Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 845

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

312

ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

преобразуется: t*ast). Предположим, что равенства (113) могут быть разрешены относительно q и р, т. е. что якобиан преобразования (113) J ФО и поэтому существуют обратные преобразования

 

 

<7 = Ф(<7*. р*, t),

р = ф(<7*, р*, /).

(ИЗ')

 

Рассмотрим, далее, произвольную систему канонических урав-

нений

Гамильтона с

некоторым

фиксированным

гамильтони-

аном Н и применим к ней преобразование (113). Может случиться,

что

полученные

уравнения

окажутся

уравнениями

Гамильтона

с некоторым гамильтонианом Н*. Но может

случиться итак,

что

уравнения, полученные в результате преобразования, уже не

будут

иметь вид уравнений

Гамильтона.

 

 

 

 

Преобразование (113) называется каноническим, если оно пере

водит любуюгамильтонову систему

 

 

 

 

 

 

dqj

дН

dpj

дН

 

 

 

 

 

 

 

~Ж="др~1Л

Ж =

~ dq~j

(

V = 1

-

• • • > " )

в новуюгамильтонову систему

 

 

 

 

 

 

 

dq*

дН*

dp*

дН*

 

 

 

 

 

 

~&Г ~ др* '

~Ж=

~~ ~Щ

У=

' • • • > " ) •

Разумеется, «новый» гамильтониан Н* как функция новых пере-

менных q*, р* может

отличаться

от «старого» гамильтониана Н

как

функции старых переменных q, p — именно поэтому речь идет

о ковариантности, а не об инвариантности канонических уравне-

ний по отношению к преобразованиям (113).

 

 

 

Канонические

преобразования

могут

быть

использованы для

того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее

более

удобной для интегрирования. Далее канонические преобра-

зования будут использованы для того, чтобы получить из урав-

нений

Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение

в частных производных

Гамильтона —Якоби.

 

 

 

В

связи с понятием канонического преобразования естественно

возникают две задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

1°. Задано преобразование (113).

Определить,

является ли

оно каноническим.

 

 

 

 

 

 

 

 

2°. Задано преобразование (113) и известно, что оно канони-

ческое. Задана

также

гамильтонова

система

с гамильтонианом

H(q,

p, t). Определить гамильтониан

H*{q*,

p*, t) преобразо-

ванной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первую задачу решает теорема, устанавливающая

необходимые

и достаточные условия каноничности преобразования.

 

Теорема . Для того чтобы преобразование (ИЗ)было кано-

ническим, необходимои достаточно,

чтобы существовали такая

функция F(q, p, 0 и такое

число с, чтобы тождественно выпол-

 

 

5 8 KAHOHHMFCKHE ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

313

нялось равенство

 

 

 

 

\(fl—c^ipJbqJ

= — 8F (q, p, t).

(114)

В

формуле

(114) б —оператор

дифференцирования

функции

от q,

p, t при

«замороженном» времени, т. е.

 

Для независимых переменных операции б и с ! совпадают. Поэтому

bq, = dqr

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала

необходимость

усло-

вий теоремы. Пусть преобразование (ИЗ)

каноническое.

Тогда

оно преобразует «старую» гамильтонову систему в «новую» гамильтонову систему. Для преобразованной, «новой» системы имеет место универсальный интегральный инвариант Пуанкаре

§ У; Р ;б<7;=const.

(П5)

Используя преобразование (ИЗ), переведем равенство (115) в пространство q, р, t

§ 2 % 6ф/ = const.

(116)

с

 

При этом замкнутый

контур С* переходит в замкнутый контур С

в этой же плоскости

t = i.

Равенство (116) верно при любом /. Поэтому его левая часть является универсальным интегральным инвариантом первого порядка. По теореме Ли Хуачжуна такой инвариант может отличаться от инварианта Пуанкаре лишь на постоянный множитель с. Следовательно,

или

С

Это равенство верно при любом выборе I и при любом выборе контура С*, а значит, и С в плоскости t —t. Поэтому оно выполняется лишь в том случае, когда подынтегральное выраже- ние—полный дифференциал некоторой функции при t = t. Обозначим ее —F. Тогда

U ^йф, - с £ р/ bq, = — 6F. Необходимость условий теоремы доказана.

314

ГЛ VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Докажем достаточность этих условий. Пусть существуют число с и функция F (q, р, t) такие, что выполнено тождество (114). Пусть далее задана гамильтонова система

с гамильтонианом Я, и пусть

преобразования

(113)

переводят

эту

систему

уравнений Гамильтона в некоторую

систему диффе-

ренциальных уравнений

 

 

 

 

 

4/= /) (?*• Р*> 0»

P? — ij(Q*> Р*> О-

(И7)

В

плоскости

f = / = const пространства q, p, t

выберем произ-

вольный замкнутый контур С и выпустим из него трубку прямых

путей заданной гамильтоновой системы. Преобразование (113) переводит ее в трубку прямых путей системы (117), а контур С — в некоторый замкнутый контур С*, лежащий в той же плоскости t = i (рис. VII.11).

