50.3. Материальная точка равномерно движется по круговой орбите на высоте И над поверхностью небесного тела радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость дви-
жения Vi и период обращения Т |
материальной |
точки *). |
Ответ: |
1) |
г>1= 1/ |
— = 1/ |
(круговая |
скорость на высоте |
Н для данного небесного тела); |
|
|
|
|
|
|
2) |
= |
2nr |
"I/ — =2я ' ,2— Здесь |
|
г —расстояние |
|
|
|
|
|
|
RVg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
g |
|
ц.— его гравита- |
от материальной точки до центра небесного тела, |
ционный параметр, £—ускорение |
силы тяжести на его поверхности. |
50.4. Пренебрегая высотой полета искусственного спутника над |
поверхностью |
небесного |
тела, определить первую космическую ско- |
рость Vi и соответствующий период Т |
обращения для Земли, Луны, |
Венеры, Марса |
и Юпитера. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vi (км/сек) |
Т {мин) |
|
v, (км/сек) |
Г (мин) |
Земля |
, |
. |
7,91 |
|
84,3 |
Марс |
, . |
3,54 |
|
101 |
Луна . . |
. |
1,68 |
|
108 |
Юпитер . |
42,6 |
, |
172 |
Венера . |
. |
7,30 |
|
87,5 |
|
|
|
|
|
50.5. На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время
находился над одним и тем же пунктом Земли? "
Ответ: # = 3 5 800 км.
50.6. Под каким углом Р пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он
движется по круговой орбите высотой Н, |
наклоненной под углом |
а |
к плоскости |
экватора? |
|
|
|
|
|
Ответ: |
1 |
sin a |
, |
где Q — угловая |
скорость |
tg p= • |
, |
|
|
cosa + QJ/(R + Hf:\x |
|
|
|
суточного |
вращения Земли и fi — ее |
гравитационный параметр. |
|
50.7. |
Точка массы |
т притягивается к неподвижному |
центру |
по |
закону всемирного тяготения F—m^, |
где |
ц — гравитационный пара- |
метр центра |
притяжения. Найти интеграл |
энергии. |
|
|
Ответ: г»2 -2-^ = /г.
50.8. Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спут-
ника его |
потенциальная энергия относительно поверхности планеты |
радиуса R равна его кинетической энергии. |
Ответ: H=R/2. |
|
50.9. |
Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную |
атмосферу, если его |
скорость на бесконечности г»оо= 10 км/сек. |
Ответ: |
г> Я5=#15 |
км/сек. |
*) Во всех задачах этой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем.
50.10. Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?
Ответ: |
vz = У2 |
^ |
— вторая |
космическая |
скорость ( ^ — первая |
космическая |
скорость). |
|
|
|
50.11. Определить |
вторую космическую скорость для Земли, Луны, |
Венеры, Марса и Юпитера. |
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t>j (км/сек) |
|
i>2 (км/сек) |
|
Земля . . |
11,2 |
Марс . . . |
5,0 |
|
Луна . . . |
2,37 |
Юпитер . . |
60,2 |
|
Венера . . |
|
10,3 |
|
|
50.12. Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол ф, определить скорость и ускорение точки *).
Ответ: « W [и« +(-J--)1]; «, =0, « v = ± c W ( g + a)f
где и = — , с = г2ф = | г X v | = const — удвоенная секторная скорость; знак плюс для силы отталкивания, знак минус —для силы
притяжения.
50.13 (751). Точка массы т движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид
Р
г = 1+е cosq)'
где р и е — параметр и эксцентриситет траектории.
чОпределить силу, под действием которой движется точка.
Ответ: |
Fq> = 0, |
Fr = — тц/r2, где \i = c2/p и с —удвоенная сек- |
торная скорость. |
|
|
|
50.14. Точка массы т притягивается к неподвижному полюсу по |
закону |
всемирного |
тяготения F=m[x/r2. |
Найти траекторию движе- |
ния точки. |
|
|
|
|
Ответ: Кривая второго порядка (коническое сечение), уравнение |
которой |
в полярных |
координатах имеет |
вид |
|
|
|
|
/• = ' •;1+е cos (<р —е) ' |
где р = |
с2/ц, |
а е |
и е —произвольные постоянные интегрирования. |
л У к а з а н и е . |
Воспользоваться ответом к задаче 50.12. |
*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы координат совпадает с центром притяжения (отталкивания).
50.15. Материальная точка движется поддействием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е < 1 . а параметр р. Зная интеграл площадей с= гг $ — 1 г х я | , определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.
50.16.В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки
вмоменты, когда она проходит апогей и перигей.
Ответ: w3 = -3 О —е)2> wn — ~з О "Ь €Т-
50.17. Зная период обращения Т спутника вокруг Земли поэллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.
Omeeffi: е — Н 1/Я-^Г.
