|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47.19 |
(939). В регуляторе четыре |
груза одинакового веса Р на- |
ходятся на |
концах |
двух равноплечих |
рычагов |
длиной |
21, которые |
могут вращаться в |
плоскости |
регулятора вокруг |
конца |
шпинделя О |
и образуют |
с |
осью |
шпинделя |
переменный угол |
ср. В точке А, на- |
ходящейся |
от |
конца шпинделя О на расстоянии ОА = а, со шпинделем |
шарнирно соединены рычаги АВ и АС |
|
|
|
длиной а, которые |
в точках В и С |
|
|
|
в свою очередь сочленены со стерж- |
|
|
|
нями BD |
и CD длиной а, несущими |
|
|
|
муфту D. |
В точках |
Б |
и С имеются |
|
|
|
АВ
ползунки, скользящие вдоль рычагов, несущих грузы. Вес муфты
|
|
|
|
|
|
|
|
равен Q. |
Регулятор вращается |
с постоянной |
угловой скоростью ш. |
Найти |
связь между углом <р и угловой скоростью ш в |
равновесном |
положении регулятора. |
|
|
|
|
Ответ: Равновесное положение регулятора |
возможно |
только при |
~2eQa |
независимо от угла <р- |
|
|
|
-jzjr |
|
|
|
47.20 * (943). Однородная нить, к концу которой привязан груз А |
весом Р, |
огибает неподвижный |
блок |
В, охватывает подвижный блок |
С, поднимается |
вверх на неподвижный блок D и проходит |
параллельно |
горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз |
Е весом Р. |
К оси блока |
С |
прикреплен груз К |
весом Q. |
Коэффициент трения |
скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен / (см. чертеж на стр. 362). При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.
Ответ:
47.21* (944). Два груза D и Е весом Р каждый привязаны к концам нерастяжимой и невесомой нити. Эта нить от груза Е идет через неподвижный блок А, затем охватывает подвижный блок В, возвращается вверх на неподвижный блок С, соосный с блоком А, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз D. Наклонная плоскость образует угол а с горизонтом. К подвижному блоку В прикреплен груз К весом Q. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен /. Массами блоков пренебречь.
Выяснить условие, при котором груз К будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись нулю.
Ответ: Q>P(/+sina); w = |
gQ-*(f+sina) |
К задаче 47.20. |
К задаче 47.21. |
47.22* (945). Призма А весом Р скользит по гладкой боковой грани призмы В весом Q, образующей угол а с горизонтом.
Определить ускорение призмы В. Трением между призмой В а горизонтальной плоскостью пренебречь.
Ответ: ™ = 8
К задаче 47.22. |
|
|
К задаче 47.23. |
47.23* (1120). На гладкой |
горизонтальной |
плоскости |
помещена |
треугольная призма ABC |
весом Р, которая может |
скользить |
без трения |
по этой плоскости; по |
грани |
призмы АВ катится без |
скольжения |
однородный круглый цилиндр весом Q. |
|
|
|
|
Определить ускорение призмы. |
|
|
|
|
|
Ответ: Ускорение |
направлено |
влево |
и равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q sin |
2a |
|
|
|
|
47.24* |
(946). Через |
блоки |
А |
и В с |
неподвижными |
осями |
пере- |
брошен шнур, поддерживающий подвижный блок |
С; части шнура, не |
лежащие |
на |
блоках, |
вертикальны. Блок |
С нагружен |
гирей |
весом |
Р = |
4«, |
к |
концам |
шнура |
прикреплены |
грузы |
весом |
Pj==2 « и |
Р а = |
3 н. Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массами |
блоков и шнура и трением |
на |
осях. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
Ответ: w = Yi8 |
(вверх); ге>1=д§ (вверх); •ОУ2 =Ц§ (вниз). |
|
47.25* (947). Грузы Aft и |
Afa |
одинакового веса р движутся по |
двум наклонным направляющим |
ОА |
и ОВ, расположенным в верти- |
кальной плоскости под углами а и р к горизонту; нить, соединяющая
эти грузы, идет |
от груза |
Mi |
через |
блок |
О, |
вращающийся |
около |
горизонтальной |
оси, |
охватывает |
подвижный |
шкив Q, несущий груз |
М весом Р, и затем |
через |
блок Оь |
надетый |
на ту же ось, |
что и |
блок О, идет к грузу |
Мь |
Блоки О\ и О соосные. |
|
Определить ускорение w груза М, пренебрегая трением, а также |
массами блока, |
шкива |
и нити. |
|
|
|
|
|
_ |
Р —р (sin a 4- sinP) |
|
|
|
|
Ответ: w = g |
Р + |
2р |
• |
|
|
|
|
'^///////////////////////////Л
А
М,
К задаче 47.24. |
К з»даче 47.25. |
К задаче 47.27< |
47.26*. Решить предыдущую задачу, заменив грузы Mt и М8 катками весом Р и радиуса г каждый. Катки считать сплошными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков о наклонные плоскости равен fk. Нити закреплены на осях катков.