Проинтегрируем теперь равенство (114) по контуру С:

Правая часть этого равенства содержит интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала и, следовательно, равна нулю; поэтому

Контурный интеграл, стоящий в правой части этого равенства, одинаков при любом контуре С в любой плоскости t = t, так как

§ 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

315

исходная система гамильтонова и для нее имеет место интегральный инвариант Пуанкаре. Значит, не меняется при этом и интеграл

ф2 % бФ/-

с

Производя в нем замену переменных с помощью заданного преобразования (113), убеждаемся, что и интеграл

не зависит от выбора контура С* в плоскостях t = t и сохраняется на любых сечениях плоскостями t = t трубки прямых путей уравнений (117). Следовательно, для уравнений (117) имеет место интегральный инвариант Пуанкаре. Поэтому в силу доказанной выше теоремы (см. стр. 298—299) система уравнений (117) является гамильтоновой, т. е. существует гамильтониан Н* (q*, р*, t) такой, что в уравнениях (117)

P*. 0 =- ^ (1=1,

Теорема доказана полностью.

По поводу доказанной теоремы сделаем следующее замечание. Теорема требует, чтобы выражение, стоящее в левой части тождества (114), было полным дифференциалом некоторой функ-

ции от q, р, t при

«замороженном»

времени / = /=const. Пере-

пишем левую часть

тождества (114)

так:

где

 

 

Условие того, что левая часть тождества (114) есть полный дифференциал (при t = 1), имеет вид

дц, - dqk '

dPk ~ dPj •

dPk ~ dq,

( / , « - ! . . . .

, л ) .

В связи с этим условие того, что преобразование (113) каноническое, может быть сведено к системе равенств

\dqsdqk

dqkdqs)~~ ' Zi\dpsdpk

dpkdps)~~ '

/

316

ГЛ VII

ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

1де s, k—\,

.... п,

а 6^ —символ Кронекера. Если ввести в рас-

смотрение скобки Лагранжа

 

 

 

[*» У^ — ^дх

ду

ду дх)'

где

в качестве х

и у

могут быть рассмотрены любые переменные b

и р,

то

выписанную

выше систему

равенств можно компактно

записать

так:

 

 

 

 

 

 

[Qs,

9 * ] = = 0 , IPs, Pft] = 0>

[qs> Pk]= &slfi-

Эти формулы позволяют эффективно установить, является ли

заданное

преобразование

(113) каноническим; в том случае,

когда

преобразование

оказывается

каноническим, они позволяют вы-

числить

величину

с.

 

 

 

 

 

 

Приступим

теперь

к

решению второй

из

сформулированных

выше задач, т. е.

задачи

об определении гамильтониана Н* по

заданному гамильтониану

Н.

 

 

 

Т е о р е м а .

Пусть

преобразование (113)

является каноническим,

причем с и F (q, p, t), при которых удовлетворяется тождество

(114),

известны. Тогда «новый» гамильтониан Н*

определяется по

«ста-

рому» гамильтониану Н,

если в функции

 

 

 

выразить

переменные q

и

р через q* и р*

при

помощи преобразо-

ваний (113'), обратных преобразованиям (113).

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Умножим равенство (118) на dt и выч-

тем

результат

из тождества

(114)

 

 

 

или

учитывая,

что

bqj —

dqjt

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Н* dt = с ( 2 pj dqj -Hdt)-

dF.

(119)

В пространстве q, p, t

выберем произвольный замкнутый контур С

и выпустим из него трубку прямых путей

гамильтоновой системы

с гамильтонианом

Н. Пусть

преобразования

(113) переводят эту

гамильтонову систему в некоторую «новую» систему гамильтоновых уравнений (по условию теоремы преобразование каноническое!), трубку прямых путей «старой» — в трубку прямых путей «новой» гамильтоновой системы, а замкнутый контур С —в замкнутый же контур С*.

§ 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

317

Проинтегрируем равенство (119) по контуру С.

Учитывая,

что интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала dF равен нулю, получаем

ф [ 2 IV d<p, - Н* (

Ф, г|), t)dt] =

с

 

Для системы с гамильтонианом Н имеет место интегральный инвариант Пуанкаре —Картана. Поэтому интеграл в правой части выписанного равенства не зависит от выбора контура С на трубке прямых путей этой системы. Значит, не зависит от выбора этого

контура и интеграл в левой

части равенства

 

- / / * (<р,

dt\=

const.

Произведем теперь в этом

интеграле

замену переменных

с помощью заданного преобразования (113)

 

P*dq]-H*

(<?*,р*, ОЛ] = const.

Это равенство устанавливает интегральный инвариант Пуанкаре —Картана для «новой» гамильтоновой системы, и в силу обратной теоремы теории интегральных инвариантов функция H*(q*, p*, t) является гамильтонианом этой системы. Теорема доказана.

Условимся теперь о следующей терминологии. Функцию F, входящую в формулы (114) и (119), будем называть производящей функцией(причины такого наименования будут разъяснены далее), а число с, входящее в эти формулы, — валентностью преобразования. Преобразование называется унивалентным,если условие (114) выполняется при с = 1 .

Преобразование (ИЗ) называется свободным, если для первых п его уравнений

 

<7/=Ф/(<7. Р- О

 

 

(120)

якобиан

отличен от

нуля:

 

 

 

 

 

J 4. II dip

dpi

' "

дрп

(121)

 

 

 

 

 

det -3s-

d(fn

 

 

 

 

 

дц>„

 

 

1дР

dpi

' "

дрп

 

При

выполнении

этого

условия

уравнения (120) можно раз-

решить относительно

р:

 

 

 

 

Pj = 4i(q, q\t)

( / = 1

»).

(122)

Смотрите также файлы