<fi *—азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса и проходящей через точку касания.
48.51 (1233). Конденсаторный микрофон состоит из последовательно соединенных катушки самоиндукции, омического сопротивления и конденсатора, пластины которого связаны двумя пружинами общей жесткости с. Цепь присоединена к элементу с постоянной электродвижущей силой Е, а на пластину конденсатора действует переменная сила p(t). Коэффициент самоиндукции катушки I, омическое сопротивление R, емкость конденсатора в положении равновесия системы Со, расстояние между пластинами в этом положении а, масса подвижной пластины конденсатора т.
Ввести электрические и механические обобщенные координаты и со-
ставить уравнения |
движения системы в форме Лагранжа. |
|
У к а з а н и е . 1. |
Потенциальная |
энергия конденсатора равна |
V=~- |
(С — емкость конденсатора, q — заряд |
на его обкладках); электрокинетиче- |
ская энергия вычисляется по формуле T = -K-Li3\L — коэффициент самоиндукции, i= -S~ — сила тока в цепи|.
|
2. За обобщенные |
координаты принять изменение заряда конденсатора q |
я |
смещение пружин |
из положения равновесия. Тогда полный заряд будет |
q0 |
-f- q, а полное смещение х0 -f- х; здесь q0 — заряд конденсатора, а А-,,—сме- |
щение пружин от нейтрального положения в положение равновесия системы.
|
|
Е |
аг |
|
|
' Ответ: mx-\-cx~ |
— q — т^ =р (Q; |
|
|
48.52 |
(1234). Определить частоты малых свободных колебаний |
конденсаторного |
микрофона, описанного в предыдущей задаче. Сопро- |
тивлением |
электрической |
цепи |
пренебречь. |
|
|
|
: klti=у=у ~+ -ц^ |
1 |
a*mL' |
Ответ |
|
|
|
|
|
48.53 |
(1235). |
Определить |
электрические |
колебания, возникающие |
в конденсаторном микрофоне, описанном в задаче 48.51, при внезап-
ном |
приложении постоянного давления р0 |
к пластине микрофона. Для |
упрощения вычислений пренебречь массой подвижной пластины и счи- |
тать, |
что омическое сопротивление непи равно нулю; следует также |
отбросить нелинейные члены в уравнениях движения. |
Ответ: Рри са^>-^г заряд |
конденсатора равен |
|
'0й |
|
|
|
|
Ро<1о |
1 — |
COS У |
C0L\ |
|
call—- |
|
|
|
|
|
' сСоа> |
|
|
|
48.64 (1236). Изображенная на чертеже система |
отвечает принци- |
пиальной |
схеме электромагнитного |
датчика, используемого для записи |
механических |
колебаний. |
Масса |
якоря М, |
|
|
жесткость |
пружин |
с. |
Коэффициент самоин- |
|
|
дукции |
катушки |
изменяется вследствие из- |
|
|
менения длины воздушного зазора в магнито- |
|
|
проводе L— L (х) (х —вертикальное смеще- |
|
|
ние якоря из положения, |
когда |
пружины не |
|
|
напряжены). К катушке присоединена элек- |
|
|
трическая |
цепь, состоящая из элемента с за- |
к |
з а д а ч е 48-54- |
данной |
э. д. с. Е. Омическое сопротивление |
|
|
цепи равно R. Составить уравнения движения системы и определить |
ее положение |
равновесия. |
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
За |
обобщенные |
координаты |
принять |
смещение х якоря и |
заряд q, соответствующий |
току i в цепи lj = - |
|
|
|
Ответ: |
Уравнения |
движения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
В |
«положении |
равновесия» |
х — х0 |
и |
i=q~= i0, где /0 = -g- |
48.55 (1237). Составить уравнения малых движений вблизи положения равновесия электромагнитного датчика, описанного в предыдущей задаче.
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
За обобщенные координаты взять изменение |
заряда |
е и |
вертикальное |
перемещение |
якоря из положения равновесия £. Функцию L (к) |
разложить |
в |
ряд L= L (xo |
-|-g)=Lo + Z.1g + ... и ограничиться в |
этом |
ряду |
первыми двумя членами. |
|
|
|
Ответ: L |
|
|
|
|
48.56 |
(1238). Основание датчика, описанного в задаче |
48.54, со- |
вершает |
малые |
вертикальные колебания по закону £= £osinarf. Опре- |
делить закон движения |
якоря и ток в электрической |
цепи датчика. |
Ответ: i=-^f- |
lxi0 |
{R(c — Mo2) cosat + |
|
|
|
•f [L^co-f L0(o(c - |
Л!о>2)] sin to*}, |
x = M|a>3 ^_ r L ^ L o ( O 2 + |
{R2 + ц ^ ( c _ M(D2}] s i n |
|
где A = R2 (c - Ж©2)2 |
+ со2 [L\i\+ Lo (c - Mw2)f. |
|
48.57 (1239). Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими полюсами А, создающего радиальное поле, и якоря массой М, опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с проволочной катушкой, состоящей из п витков, и с механическим демпфером, сопротивление которого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротивления Р); средний радиус катушки г; ее коэффициент самоиндукции L,
омическое сопротивление R, магнитная индукция в зазоре магнита В.