|
|
Р —р fsIsin а -|- sin (5 -j- ^г (c o s а |
' |
|
|
|
|
|
|
Ответ: w = |
g- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47.27* (948). Дана |
система из |
двух |
блоков, |
неподвижного А и |
подвижного В, и трех |
грузов Мь |
М% |
и Ж3, подвешенных с |
помощью |
нерастяжимых нитей, как указано на чертеже. Массы грузов |
соответ- |
ственно |
равны |
ту, |
/Яа и |
т%, при |
этом |
т\ <^ 1Щ -\- /Кз и |
лга^/Яз. |
Массами |
блоков |
пренебрегаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти, при каком соотношении |
масс |
ть |
/иа |
и /и3 |
груз |
All |
будет |
опускаться в том случае, когда начальные |
скорости |
грузов |
равны |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Должно |
быть / Й ^ > а |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
47.28*. При наезде |
крановой |
тележки А |
на |
упругий' |
упор В |
начинаются колебания |
подвешенного |
|
на невесомом стержне груза D. |
Составить дифференциальные уравнения движения материальной |
системы, |
если |
/щ — масса |
тележки, |
т$ — масса |
груза, |
/ — длина |
стержня, с — коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес
и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета |
оси х |
взять в левом конце недеформированной пружины. |
|
Ответ: (mi -\-т^х-\- |
тгЩ cos <р — /я2/<?а sin 9 = — ex, x cos f -j- |
? = — g sinср. |
|
|
47.29*. Использовав ответ предыдущей задачи, определить |
период |
малых колебаний груза |
при отсутствии упора В. |
|
Указание . Пренебречь членом, содержащим множитель <f, считать
с = 0, sin <? « а <р> cos<f s=» 1.
Ответ: Т ^ ^ У
47.30*. Точечная масса А весом Pi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Точечная масса В весом Р%, присоединенная к массе А
|
К задаче 47 28. |
К задаче 47 30. |
посредством |
невесомого стержня АВ |
длиной /, может колебаться во- |
круг оси Л, |
перпендикулярной к плоскости чертежа. Положения масс |
Л и В определены с помощью углов а и ср, отсчитываемых от вертикали.
Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из точек А и В, соединенных невесомым стержнем АВ.
Ответ: (mi -\- от2) I& -\-т^Щ cos (ср— я) — т^Щ% sin (ср — а) =
= — (Pi Н-Р«) sin а, Щ -|- Га cos (<р— a) -f- la? sin (<p— а) = —g sin ср, где |
^ |
5 |
47.31*. |
Использовав ответ предыдущей задачи, написать диффе- |
ренциальные уравнения малых колебаний рассматриваемой материальной системы.
Указание . Пренебречь членами, содержащими множители $г и as, a
также считать sin (tp—0)=»^ — a, cos(<p — а)«з1, |
sin а «sot, |
i |
|
Ответ: (mi -f- /я2) I'd -j- т^Щ= — (Pt -f- P |
2 ) а, /ф-{- /5= — gf, где |
«.=4 -a=9- |
|
|
|
47.32*. По неподвижной призме Л, расположенной |
под углом a |
к горизонту, скользит призма В весом P* К призме |
В, |
посредством |
к задаче 47.32.
цилиндрического шарнира О и спиральной пружины с коэффициентом жесткости с, присоединен тонкий однородный стержень OD весом Р, и длиной /. Стержень совершает коле- .
бания вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат s и <f.
Написать дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из призмы В и
стержня OD, пренебрегая силами трения.
Ответ: (mi -f- от4) s-\- -к- /я,/$* sin (<р -j- а) |
=-т\Щ c o s (? + |
<*) = |
|
1 |
1 |
.. |
|
1 |
|
= (^i -f- Р*) sin a, у |
/и,/*ф — у да,/* cos (<?-f- «) = у / V sin у — су, где |
Pi |
Pi |
|
|
|
|
|
47.33*. |
Воспользовавшись |
ответом |
к предыдущей задаче, |
опреде- |
лить период малых |
колебаний |
стержня |
OD, если PJ cos* а <^ 2с. |
У к а з а н и е . Считать sinу =» if, cos(cp-)- а)я»cos а—ip sin а, затем пре- |
небречь членами, содержащими множители ф8 и <f-!p. |
|
|
Ответ Т= 2к?/g^l±j* |
°2 + |
|
|
|
|
|
6 (от,-|-«а)(2с— /У coss a) |
|
|
|
|
47.34*. Решить |
задачу 47.32, считая, что призма А |
весом Ръ |
дви- |
жется по гладкой |
горизонтальной |
плоскости, а ее положение опре- |
деляется координатой х. |
|
|
|
|
|
Ответ: (тх 4- /иа -J- /я3) jc -J- (/Wi -|- /яа) s cos a -)- Wi |
5-ф8 sin !p — |
|
|
|
— от, у ? cos tp= 0, |
(тг |
4- ma)Xcos а -j- (от, -j- /и4) S-|- /я, -^ фв sin (tp -f- а) — гщ -j <f X |
|
X |
cos(<p -f а)= (Pt 4- Р«) sin а, -i да,/2ф _ -1/я,/^cos ср— 1 |
m/s |
X |
|
Xcos(cp4 - a)=i - P,/sinf — <7<р, где тх = Ц , т% — Ц, |
т3 —Р->, |
|
|
|
о |
о |
|
& |
§48. Уравнения Лагранжа 2-го рода
48.1(1179). Передача вращения между двумя взаимно перпендикулярными и пересекающимися валами осуществляется двумя коническими
зубчатыми колесами, имеющими соответственно .г, и г2 зубцов; момешы инерции валов с насаженными на них колесами соответственно равны
Ji и J3. Определить угловое ускорение первого вала, если на него действует вращающий момент Ж,, а на другой вал — момент сопротивления М^ Трением в подшипниках пренебречь.