48.20 (1202). По однородному стержню массы М и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизонтальной плоскости окружности радиуса R, движется с постоянной отно* сительной скоростью v материальная точка массы т. Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре тяжести стержня.
Ответ: Ф— Фо = С arctg — |
vt |
, где §0 и С — |
|
|
произвольные постоянные. |
|
48.21 |
(1203). Концы однородного |
|
тяжелого |
стержня АВ длиной 2а |
|
|
|
|
К задаче 48.20. |
|
|
|
|
К задаче 48.21. |
|
и массы М скользят без трения по |
горизонтальному |
и вертикаль- |
ному |
стержням |
рамки, |
вращающейся |
с постоянной угловой |
скоро- |
стью |
« |
вокруг |
|
вертикальной |
стороны. |
|
|
|
|
|
Составить |
уравнение |
движения стержня |
и определить положение |
относительного |
|
равновесия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: -^Ма2гг—^--/Wco2a2 |
sin •& • cos # — Mga sin -г> = 0, где •& — |
угол, образуемый стержнем с вертикалью. |
|
|
|
|
В положении |
равновесия $ = 0 |
(неустой- |
|
|
|
|
чивое |
равновесие). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48.22 (1204). К окружности однород- |
|
|
|
|
ного |
диска |
радиуса |
R шарнирно присое- |
|
|
|
|
динен рычаг, несущий на своих концах |
|
|
|
|
сосредоточенные |
массы |
т{ |
и |
т%. Рас- |
|
|
|
|
стояния масс от шарнира соответственно |
|
|
|
|
равны 1г и /2. Диск вращается около вер- |
|
|
|
|
тикальной оси, перпендикулярной к его |
|
|
|
|
плоскости, |
с угловой |
скоростью и. Со- |
v |
|
|
|
ставить |
уравнение движения |
|
рычага |
ич |
|
к задаче 48.22. |
|
определить |
его |
относительное положение |
|
|
|
|
равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось |
вращения рычага |
парал- |
лельна |
оси |
вращения диска. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: {тх1\ + тгЩ •§ — Ru? (т^ |
— m2/2) cos {Ир — wt) — 0. |
При |
m-J-i = mj-г |
рычаг |
в |
безразличном относительном |
равно- |
весии. |
При Ш\1\ =£ mj% |
существуют |
два |
положения |
относительного |
равновесия, при которых ty = . atf ± - s - , т. е. рычаг направлен по ра-
диусу.
• 48.23 (1205). Решить предыдущую задачу в предположении, что диск вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тяжести).
Ответ: (т^ -j- /wa/|) $ — Rv>s(mxh — W2) cos (ф — шг) 4-
4- (т^ — w2/s) g sin (J) = 0. При m\l\ Ф m4i относительное равновесие невозможно.
48.24 (1206). Тонкий диск массы М может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы т. Уравнения относительного движения точки в декартовых
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координатах |
х |
и у, |
связанных |
с диском |
и имеющих начало |
в его |
центре |
тяжести, |
заданы |
в виде x = x(t), |
y=y(t). |
Момент инерции |
диска |
относительно |
его |
центра |
тяжести |
равен J. |
Определить |
закон |
изменения угловой |
скорости диска. В начальном |
положении |
диск |
неподвижен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отеет: [,+ ^ ( * + ^ + _ ^ (*,-_
тМ
Т
где Хо, у», х$, _Po — значения координат и проекций скорости точки
вначальный момент времени.
48.25(1207). По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса R движется материальная точка с относительной
скоростью v = |
at. |
Найти закон движения |
диска. |
|
,, |
|
mM |
Ra |
,8 |
p a |
Ответ: Т= |
- |
|
H |
** |
** |
где <f — угол поворота диска, а £ и "ц — координаты центра тяжести |
диска в неподвижной декартовой системе, имеющей |
начало в центре инерции системы. |
|
48.26 (1208). Материальная точка М движется под |
действием силы тяжести по |
прямой АВ, |
вращающейся |
с постоянной угловой скоростью to вокруг |
неподвижной |
вертикальной оси. Прямая |
АВ образует |
угол о с го- |
ризонталью. Найти закон движения точки. |
|
Ответ: Расстояние движущейся точки от точки |
пересечения прямой с вертикальной осью |
|
|
|
4-4г^, |
|
|
|
<о2 COS2 a |
' |
К задаче 48.26. |
„ |
г, |
|
где |
С\ |
и С* — постоянные интегрирования. |
|
48.27 (1209). Материальная точка массы т движется по окруж- |
ности радиуса а, |
которая вращается с постоянной угловой |
скоро- |
стью (о вокруг вертикального диаметра АВ. Составить уравнение движения точки и определить момент М, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.