50.18. Спутник движется около планеты радиуса R поэллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно 7 < 1 .
Ответ: |
а = 5 |
' |
:—г R- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50.19. Точка |
1 - 1-е |
(1+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движется под действием |
силы всемирного |
тяготения |
/^= /яр./га. |
Выразить |
постоянную энергии |
h (см. задачу |
50.7) |
через |
|
|
|
|
|
|
элементы |
траектории |
точки и грави- |
|
Вершшышчесного |
тационный |
параметр ц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
h — — \х/а |
для |
эллип- |
|
|
|
|
|
|
тической |
траектории |
|
(а—большая |
|
|
|
|
|
|
•полуось |
эллипса), |
/г — 0 |
для |
пара- |
|
|
|
|
|
|
болической |
|
траектории |
и |
h — p/a |
|
|
|
|
|
|
для гиперболической траектории (а— |
|
|
|
-Траектория |
вещественная |
полуось |
гиперболы). |
|
|
|
|
|
|
50.20. В |
начальный |
момент ма- |
|
|
|
|
|
|
териальная |
|
точка, |
движущаяся |
по |
|
к задаче 50.20 |
|
|
закону |
всемирного |
тяготения, |
на- |
|
|
|
|
|
|
ходилась |
в положении |
Мд |
на рас- |
стоянии г |
0 от притягивающего |
центра и имела скорость |
г>0; угол |
между |
вектором |
скорости ©0 и линией горизонта |
(касательной, про- |
веденной в точке Мй |
К окружности, центр |
которой совпадает |
с цент- |
ром притяжения) равнялся 60, а полярный угол был равен ср0. |
|
|
Определить |
эксцентриситет |
е и угол |
е между |
полярной |
осью и |
фокусной |
линией конического сечения *). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:е= |
1/ \-\--^1г, |
tg(cp0 —е)=-§-^-, |
где |
с — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
= го'0о |
cos80 —интеграл |
площадей; h = ir — 2(i/r —интеграл |
энергии. |
*) За положительное направление фокальной оси конического сечения принимается напрнвление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечеиля, к ближайшей вершине.
50.21. Определить, какую скорость надо сообщить космическому
аппарату, |
чтобы, |
достигнув |
высоты |
Н над |
поверхностью |
|
планеты |
и отделившись от последней ступени |
ракеты, он двигался |
по |
эллип- |
тической, параболической |
или |
гиперболической |
траектории. |
Радиуе |
планеты |
R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: г>0<г>2—траектория — эллипс, |
|
|
|
|
|
|
|
^о — ^'г— |
|
* |
|
парабола, |
|
|
|
|
|
|
|
г'о > |
^г — |
|
* |
|
гипербола, |
|
|
|
|
|
где 1 ) 2 = Т / |
2 |
g • |
— У |
2%—параболическая |
скорость на |
высоте Я |
(г»х — круговая |
скорость). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . Воспользоваться |
ответом к предыдущей задаче. |
|
|
50.22. В момент |
отделения |
космического |
аппарата |
от |
последней |
ступени ракеты он находился в |
точке Мо на |
высоте |
/ / = 2 3 0 км от |
поверхности Земли и имел начальную скорость |
г>0= 8,0 км]сек, при- |
чем вектор |
скорости щ |
составлял |
с |
линией горизонта |
(касательной, |
проведенной в точке Мо |
к |
окруж- |
|
|
|
|
|
|
ности радиуса г0) угол 6о =0,02 |
рад. |
|
|
|
|
I фокальная |
Определить |
постоянную |
площа- |
|
|
|
|
|
ось) |
|
|
|
|
|
|
дей с, параметр р траектории |
и |
|
|
|
|
|
|
постоянную |
энергии |
h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
с = 52 790 кмг\сек; |
р = |
|
|
|
|
|
|
=7002 км; ft = —56,6 км21сек2.
50.23.В условиях предыдущей задачи определить направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траек-
тории, |
апогей |
и |
перигей |
(макси- |
К |
задачам 50.22 и БО 23. |
мальное |
//тах |
и минимальное |
Я т ш |
|
|
|
удаление |
спутника |
от поверхности |
Земли) и |
период |
Т обращения |
спутника. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) е= <$>0—0,335 рад, где сро—начальный |
полярный угол |
радиус-вектора |
г0; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
е = 0,0649; |
|
|
|
|
|
|
3) tfma,, = 1120 |
км, |
Я т ) П = 210 км; |
|
4)Г = 98,5 мин.
50.24.При каком направлении начальной скорости космический
аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости г>0?
Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.
50.25. При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте Я от поверхности планеты радиуса R,
не пересечет |
ее поверхности? |
|
|
1RH |
|
Ответ: |
1) vl>v\(^+tf)2COS26o_^a, |
гДе ^ — круговая скорость |
для данной плане!ы на высоте Я.