Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 853

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

274

ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

 

Дифференциал б/ называется вариацией функции /. Вариация,

как

и всякий дифференциал, представляет собой линейную часть

приращения варьируемой функции, но при подсчете вариации

приращение функции подсчитывается не при изменении аргумента t, а при изменении параметра а и фиксированном /, т. е. при переходе от одной функции из заданного семейства к другой функции из этого же семейства.

В рассматриваемом нами простейшем случае однопараметрического пучка по самому определению понятия «стационарное значение функционала» условие стационарности функционала сво-

дится

к

виду

 

 

 

 

б/Ф = 0,

(43)

где /ф

понимается как функция

а в указанном

выше смысле.

В

вариационном исчислении

устанавливается

следующая тео-

рема, определяющая необходимые условия стационарности функционала.

Для того чтобы функционал

 

 

 

 

 

 

У*\% -.-2*)dx.

(44)

определенный на однопараметрическом

семействе кривых

 

 

 

 

yt{x,

а)

 

(г = 1, ... , п),

 

(45)

имел при а = 0

стационарное

значение

(а

кривая tji (x, 0) была

соответственно

экстремалью),

необходимо, чтобы

при а = 0 удов-

летворялись уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

дФ

дФ

п

,.

 

,

.

 

. . „ .

 

 

 

 

д у г 0

( г = 1 '

• • • > п ) -

( 4 6 )

Уравнения

(46) были

получены

Эйлером и

носят

название

уравнений Эйлера

вариационного исчисления.

 

 

Мы

приводим

здесь

эту

основную

теорему

вариационного

исчисления без доказательств,

так как нам предстоит доказать ее

в следующем параграфе.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

положить в формулах

 

(44)—(46) x — t, yi = qt, а в каче-

стве постоянных

чисел а и Ь взять t0

и tl4

то функционал (44),

фигурирующий

в этой теореме,

примет вид (41), а семейство (45)

совпадает с семейством (40). В этих

обозначениях

уравнения

Эйлера

(46) запишутся так:

 

 

 

 

 

 

 

iw-5&-° «-' "»•

 

$ 4 ДРЙСТВИЕ ПО ГАМИЛЬТОНУ

275

Читатель

легко обнаружит идентичность уравнений Эйлера (47)

и уравнений

Лагранжа: достаточно в качестве

функции Ф —ядра

рассматриваемого функционала (41) —взять лагранжиан L. Отсюда сразу следует естественность введения в рассмотрение функционала следующего вида:

(48)

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения в потенциальных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяющее уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия; эта формула потребуется нам

вдальнейшем.

Врассматриваемом случае (см. рис. VII.1) как ta, так и ty — функции а. Поэтому вариация действия но Гамильтону может быть записана так:

Л(а)

67 = 6 jj L(q, q, t)dt.

(49)

U (а)

 

Вспоминая теперь, что символ вариации означает просто дифференцирование по параметру а, и используя обычные правила дифференцирования интеграла по параметру в случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра, получаем

 

 

/.(OS)

 

6/ = L1 6/1 (a)-Lo e'o(a)+

\ 6L(q, 4, t)dt,

(50)

где индексы 1 и 0 у

лагранжиана L означают подстановку в этот

лагранжиан вместо t

соответственно

ГЛ И /О, а вместо

функций q

и д —функций, которые получаются

при замене t в выражениях

для q(t, а) и q (t, а)

на tx и t0 соответственно.

 

Займемся сначала

интегралом, входящим в правую

часть фор-

мулы (50), и перепишем его,

выполнив операцию дифференциро-

вания функции L по параметру

а:

 

<i (и)

t1

(a)

 

\ 8L(q, q, t)dt=

 

\ У (з- bq.-\-^.~ bq,)dt,

(51)

<o (a)

*o (a)

276 ГЛ VII ДВИЖЕНИИ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

но

Л (а)

/, (а))

.

/,(а)

С й

с

dL doq,

с dL

J ^ И ^ = J

Ж

" ^ ^ = J

4d\,r

(52)

/о (а)

<0 (а)

 

<о (а)

 

 

В последнем интеграле в формуле (52) пределы интегрирования надо понимать как указание на то, что при подстановке пределов функция, по которой ведется интегрирование, должна быть взята в моменты t0 и tt соответственно. Взяв последний интеграл по частям, получим

Г Si , t

dL

U (a)

V

d

dL

e

 

 

—

\

-г

,т

Og;

<o (a)

 

 

/o (a)

 

 

 

Подставим теперь это выражение в формулу (51):

t, (a)

tt (a)

i (a)

to (a)

Подставляя далее выражения (54) в формулу (50) и используя определение импульса р}, получаем

<i (a)

 

С V! / d dL

dL \

h (a)

7

h (a) + 2 Р) [Н ]t = Л (а)) - ( ^ о («) + 2 Z3" fИ 1 ='.(а))• (55)

Обратим внимание на то, что в формуле (55) записи

означают следующее: нужно вычислить дифференциал q}

по явно

входящему

а, а

затем в полученном выражении

заменить

t на

tl{a) или

/0 (а) соответственно, например,

 

 

 

 

 

 

dq,(t,a)

I

[А/,

(Л а)]

 

 

 

 

 

da\

 

= \

я

da-

 

(5 6 )

Обозначим теперь

через

 

 

 

 

 

 

 

 

8q)

и

6 ^

 

 

 

(57)

результат следующей операции: в выражении qt (t, а) сначала делается замена t на tt (а) или t0 (а) и лишь после этого вычисляется дифференциал по ос. Дифференциалы (57) имеют смысл линейной части приращений qn вызванных смещением концов

§ 4 ДЕЙСТВИЕ ПО ГАМИЛЬТОНУ

277

кривых при изменении а.

