ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 847
Скачиваний: 3
302 |
ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ |
Если теперь выбрать в момент t0 малую область AS0, зафиксировать системы ансамбля, которые при t = t0 представляются точками области AS0, и далее вести наблюдение за ними (т. е. считать, что Аг неизменно) и учесть, что в силу теоремы Лиувилля объем AV также не меняется во время движения, то отсюда сразу следует, что отношение р не меняется во времени. Следовательно, плотность статистического ансамбля не меняется во время его движения, т. е.
р = const.
Это утверждение представляет собой иную формулировку теоремы
Лиувилля об инвариантности фазового объема. |
|
|
В связи с тем, что |
плотность статистического ансамбля зави- |
|
сит только от фазовых координат и времени |
и не зависит от |
|
производных фазовых |
координат, утверждение |
р = const опреде- |
ляет первый интеграл уравнений движения. |
|
|
Приступим теперь |
к доказательству теоремы Лиувилля. Эта |
|
теорема сразу следует из свойства любых решений гамильтоновой |
||
системы, которое устанавливает |
следующая |
|
|
|
||||
Лемма . Пусть |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= ty(t; t0, |
(/=1, |
..., |
п) |
||
— решения гамильтоновой |
системы, при |
заданных |
t0 |
и t опреде- |
||||
ляющие преобразование q°, р° в q, р. Тогда якобиан |
J (t0, t) |
этого |
||||||
преобразования |
равен единице при любом t. |
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Произвольно выберем начальные |
дан- |
||||||
ные t0, |
q° и р°. Тогда указанное преобразование при t = t0 |
опре- |
||||||
деляет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ = 1 |
п), |
|
|
|
|
|
т. е. |
является |
тождественным |
преобразованием. |
Поэтому |
при |
|||
t = t0 |
якобиан |
J является определителем |
единичной матрицы Е, |
|||||
иутверждение леммы тривиально. Определитель J имеет вид
|
§ 7 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ |
305 |
Подсчитаем |
теперь, чему равна производная dJ/dt1) |
при t = t0. |
Вспоминая, |
что производная определителя равна сумме опреде- |
|
лителей, каждый из которых получается дифференцированием одной из строк, имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dJ |
у |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di= |
L |
Jk' |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Jb |
= |
&Я{ |
" |
^п |
dpi '" |
драп |
k-я |
строка. |
|
|||||
Здесь |
определитель |
Jk |
|
выписан для |
ks^n, |
а символ (*) означает, |
|||||||||||
что |
в |
соответствующей |
|
части |
определителя |
Jk стоят те |
же эле- |
||||||||||
менты, что и в исходном определителе |
J. |
|
|
|
|
||||||||||||
Учитывая, |
что |
J = detE |
при t = t0, |
имеем |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k-й |
столбец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k-я |
строка, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
1 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
... |
1 |
|
|
|
где |
символ А |
заменяет |
в k-я строке |
элементы, |
значения кото- |
||||||||||||
рых |
не играют |
роли |
в дальнейших |
рассуждениях. Раскрывая |
|||||||||||||
этот |
определитель |
|
по элементам &-го |
столбца, в случае |
l k |
||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
г / 1 |
|
_ |
(dlfk\ |
_ |
1Цк\ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
YJk\t=t0 |
— hj^i |
|
— I Л/То" |
|
|
|
|
||||||
В случае n |
|
|
|
аналогично имеем |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Vk\t |
= t |
= (дЛл\ |
= |
(дЁк\ |
|
|
|
|
|||||
1) Мы подсчитываем полную (а не частную) производную dJ (/0, 0/^'. поскольку <0 рассматривается как параметр,
304 ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
поэтому
2л |
л |
A |
i ml-*.ш\ |
к — I |
/ — 1 |
Заменяя в этом равенстве 4/ и pj их выражениями из канонических уравнений Гамильтона, получаем
|
\dJ(t0, |
0] |
|
__ |
у |
|
/ д |
дН(д, р, t) |
|
d |
dH(g, p, t)\ |
_ |
|
|
|||||||
|
L |
|
At |
J< =/. |
L\dq) |
|
|
dPj |
|
|
dp) |
d |
|
j ~ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ Д |
|
|
\ |
p\ |
t0) |
|
|
|
dp«.dq«. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким |
|
образом, |
в |
момент |
t = tQ |
мы |
имеем |
J (t0, |
to) = |
l |
и |
||||||||||
[dj (t0, |
t)/dt]t=to |
= O. |
Заметим, |
что |
t0 было выбрано произвольно |
||||||||||||||||
и в качестве начальной может быть |
взята |
любая точка |
t = t1 |
||||||||||||||||||
фазовой траектории. В силу |
этого [dJ {tu |
/)/<#]<=<, = 0 для любого |
|||||||||||||||||||
t = tt. |
Пусть теперь |
to<it1<ct. Для |
того |
чтобы |
по известным^ |
||||||||||||||||
в момент t0 |
q0 |
и р0 |
определить q и р |
в момент /, можно исход-, |
|||||||||||||||||
ные |
формулы |
преобразования использовать |
