Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1086

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

<fi *—азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса и проходящей через точку касания.

48.51 (1233). Конденсаторный микрофон состоит из последовательно соединенных катушки самоиндукции, омического сопротивления и конденсатора, пластины которого связаны двумя пружинами общей жесткости с. Цепь присоединена к элементу с постоянной электродвижущей силой Е, а на пластину конденсатора действует переменная сила p(t). Коэффициент самоиндукции катушки I, омическое сопротивление R, емкость конденсатора в положении равновесия системы Со, расстояние между пластинами в этом положении а, масса подвижной пластины конденсатора т.

Ввести электрические и механические обобщенные координаты и со-

ставить уравнения

движения системы в форме Лагранжа.

 

У к а з а н и е . 1.

Потенциальная

энергия конденсатора равна

V=~-

(С — емкость конденсатора, q — заряд

на его обкладках); электрокинетиче-

ская энергия вычисляется по формуле T = -K-Li3\L — коэффициент самоиндукции, i= -S~ — сила тока в цепи|.

 

2. За обобщенные

координаты принять изменение заряда конденсатора q

я

смещение пружин

из положения равновесия. Тогда полный заряд будет

q0

-f- q, а полное смещение х0 -f- х; здесь q0 — заряд конденсатора, а А-,,—сме-

щение пружин от нейтрального положения в положение равновесия системы.

 

 

Е

аг

 

 

' Ответ: mx-\-cx~

— q — т^ =р (Q;

 

 

48.52

(1234). Определить частоты малых свободных колебаний

конденсаторного

микрофона, описанного в предыдущей задаче. Сопро-

тивлением

электрической

цепи

пренебречь.

 

 

 

: klti=у=у ~+ -ц^

1

a*mL'

Ответ

 

 

 

 

 

48.53

(1235).

Определить

электрические

колебания, возникающие

в конденсаторном микрофоне, описанном в задаче 48.51, при внезап-

ном

приложении постоянного давления р0

к пластине микрофона. Для

упрощения вычислений пренебречь массой подвижной пластины и счи-

тать,

что омическое сопротивление непи равно нулю; следует также

отбросить нелинейные члены в уравнениях движения.

Ответ: Рри са^>-^г заряд

конденсатора равен

 

'0й

 

 

 

 

Ро<1о

1 —

COS У

C0L\

 

call—-

 

 

 

 

 

' сСоа>

 

 

 

380



48.64 (1236). Изображенная на чертеже система

отвечает принци-

пиальной

схеме электромагнитного

датчика, используемого для записи

механических

колебаний.

Масса

якоря М,

 

 

жесткость

пружин

с.

Коэффициент самоин-

 

 

дукции

катушки

изменяется вследствие из-

 

 

менения длины воздушного зазора в магнито-

 

 

проводе L— L (х) (х —вертикальное смеще-

 

 

ние якоря из положения,

когда

пружины не

 

 

напряжены). К катушке присоединена элек-

 

 

трическая

цепь, состоящая из элемента с за-

к

з а д а ч е 48-54-

данной

э. д. с. Е. Омическое сопротивление

 

 

цепи равно R. Составить уравнения движения системы и определить

ее положение

равновесия.

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

За

обобщенные

координаты

принять

смещение х якоря и

заряд q, соответствующий

току i в цепи lj = -

 

 

 

Ответ:

Уравнения

движения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

В

«положении

равновесия»

х — х0

и

i=q~= i0, где /0 = -g-

48.55 (1237). Составить уравнения малых движений вблизи положения равновесия электромагнитного датчика, описанного в предыдущей задаче.

У к а з а н и е .

За обобщенные координаты взять изменение

заряда

е и

вертикальное

перемещение

якоря из положения равновесия £. Функцию L (к)

разложить

в

ряд L= L (xo

-|-g)=Lo + Z.1g + ... и ограничиться в

этом

ряду

первыми двумя членами.

 

 

 

Ответ: L

 

 

 

 

48.56

(1238). Основание датчика, описанного в задаче

48.54, со-

вершает

малые

вертикальные колебания по закону £= £osinarf. Опре-

делить закон движения

якоря и ток в электрической

цепи датчика.

Ответ: i=-^f-

lxi0

{R(c — Mo2) cosat +

 

 

 

•f [L^co-f L0(o(c -

Л!о>2)] sin to*},

x = M|a>3 ^_ r L ^ L o ( O 2 +

{R2 + ц ^ ( c _ M(D2}] s i n

 

где A = R2 (c - Ж©2)2

+ со2 [L\i\+ Lo (c - Mw2)f.