Подсчитаем определенные так диффе-

ренциалы и установим связь

между ними и выражениями

(56):

 

 

да. U, (а), а]

 

6q)(t, а) = &/ДМ«). *}=

'

d«

 

dq, [h (а), а]

, (а)

\dq,(t, а)

 

 

 

 

(а)

 

 

 

 

 

(58)

и аналогично

 

 

 

(59)

t,a)

= я)Ы0 (a) + [6q,]t =<0 ( a ) .

Подставим теперь эти выражения в формулу (55):

 

T

 

 

 

 

Ma) +| 2

-

2

p'tfje*! (a)+ Lfo (a)] -

 

 

 

-

[ 2 P'H ~ 2 P/9/^o (a)+ ^ o

(a)] •

Представив гамильтониан Н в виде (21), это можно записать так:

 

 

 

 

 

(a)

 

dL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt,

(60)

 

 

 

 

 

 

 

 

dqj

 

 

 

 

 

и(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

запись IJ означает

подстановку, при которой 6д> заменяется

на

Щ и 6<// соответственно, функции L и Н берутся в моменты tx

и t0, а б/ заменяется

на 6^

и б/0.

 

 

 

 

 

 

 

Формула (60) является общей формулой

для

вариации дейст-

вия, заданного на однопараметрическом пучке (40).

 

 

Рассмотрим теперь

три разные задачи. Решая каждую из этих

задач, мы воспользуемся формулой

(60) для

вариации действия,

но в каждой

задаче будем

различным

образом

задавать

пучок

кривых,

на которых

осуществляется

варьирование. Этот пучок

иногда

будет

задаваться

не в

расширенном

 

координатном,

а в каком-либо ином пространстве х ). В таких случаях потребуется

Пространства, используемые в данной главе, описаны в § 2 гл. VI.

Это:

n-мерное координатное пространство <7;

(п + 1)-мерное расширенное координатное пространство q, t; 2п-мерное фазовое пространство q, p (или, что все равно, q, q);

(2я+1)-мерное расширенное фазовое пространство q, p, t (или q, q, t)

278

ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

предварительно «перенести пучок» в расширенное координатное пространство, т. е. преобразовать задачу к условиям, при которых выведена формула (60). Первой из этих задач является доказательство так называемого вариационного принципа Гамильтона, т. е. по существу вывод уравнений Эйлера вариационного исчисления. Вторая задача состоит в установлении связей между законами сохранения и инвариантностью уравнений движения по отношению к различным преобразованиям координат и времени. Наконец, третья задача связана с изучением некоторых общих свойств движений в потенциальных полях — с интегральными инвариантами.

§ 5. Вариационный принцип Гамильтона

 

 

Рассмотрим

(п + 1)-мерное

расширенное

координатное

прост-

ранство qx

Цп1 t и выберем в этом

пространстве

две произ-

вольные не совпадающие точки

Л и В, соответствуют,! е моментам

 

 

времени t0

и tx

(рис. VII.2).

Пусть

 

 

некоторая

динамическая

система,

 

 

движущаяся в потенциальном по-

 

 

ле, задана

ее

лагранжианом (или

 

 

гамильтонианом). Путь этой систе-

 

 

мы из точки

А

в точку В, удов-

 

 

летворяющий

 

соответствующим

 

 

уравнениям Лагранжа (или кано-

 

 

ническим уравнениям), называется

 

 

прямымпутем (жирная линия на

 

In

рис. VI 1.2).

 

 

 

 

/qt

 

Обратим внимание читателя на

 

...

то, что вопрос о существовании

и с '

' '

прямого пути,

ведущего

из про-

 

 

извольной точки

А в произвольную

точку В, нетривиален. Ведь построение проводится в расширенном координатном пространстве; следовательно, выбор точки в нем

определяет п координат, но не определяет

скоростей или соответ-

ствующих импульсов. Поэтому выбор одной точки в расширенном

координатном пространстве еще не предопределяет

движения.

В рассматриваемом случае задаются две

точки (А

и В), т. е.

задается 2п данных, но они относятся

не только к начальной

точке, а к начальной и конечной точкам в совокупности. Таким

образом, для определения прямого пути получается не задача Коши об интегрировании системы дифференциальных уравнений по полной системе начальных данных, а краевая задача. К вопросу о существовании и единственности решения поставленной так задачи нам еще придется вернуться; пока же будем исходить из предположения, что прямой путь существует и является един-

Смотрите также файлы