дважды: сначала |
по |
|||||||||||||||||
<7о, |
Ро и |
^о найти qlt |
рг |
|
и /1( |
а затем |
принять qx, |
рг и tx за на- |
|||||||||||||
чальные |
и определить |
q, p и t. При последовательном |
выполне- |
||||||||||||||||||
нии |
преобразований |
|
их |
якобианы |
перемножаются, |
так |
|
что |
|||||||||||||
J{tQ, |
t) = J(t0, |
tJJih, |
|
t); поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(J |
|
|
|
|
|
|
|
ffdJ |
(flt |
Q |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
\di |
|
}t~tt-Jv» |
|
h)\ |
|
At |
|
|
|
|
|
|
|||||
Но |
выше было |
показано, |
что |
dJ (tx, |
t)/dt = O при любом /= /г. |
||||||||||||||||
Следовательно, |
и (dJ (t0, |
t)/dt)t = |
tl = O. Таким образом, показано, |
||||||||||||||||||
что |
Л =л,= 1 и dJ/dt — O при любом t>t0. |
Следовательно, |
7 = 1 |
||||||||||||||||||
при всех /. Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
теоремы |
Л и у в и л л я . |
Выберем |
||||||||||||||||||
в фазовом пространстве q, р замкнутую область So, соответст- |
||||||
вующую t = t0 |
|
(рис. |
VI1.10). |
Фазовое |
пространство |
имеет 2ч |
измерений, и |
поэтому |
объем Vo |
области |
So выражается |
2/г-крат- |
|
ным интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
Воспользовавшись формулой преобразования кратного интеграла при преобразовании координат, определим фазовый объем Vx
в момент t = to+x:
2л
= s. \...\\Jldql...dq0ndpl...dpl
|
§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ |
305 |
||
Н о |
в силу д о к а з а н н о й |
леммы |
У = 1 , поэтому |
|
при |
любом t. Теорема Лиувилля доказана. |
|
||
|
5. Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа- |
|||
чжуна. Мы рассмотрели |
лишь |
три интегральных |
инварианта — |
|
инвариант Пуанкаре —Картана, универсальный инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем». В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем
рассматривать, |
а остановимся лишь на общей их классификации. |
|
В тех случаях, когда |
интегральный инвариант относится |
|
к какому-либо |
замкнутому |
контуру, он называется относитель- |
ным. Интегральные инварианты Пуанкаре —Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант «фазовый объем» таковым не является.
Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно,
^охраняющиеся |
для всех динамических систем, движущихся |
& потенциальных |
полях, называются универсальными. Инвариант |
Пуанкаре и инвариант «фазовый объем» — универсальные, а инвариант Пуанкаре —Картана не относится к универсальным.
Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (поконтуру). Инвариант «фазовый сбъем» является инвариантом 2я-го порядка, так как интегрирование производится по 2я-мерной области —фазовому объему.
Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре имеет вид
Универсальный относительный интегральный инвариант первого порядка в общем виде можно было бы записать так:
Л = $ 2 [Л, (q, p, t) bq,+ В, (q, р, t) Ьр,]. |
(90) |
с |
|
Естественно возникает вопрос: существуют ли универсальные относительные инварианты первого порядка Jlt отличные от инварианта Пуанкаре J{? Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Ли Хуачжуном.
Теорема . Любой универсальный относительный инвариант первогопорядка ]г может отличаться от инварианта Пуанкаре
11 М. Л, А(Ъермаи
306 |
ГЛ VI! ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ |
лишь постоянным множителем, т. е, для любого Ji существует константа с такая, что
Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство теоремы Ли Хуачжуна
сводится к |
доказательству следующего утверждения: |
из того |
факта, что |
Д —относительный универсальный интегральный инва- |
|
риант, следует, что |
|
|
|
2 [ ( Л - с Д ) Ч - Ь Я / в Р у ] = 6Ф. |
(91) |
где с = const, т. е. сумма, стоящая в левой части равенства (91), является полным дифференциалом некоторой функции Ф(д, р, t). Иначе говоря, это утверждение означает, что при любых / и k выполняются равенства
9° |
|
|
|
dlL~dl± |
|
|
|
|
|
|
dp |
~ |
dp, ' |
|
|
oc |
|
d(AjcPj) |
dBk |
|
dAj |
|
dBk |
3 ° |
|
|
L _ |
и л и |
' = с § |
i |
|
|
|
dpk |
dq, ' |
|
dpk |
J" |
' dq, ' |
где 8jk |
— символ Кронекера. |
|
|
|
|
||
Действительно, |
если это |
утверждение |
справедливо, то, пред- |
||||
ставляя |
(91) в виде |
|
|
|
|
||
|
|
2 [Aj 8qj + Bj 8p}] = с £ Pj |
8qf + 6Ф |
||||
и интегрируя это равенство по любому замкнутому контуру С, немедленно приходим к утверждению теоремы Ли Хуачжуна:
f 2 Щ bq, + В, Ьр,] = c§J^p,bq,.
с |
с |
Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенств 1°-3°.
Д о к а з а т е л ь с т в о р а в е н с т в 1° и 2°.
Если гамильтониан H(q, p, t) и начальный контур
выбраны произвольно, то решения уравнений Гамильтона определяют трубку прямых путей
'о («). 0» Р= Р (%(«). Ра(а). М«), *> |
(9 2 ) |