Ответ: Ь-\- (£• — u>*cosd) sin &= 0;
М= 2mai
48.28(1210). Материальная точка массы т движется внутри гладкой трубы, представляющей собой окружность радиуса а; труба свободно вращается около вертикального диаметра. Момент инерции трубы относительно вертикального диаметра равен J. Составить уравнения движения системы, считая, что труба
|
вращается под действием постоянного момен- |
К задаче 48.27. |
|
та М, (См. чертеж к задаче 48.27.) |
|
|
|
|
Ответ: та*Ь — та1 |
sin Ь cos & • <j>2-f- mga sin & = |
|
0, |
|
Jy -f- ma* sin3 |
& • cp-\- 2mc? sin & cos Ь• &<p= |
M |
(&— угол, определяющий положение точки в трубе, ср— азимут трубы).
|
48.29 (1211). Однородная балка весом |
Р |
и длиной |
21 подвешена |
ва концы на канате длиной 2а, перекинутом |
|
|
через неподвижный блок С. Пренебрегая |
мас- |
|
|
сой каната и считая блок весьма малым, со- |
|
|
ставить |
выражения для кинетической |
и потен- |
|
|
циальной энергий системы. |
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Траекторией точки С |
по отноше- |
|
|
нию к отрезку FtFs является |
эллипс с большой |
осью |
|
|
2а |
и с фокусами |
в точках Ft |
и F2', за одну из обоб- |
К |
задаче 48.29 |
щенных координат принять эксцентрическую ано- |
|
|
малию |
эллипса, |
т. е. угол |
<?, определяемый |
с |
помощью |
соотношений |
|
|
|
|
АВ — a cos# |
ВС = У а* — /3 sin f, |
|
|
за |
вторую |
принять угол а между |
вертикальной |
осью у и перпендикуляром |
ВС |
к стержню. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Кинетическая энергия системы: |
|
|
|
|
_ |
Р |
\11г |
, |
* s l n |
<Р а |
|
|
asb'4-ll |
sin!cpcossij . |
|
2^L\3 |
' |
|
|
a3 |
cos2 <р + Ьг sin8 ? 'J• |
|
Потенциальная энергия системы; |
|
|
|
|
|
|
|
П = — Р ф sin cp cos a — a cos cp sin a); |
b = |
У a4 — /*. |
|
48.30 (1213). Однородный тонкий стержень АВ |
весом Р и длиной |
2/ скользит концом А по вертикальной |
прямой, а концом В по |
горизонтальной |
плоскости. Составить |
уравнения |
движения стержня |
и найти их |
первые интегралы (см. чертеж на стр. 374). |
|
Ответ: |
Уравнения движения: |
|
|
|
|
|
|
«р — ¥ |
sin соcos f = -^ j - sin cp; &sin* cp-4r 2&<p sin cp cos cp==0 |
(? — Уг о л |
наклона |
стержня к вертикали; 9- — угол проекции стержня |
на горизонтальную плоскость с осью |
Ох). |
|
|
|
|
Первые интегралы: |
|
|
|
|
(Ci и Са — произвольные постоянные). |
О4 |
•J" |
|
48.31 (1214). Составить уравнения движения |
|
математического |
маятника массы т, подвешен- |
|
|
|
ного на упругой |
нити; длина нити в положении |
|
|
|
равновесия /, ее |
жесткость |
равна с. |
|
! \ ЗЗДЙЧР |
Ответ: Если |
Ф — угол |
отклонения маятни- |
|
ка от вертикали, |
z — относительное удлинение |
|
|
|
нити, то |
уравнения |
движения будут |
|
|
£-z+ f (l-coso) = 0.
48.32 (1216). Найти в предыдущей задаче движение маятника для случая малых колебаний.
- Ответ: z = Asin^y ~ t-\-oj , <?==Bsm\yj-t-{- pj, где А,
а, В, р — произвольные постоянные.
48.33. Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг |
однородного круглого цилиндра радиусом |
R, второй конец прикреплен |
к неподвижной точке О. |
Цилиндр, разматывая нить, |
опускается вниз, одновременно |
раскачиваясь |
вокруг |
горизонтальной оси, |
проходящей |
через точку |
подвеса |
нити. Пренебрегая |
весом нити, составить дифферен- |
циальные уравнения |
движения цилиндра. |
|
Ответ: |
|
|
|
р — Ri |
— -3 р ? 9 = - 3 g cos<p; |
|
( S < P ) — Я Р Ф 8 = — ^ Р sinср.
48.34.Пользуясь результатами, полученными при ре-
кзадаче 48.зз. шении предыдущей задачи, составить дифференциальное
уравнение малых колебаний цилиндра, если движение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
началось из состояния покоя |
и при £ = |
0 |
р = ро, |
Ф ^ Ф О ^ О . |
Ответ: ^ [Я (t) Ф] + gF (t) Ф= |
0, |
где |
F (t) = |
^ + Р о — |
R^ |
48.35 (1216). |
Определить |
движение |
системы, |
состоящей |
из двух |
масс OTi и ть |
насаженных |
на |
гладкий |
горизонтальный |
стержень |
(ось Ох); массы |
связаны пружиной |
жесткостью с |
и могут двигаться |
поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами тяжести масс при ненапряженной пружине равно /; начальное состояние