ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 842
Скачиваний: 3
318 |
гл VII ДВИЖЕНИЕ ВПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ |
|
|
||
и в случае свободного преобразования |
формулы (113) можно |
|
записать так: |
|
|
|
О, Р/=Ч>/(<7> Р, f) = |
=ty(q, q*, t)(123) |
|
( / = 1 , . . . , п). |
|
В случае свободных канонических, преобразований можно задаваться произвольными старыми и новыми обобщенными координатами q и q* и определить по ним старые и новые импульсы р
и р*. Старые импульсы |
находятся изпервой группы |
уравнений |
|
(123), |
а новые импульсы— из второй группы этих |
уравнений |
|
(при |
подстановке вместо |
р выражений, полученных |
ранее из |
первой группы уравнений).
В случае свободных преобразований производящая функция F, входящая в правую часть критерия каноничности (114), также может быть представлена как функция только обобщенных координат (старых и новых) и времени
F[q, <p(q, q*, t),t] = S(q, |
q*, t), |
(124) |
и формула (119), выражающая «новый» |
гамильтониан Н* через |
|
«старый» гамильтониан Н, принимает вид |
|
|
[Zpjd^-H*dt]-c[^pjdqj-Hdt}^-dS(q, |
<?*, t). (125) |
|
При переходе от формулы (119) к формуле |
(125) в первой |
|
квадратной скобке в левой части равенства |
%р и <р заменены на |
р* и q* в соответствии с формулами (ИЗ). |
|
Запишем теперь выражение для полного дифференциала, сто- |
|
ящего в правой части равенства (125), более |
подробно: |
dSdt dt.
Приравнивая члены, стоящие слева и справа в качестве множителей при дифференциалах одних итех же переменных, можно записать равенства
dS |
dS |
( / = 1 П) |
(126) |
|
dq) • = - P i |
и, кроме того, равенство, связывающее старый и новый гамильтонианы:
(127)
|
|
§ 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
|
319 |
|
Пусть |
теперь |
задана некоторая |
функция S(q, |
q*, f). |
Тогда |
в силу равенств |
(126) р) и р; будут |
функциями тех |
же аргумен- |
||
тов; обозначим эти функции через % |
и фу соответственно: |
|
|||
р* |
=- щ =Ъ(<1'Ч*'*)' |
Р/ = Щ |
= Ъ(Ч> |
я***) |
|
|
|
( / = 1 , . . . , я). |
|
|
|
Равенства (128) и (123) совпадают. Из этого следует, что выбор функции S(q, q*, t) однозначно определяет свободное преобразование (123), и равенство (127) позволяет по заданному старому гамильтониану Я определить новый гамильтониан Я*. Однако определенный так гамильтониан Я* является функцией «смешанных переменных» q, р, q*, t, ибо Я зависит от q, р, t, a dS/dt является функцией от q, q*, t. Чтобы найти Я* как функцию только от <7*> Р* и t, надо выразить q и р через новые переменные q* и р*. Это можно сделать при помощи равенств (128), но только в том случае, когда первые п из этих равенств можно разрешить относительно q, т. е. когда
|
|
|
= |
det(—1)" |
dqf |
dq\ФОk . |
(129) |
|
Поэтому |
произвольно |
выбранная |
нами функция |
S (q, q*, t) |
||||
должна удовлетворять условию (129). |
|
|
||||||
Итак, произвольный выбор производящей функции S, удов- |
||||||||
летворяющей |
условию (129), сразу позволяет получить как фор- |
|||||||
мулы |
для |
соответствующих |
свободных канонических преобразова- |
|||||
ний, |
так |
и |
выражение |
для |
гамильтониана преобразованной |
|||
системы через новые гамильтоновы переменные. В |
этом смысле |
|||||||
выбор |
функции S и числа сфО |
задает |
свободное каноническое |
|||||
преобразование. |
|
|
|
|
|
|||
Наоборот, если задаются «старый» гамильтониан Я и «новый» гамильтониан Я*, то равенство (127) служит для определения производящей функции S. Поэтому в случае свободных преобразований можно, задав гамильтониан непреобразованной системы и желаемый гамильтониан преобразованной системы, найти производящую функцию S и, зная ее, восстановить соответствующее каноническое преобразование.
