скорость маховика, Г —его постоянная времени, и — управляющее напряжение, принимающее значения.± и 0 .
Определить |
длительность |
tx |
разгона (и = и0) и |
торможения |
U (а = ~ ио) маховика, если первоначально невращающийся корпус при |
неподвижном |
маховике требуется |
повернуть на заданный угол q> |
и остановить. |
Ось вращения |
маховика проходит через |
центр масс |
космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответственно равны J и Jo.
Ответ: tx = т + Т In (1 + у 1-е-т/г).
-е-^), г д е т = А .
ГЛАВА ХШ
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
|
|
§ 52. Определение условий равновесия системы. |
|
|
|
|
Устойчивость |
равновесия |
|
|
|
52.1 |
(1162). Ось вращения АВ |
прямоугольной пластины наклонена |
под |
углом а к вертикали. |
Определить |
момент |
сил М относительно |
оси |
АВ, |
который |
нужно |
приложить к пластине для ее |
поворота на |
угол Ь. Вес |
пластины Р; |
расстояние |
от центра |
тяжести |
О пластины |
до |
оси |
АВ |
равно |
а. |
|
|
|
|
|
Ответ: М = Pa sin a sinЬ.
К задаче 52.1, |
К задаче 52.2. |
52.2 (1163). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести равных однородных стержней весом р каждый, расположен в вертикальной плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, проходящей через середину АВ. Определить, какую вертикальную силу Q надо приложить в середине горизонтальной стороны, противоположной АВ, для того чтобы система находилась в безразличном равновесии.
Ответ: Q==3/?,
62.3 (1164). К однородному стержню АВ длиной 2а и весом Q, подвешенному на двух нитях длиной / каждая, приложена пара сил
смоментом М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной
горизонтали, |
находятся на расстоянии 1Ь друг |
от друга. Найти угол |
Ь, определяющий положение равновесия стержня. |
Ответ: В |
положении |
равновесия угол |
& находится из уравнения |
|
М / |
— bf—Aabsin*-i |
= |
Qabsin». |
52.4 (1165). Прямолинейный однородный стержень АВ длиной 11 упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с ней угол «р. Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене.
К задаче 52.3. К задаче 52.4. К задаче 52.5.
Гвоздь |
отстоит |
от |
стены |
на |
расстоянии |
а. |
Определить |
угол <р |
в положении |
равновесия стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Т |
у |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: sin<p = T/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
52.5 |
(1166). На |
гладкий |
цилиндр |
радиуса |
г |
опираются два одно- |
родных |
весомых |
стержня, соединенных |
шарниром А. Длина |
каждого |
стержня |
равна 2а. Определить угол 2д раствора стержня, соответ- |
ствующий положению |
равновесия. |
|
|
|
|
|
Ответ: Угол &определяется из уравнения a tg3 Ь — г tg* & — г = 0. |
52.6 |
(1167). На нерастяжимой нити, перекинутой через бесконечно |
малый блок, висит невесомый стержень, к кон- |
|
|
цам которого |
прикреплены |
грузы |
Pt |
и Р2 . |
|
о |
Длина |
стержня |
/, дл.ина нити L. Определить |
|
положения равновесия |
|
системы. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
В |
одном |
|
положении |
равновесия |
|
|
=|3 и |
= |
p"S; в другом положении равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y(L —0, |
|
|
и, наконец, в |
третьем |
положении |
равновесия |
|
|
|
У |
0 |
X |
|
( |
|
L l) |
x |
|
|
|
|
К задаче 52 6. |
Ь1П (1168). Концы однородного весомого стержня длиной I могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением f{x, y) = 0.
Определить положения равновесия стержня. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х—по горизонтали вправо.)
Ответ: Координаты концов стержня, отвечающие положениям равновесия, будут решениями системы
(*« - Xtf + 08—yif -P = 0, f (xb у&*= 0, /(*» л ) = О,
52.8 (1169). Однородный весомый стержень длиной / может скользить своими концами без трения по параболе у —ах*. Определить возможные положения равновесия. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо.)