 

48.57 (1239). Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими полюсами А, создающего радиальное поле, и якоря массой М, опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с проволочной катушкой, состоящей из п витков, и с механическим демпфером, сопротивление которого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротивления Р); средний радиус катушки г; ее коэффициент самоиндукции L,

381


омическое сопротивление R, магнитная индукция в зазоре магнита В.

К зажимам катушки

приложено переменное напряжение V(t). Соста-

вить уравнения движения системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки

в магнита,

равны

Qq

= 2nrnBx,

Qx

= 2-K.rnBq (Qq

—электродвижущая

 

 

 

сила, индуцируемая

в

электрической цепи, а

 

 

 

Qx сила взаимодействия катушки с магнитом).

 

 

 

Ответ:Ц -f- Щ + 2кгпВх= V(f)\

 

 

 

 

 

Мх -[- §•* + сх

—2ъгпВ$=0.

 

 

 

48.58 (1240). К основанию сейсмометра

 

 

 

прикреплена

проволочная

катушка из п вит-

 

 

 

ков радиуса

г, соединенная

с электрической

К задаче 48 57.

 

регистрирующей

системой,

схематизируемой

 

цепью с коэффициентом самоиндукции

L и

 

 

 

омическим

сопротивлением R. Магнитный сердечник,

создающий

ра-

диальное

магнитное

поле, характеризуемое

в

зазоре

магнитной ин-

 

 

 

дукцией В, опирается на основание с помощью

 

 

 

пружин общей

жесткости с. На сердечник дей-

 

 

 

ствует также сила сопротивления, пропорцио-

 

 

 

нальная его скорости, вызываемая демпфером,

 

 

 

создающим

силу

сопротивления

$х. Составить

 

 

 

уравнения, определяющие перемещение сердеч-

 

 

 

ника и ток в цепи

в

случае

малых

вертикаль-

 

 

 

ных колебаний основания сейсмометра по за-

К задаче 48.58.

 

кону £= tuSin<at.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

Обобщенные

 

силы,

отвечающие

 

 

 

взаимодействию катушки и магнита, даются форму-

 

 

 

лами 'Qq = —2кгпВх

и Qxz=2TirnBq.

 

 

 

 

 

Ответ:

Мх-{-§х-\-сх

2i:rnBq

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Mit>(o3 sin o>t;

 

 

 

§

49. Интегралы движения,

 

 

 

 

 

преобразование

Рауса,

 

 

 

 

 

канонические

 

уравнения

 

Гамильтона,

 

 

 

уравнения

 

Якоби—Гамильтона,

 

 

 

 

принцип ГамильтонаОстроградского

К задаче 49.!.

 

49.1. Трубка АВ вращается спостоянной угло-

 

 

 

вой скоростью

со вокруг

вертикальной оси CD,

составляя с ней угол

о. В трубке находится

пружина жесткости с,

один конец которой укреплен в точке А; ко второму концу пружины прикреплено тело М массы т, скользящее без трения внутри трубки.

Внедеформированном состоянии длина пружины равна АО = 1. Приняв за обобщенную координату расстояние х от тела М до

точки О, определить кинетическую энергию Т тела М и обобщенный интеграл энергии.

382


К задаче 49.4.
К задаче 49.3.

Ответ: Т =

a? sin*a];

отх2 m (I+x)2

со2 sin2 a -f ex2 + 2mgco$ ax—h,

гд е ft— постоянная интегрирования.

49.2.Найти первые интегралы движения сферического маятника длиной /, положение которого определяется углами 6 и ф.

Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате г|з (интеграл моментов количества движения относительно оси z): -фsin2 6== л;

2) интеграл энергии:

;in2 8 — 2-f- cos 8= h, где

я и

 

И — ПОСТОЯННЫе интегрирования.

К задаче

49.2.'

49.3. Гироскопический тахометр уста-

 

новлен на платформе, вращающейся

с постоянной угловой

скоростью

и вокруг оси £,. Определить первые интегралы движения, если коэффициент жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей х, у, z соответственно равны А, В и С, причем В = А; силы трения на оси г собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии у пренебречь.

Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате <р (интеграл моментов количества движения относительно оси г):

ф+ и sin 8= л;

2)обобщенный интеграл энергии:

)

49.4. Материальная точка М соединена с помощью

невесомого стержня ОМ длиной / с плоским шарниром О, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью о). Определить условие устойчивости нижнего

вертикального

положения маятника, период его малых колебаний при

выведении

его

из этого

положения и обобщенный интеграл энергии.

Ответ;

1) с о а <^^-;

2) Г =

2 л

 

3)

ф2

2-|-cosf=A.

383