Установленный выше критерий каноничности требует, чтобы левая часть выражения (114), содержащая параметр сфО, при некотором значении этого параметра являлась бы полным дифференциалом. Иногда этот критерий используют в «упрощенной форме», полагая с = 1 . Ясно, что в такой форме критерий не определяет уже необходимых и достаточных условий каноничности, а является лишь достаточным условием, и естественно возникает вопрос о том, сколь широко такое достаточное условие.
320 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
Чтобы выяснить это обстоятельство, рассмотрим два примера.
П р и м е р 1. |
Рассмотрим |
гамильтонову |
систему с одной сте- |
||
пенью свободы |
и |
однопараметрическое |
семейство линейных пре- |
||
образований |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
< 7 * 2 7 + a p |
p* |
q + a p |
||
где а Ф0 — параметр. |
|
|
|
||
Преобразования |
эти невырожденные, |
так |
как |
||
|
|
2 |
1 а |
|
|
|
|
А = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 а |
|
|
Импульсы р и р* выражаются через q и q* так:
Из условия афО следует, что если преобразования этого семейства являются каноническими, то они будут также и свободными.
Поэтому чтобы установить каноничность преобразований, воспользуемся критерием каноничности в форме
dS dS
Все преобразования рассматриваемого семейства будут свободными каноническими преобразованиями, если при любом афО можно подобрать сфО и функцию S(q, q*, t) так, что выполняются равенства
dS |
dS |
* |
о * |
dq |
дд* = |
2q*. |
|
— р* — |
|
||
|
|
|
|
Тогда из очевидного равенства |
|
|
|
д /dS |
_ д fdS \ |
|
|
dq* \dq |
~ dq \dq* |
j |
|
получаем |
д |
|
|
ИЛИ |
|
т. е. |
|
с —а.
Ч КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
321 |
Учитывая это, из соотношений
dS |
( б |
. 3 |
„Д |
с т о * |
= ср = с |
a |
а А |
а* |
= — Ьа 4-За*, |
находим и производящую функцию
S = — 3<?2 4- 3qq* -q*2 + W (t).
Новый гамильтониан |
Н* вычисляется так: |
|
|
||||||
|
|
и* |
— и л. д*У(О |
|
|
|
|||
|
|
п |
|
-ал |
+ |
dt . |
|
|
|
Таким образом, установлено, что все преобразования рассмат- |
|||||||||
риваемого |
семейства |
при а # 0 |
являются свободными канониче- |
||||||
скими преобразованиями |
валентности |
с = а. |
Если бы в этом |
||||||
простейшем примере мы попытались |
использовать |
«упрощенный» |
|||||||
критерий |
с с = 1 , то |
установили |
бы каноничность только преоб- |
||||||
разования |
при а = 1 |
и не могли |
бы |
установить |
каноничность |
||||
всех остальных преобразований этого семейства. |
|
||||||||
Пример 2. Рассмотрим для произвольной гамильтоновой |
|||||||||
системы с п степенями свободы |
тривиальное |
«переобозначение |
|||||||
фазовых координат» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<7/=Р/> |
Р/=<7/ |
( / = 1 . •••- п). |
|
|||||
Непосредственно видно, что любая гамильтонова система с гамиль-
тонианом Н (q, |
p, t) в |
силу этого преобразования переходит |
в гамильтонову |
систему |
с гамильтонианом Н* = — Н (р*, q*, t) |
и, следовательно, это преобразование каноническое. Из того факта, что Н и Н* отличаются только на постоянный множитель,
следует (см. формулу |
(127)), что S не зависит от |
t и dS/dt — O. |
Но тогда |
Н*=сН |
|
|
|
|
и с = — 1 , поскольку |
Н* = — Н. |
|
Таким образом, в |
этом тривиальном примере |
каноничность |
преобразования вообще не следует из упрощенного критерия каноничности с с= 1.
Оба разобранных примера |
свидетельствуют о том, что учет |
сф\ является не украшением |
теории, а отражает само существо |
дела. |
|
В заключение этого параграфа заметим, чго последовательное выполнение нескольких канонических преобразований также представляет собой каноническое преобразование с валентностью с, равной произведению валентностей выполненных преобразований, так что множество канонических преобразований образует группу. Унивалентные преобразования составляют ее подгруппу.