Ответ: Первое положение равновесия:
|
|
Х |
Х |
УУ |
а1 |
|
|
Второе |
положение |
равновесия |
|
определяется из |
уравнения |
= уГд/ по формулам |
|
|
|
|
|
|
52.9 (1170). |
Решить |
задачу |
52.7 |
в |
предположении, |
что |
кривая |
|
|
( |
|
Xs |
Vs |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(•*> y) = |
—*-\-jp—1 = 01, а длина |
стержня |
удовлетворяет |
условию |
1<^2а. |
Определить возможные |
положения |
равновесия |
стержня. |
|
|
|
|
|
|
Указание . Вместо декартовых координат следует ввести координату ^ (эксцентрическую аномалию) с помощью соотношений х = a cos <p, у = Ьsinср.
Ответ: |
Положения равновесия отвечают |
значениям эксцентри- |
ческих |
аномалий, определяемым |
из уравнений: |
|
|
а) |
9i = |
2тс — tpa, sin«2 = l / |
gg (существует |
при |
l^2ly, |
б) |
sin 2L3.S1 — 1/ _ ( cos 1^-il-1 = i / |
?в |
(существует при |
и< )
52.10 (1171). По гладкому проволочному кольцу радиуса R, расположенному в вертикальной плоскости, может скользить без трения колечко А К этому колечку на нити подвешен груз весом Р; другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок В, расположенный на конце горизонтального диаметра большого кольца, имеет на конце С другой груз весом Q. Определить положения равновесия колечка А и исследовать, какие из них устойчивы, какие нет.
У к а з а н и е . Положение колечка А следует характеризовать централь-
ным углом <р=LDOA. |
Надо отдельно |
рассматривать равновесие колечка |
на верхней и нижней |
полуокружностях. |
|
Ответ: На верхней полуокружности (0<^<р<Сгс) при любых значениях Q/P существует положение неустойчивого равновесия
|
|
— -I, |
причем 0<;ср0 <>/2. На нижней полу- |
^окружности (it |
к) |
при Q / P ^ 1 |
|
существует |
положение |
устойчивого |
|
равновесия |
|
|
|
|
|
|
причем it <^ <ро <С у |
|
|
52.11 (1172). Однородная квадрат- |
|
ная пластинка может вращаться в вер- |
|
тикальной |
плоскости |
около |
оси, про- |
|
ходящей через угол О; вес пластинки Р, |
|
длина ее |
стороны а. |
К |
углу |
А пла- |
К задаче ш о . |
стинки привязана нить |
длиной |
/, пере- |
|
кинутая через малый блок В, отстоящий |
на расстоянии а по верти- |
кали |
от |
точки О. На нити висит |
груз |
веса |
Q= - £ ^ - |
Определить |
положения равновесия системы |
и |
исследовать их |
|
|
устойчивость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Положения равновесия отвечают сле- |
|
|
дующим |
значениям |
угла |
ф: |
ф1 |
= л/6, |
фа = тс/2, |
|
|
фз= |
Зя/2. Второе и третье |
положения равновесия |
|
|
устойчивы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62.12 (1173). Однородный весомый стержень |
|
|
АВ |
длиной |
2а |
опирается |
на криволинейную на- |
|
|
правляющую, |
имеющую форму |
|
полуокружности |
|
|
радиуса R. Определить, пренебрегая трением, поло- |
|
|
жение равновесия и исследовать его устойчивость. |
|
|
Ответ: В положении равновесия стержень |
|
|
наклонен |
к |
горизонтальной |
линии под |
углом <ро, |
|
|
Определяемым ИЗ уравнения |
|
|
|
|
|
|
К задаче 52.И. |
|
|
|
|
•ад' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
. |
Это по- |
_a |
s |
(предполагается, что 1/ -^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ложение |
равновесия |
устойчиво. |
|
|
|
|
|
|
|
52.13 |
(1174). |
Подъемный |
мост |
ОА |
схематиче- |
|
|
ски |
изображен |
на |
чертеже |
в виде |
однородной |
|
|
пластины |
весом Р и длиной 2а. К середине |
края |
к задаче 52.12. |
пластины |
прикреплен канат длиной /, перекинутый |
|
|
через малый блок, лежащий на |
|
вертикали |
на расстоянии |
2а над |
точкой О. Другой конец С каната |
соединен с противовесом, скользя- |
щим |
без |
трения по криволинейной направляющей. Определить |
форму |