),

получаем

 

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(q, p, t) была первым интегралом. Его можно записать компактнее, если ввести понятие скобки Пуассона.

Назовем скобкой Пуассона двух функций ср и г|з от гамильтоновых переменных и обозначим через (ф, г|)) выражение следующего вида:

>д ф

д(р д

Выражение, стоящее в формуле (28) под знаком второй суммы, представляет собой скобку Пуассона от функции / и гамильтониана Н. Поэтому условие (28) можно переписать так:

 

 

!

+ (/, Я) = 0.

 

(30)

 

Если бы мы располагали полной системой первых интегралов,

то

задача интегрирования

дифференциальных

уравнений пол-

ностью была

бы заменена

задачей

обращения

этих

интегралов.

Поэтому в тех случаях, когда заданная система

этих

интегралов

не

является

полной, т. е.

когда

т < 2 я , центральной является

задача об увеличении числа первых интегралов. На первый взгляд

эта задача

кажется несложной. Действительно, если

взять про-

извольную функцию пг переменных и подставить

вместо этих

переменных

известные нам m первых интегралов, то

в результа-

те получится

новая функция гамильтоновых переменных, которая

также

будет

сохранять

неизменное значение во время движения

 

Ф(<7,

р, t) = F\fi(q.

Р' 0 . •••. fm{q, p , 0 ] = c o n s t .

 

Однако очевидно, что полученный так первый интеграл

не яв-

ляется

независимым —он получается как следствие уже

имев-

шихся

ранее пг первых интегралов. Поэтому такое «размножение»

первых

интегралов уравнений движения лишено смысла.

 

Иной прием для получения новых первых интегралов из уже известных связан с введенным выше понятием скобки Пуассона.

268

ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Пусть

/ и ф—первые интегралы. Составим из них скобку Пуас-

сона (29).

 

Т е о р е м а (Я к о б и — П у а с с о н а ) . Скобка Пуассона от двух

интегралов уравнений движения сама является

интегралом урав-

нений движения.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . При доказательстве

теоремы Якоби —

Пуассона будут использованы следующие четыре свойства скобок Пуассона:

1°

 

(Л Ф) = - ( Ф . /);

2°

 

{cf,Ф ) = С ( / , Ф ) ;

3°

d(f,

4)idt = {dfidt, ф)-Ь(Л dy/dt);

4°

((/,Ф),

1>Ж(Ф. У), f) + ((4>, f), Ф)=0.

Первые три

равенства сразу

следуют из свойств определителей,

входящих

в формулу

(29),

а

равенство 4°

непосредственно про-

веряется

по этой формуле г).

 

 

 

Теорема

Якоби —Пуассона

утверждает

по существу,

что из

равенств

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%+(f, Я)=0, g4(4>, Я)=0

(31)

следует равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

Щ^

+ Ш, V), Я)=0.

(32)

Используем

сначала

свойство

3°:

 

 

 

 

d(f,

$)/dt= (df/dt, i|>)+ (/,

д$№).

 

Из предположений теоремы (31) и из свойств 1° и 2° следует тогда, что

d(f, q)/dt = (-(f, Я), Ч>)+ (/, -(i|>, Н))^({Н, /), V ) + ((V , Я), /). Поэтому левая часть равенства (32) сводится к виду

,я),

т.е. в силу свойства 4° равна 0. Теорема доказана.

Теорема Якоби —Пуассона позволяет «накапливать» новые первые интегралы. Действительно, составляя разные скобки Пуассона из уже известных первых интегралов, можно получить новые интегралы; затем можно составить скобки Пуассона от каждой пары так полученных первых интегралов или от них и «старых» первых интегралов и т. д. Казалось бы, процесс этот может про-

!)

Равенство

4°

называют

иногда тождеством

Пуассона. Доказательство

этого

тождества

см.

в книге:

Г а н т м а х е р

Ф

Р. Лекции по аналитической

механике. —2-е

изд.,

исправл.—М.: Наука,

1966,

с. 98—99.

§ 3 ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

269

должаться неограниченно долго, и таким образом может быть получено сколь угодно много новых первых интегралов. Однако среди интегралов, которые получаются путем составления скобок Пуассона, могут быть как независимые первые интегралы, так и зависимые от уже известных первых интегралов. Для упрощения уравнений движения нужны лишь независимые первые интегралы, а их не более чем In. Поэтому из первых интегралов, которые получаются при помощи теоремы Якоби— Пуассона, нужно отбирать независимые.

В частном случае обобщенно консервативной системы гамиль-

тониан Н является

интегралом

уравнений

движения;

поэтому

если некоторая функция f{q,

р,

f) —интеграл

уравнений

движе-

ния, то ее первая,

вторая и

г. д. частные производные повре-

мени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби —Пуассона (/, Н) = = const и из условия (30) следует, что

df/dt = — {f, Я) = const.

Повторив

это

рассуждение,

но взяв вместо

функции

/ ее

частную

производную по t, получим

такое же утверждение для

второй

частной

производной по времени и т. д.

 

 

В качестве

 

примера

того, как получаются и каким образом

используются

первые интегралы уравнений движения, рассмотрим

важный вопрос о циклических координатах.

 

 

Координата

qj

называется

циклической, если лагранжиан

(а значит, и

гамильтониан) системы

не завчеит

явно от

этой

координаты,

т. е. для

циклических

координат

имеют

место

равенства dL/dqj = 0, и поэтому уравнение Лагранжа принимает вид

 

 

 

 

Яц

= 0,

 

или

/>,=0,

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pj = const.

 

 

 

 

 

 

Это равенство

означает, что импульс,

соответствующий цик-

лической координате, не изменяется во время

движения. Следо-

вательно, каждый

раз, когда

система

имеет циклическую коор-

динату,

существует

и

первый

интеграл

уравнений

движения.

В данном

случае

функция (27) тождественно

равна

импульсу,

соответствующему

циклической координате г).

 

 

 

х) Читателю рекомендуется самому

убедиться в том, что в случае движе-

ния точки в центральном поле, который был рассмотрен

в § 7 гл. III, всегда

существует циклическая

координата

Для этого

надо вспомнить,

что движение

в центральном поле является

плоским;

в качестве

обобщенных координат вы-

брать полярные координаты в этой плоскости

и, составив функцию Лагранжа,

установить,

что эта функция

не зависит

явно

от

полярного угла.

Читатель

может легко

убедиться и в том, что закон сохранения секториальной

скорости

при движении в центральном поле является лишь

примером рассматриваемого

здесь первого

интеграла,

обусловленного

наличием

циклической

координаты.

Смотрите также файлы