К зажимам катушки |
приложено переменное напряжение V(t). Соста- |
вить уравнения движения системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки |
в магнита, |
равны |
Qq |
= —2nrnBx, |
Qx |
= 2-K.rnBq (Qq |
—электродвижущая |
|
|
|
сила, индуцируемая |
в |
электрической цепи, а |
|
|
|
Qx —сила взаимодействия катушки с магнитом). |
|
|
|
Ответ:Ц -f- Щ + 2кгпВх= V(f)\ |
|
|
|
|
|
Мх -[- §•* + сх |
—2ъгпВ$=0. |
|
|
|
48.58 (1240). К основанию сейсмометра |
|
|
|
прикреплена |
проволочная |
катушка из п вит- |
|
|
|
ков радиуса |
г, соединенная |
с электрической |
К задаче 48 57. |
|
регистрирующей |
системой, |
схематизируемой |
|
цепью с коэффициентом самоиндукции |
L и |
|
|
|
омическим |
сопротивлением R. Магнитный сердечник, |
создающий |
ра- |
диальное |
магнитное |
поле, характеризуемое |
в |
зазоре |
магнитной ин- |
|
|
|
дукцией В, опирается на основание с помощью |
|
|
|
пружин общей |
жесткости с. На сердечник дей- |
|
|
|
ствует также сила сопротивления, пропорцио- |
|
|
|
нальная его скорости, вызываемая демпфером, |
|
|
|
создающим |
силу |
сопротивления |
$х. Составить |
|
|
|
уравнения, определяющие перемещение сердеч- |
|
|
|
ника и ток в цепи |
в |
случае |
малых |
вертикаль- |
|
|
|
ных колебаний основания сейсмометра по за- |
К задаче 48.58. |
|
кону £= tuSin<at. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Обобщенные |
|
силы, |
отвечающие |
|
|
|
взаимодействию катушки и магнита, даются форму- |
|
|
|
лами 'Qq = —2кгпВх |
и Qxz=2TirnBq. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
Мх-{-§х-\-сх |
— 2i:rnBq |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Mit>(o3 sin o>t; |
|
|
|
§ |
49. Интегралы движения, |
|
|
|
|
|
преобразование |
Рауса, |
|
|
|
|
|
канонические |
|
уравнения |
|
Гамильтона, |
|
|
|
уравнения |
|
Якоби—Гамильтона, |
|
|
|
|
принцип Гамильтона—Остроградского |
К задаче 49.!. |
|
49.1. Трубка АВ вращается спостоянной угло- |
|
|
|
вой скоростью |
со вокруг |
вертикальной оси CD, |
составляя с ней угол |
о. В трубке находится |
пружина жесткости с, |
один конец которой укреплен в точке А; ко второму концу пружины прикреплено тело М массы т, скользящее без трения внутри трубки.
Внедеформированном состоянии длина пружины равна АО = 1. Приняв за обобщенную координату расстояние х от тела М до
точки О, определить кинетическую энергию Т тела М и обобщенный интеграл энергии.
К задаче 49.4.
К задаче 49.3.
Ответ: Т = |
a? sin*a]; |
отх2 — m (I+x)2 |
со2 sin2 a -f ex2 + 2mgco$ ax—h, |
гд е ft— постоянная интегрирования.
49.2.Найти первые интегралы движения сферического маятника длиной /, положение которого определяется углами 6 и ф.
Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате г|з (интеграл моментов количества движения относительно оси z): -фsin2 6== л;
2) интеграл энергии:
;in2 8 — 2-f- cos 8= h, где |
я и |
|
И — ПОСТОЯННЫе интегрирования. |
К задаче |
49.2.' |
49.3. Гироскопический тахометр уста- |
|
новлен на платформе, вращающейся |
с постоянной угловой |
скоростью |
и вокруг оси £,. Определить первые интегралы движения, если коэффициент жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей х, у, z соответственно равны А, В и С, причем В = А; силы трения на оси г собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии у пренебречь.
Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате <р (интеграл моментов количества движения относительно оси г):
ф+ и sin 8= л;
2)обобщенный интеграл энергии:
)
49.4. Материальная точка М соединена с помощью
невесомого стержня ОМ длиной / с плоским шарниром О, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью о). Определить условие устойчивости нижнего
вертикального |
положения маятника, период его малых колебаний при |
выведении |
его |
из этого |
положения и обобщенный интеграл энергии. |
Ответ; |
1) с о а <^^-; |
2) Г = |
2 л |
|
3) |
ф2 |
—2-|-cosf=A. |