21.6. Сверхпроводимость |
457 |
на единицу площади в формуле (21.6.29) равным eB/p. Ïðè B < Bc1 с помощью уравнения (21.6.8) можно показать, что eB/p < 1/pl2.
Поэтому коэффициент при плотности нитей N в (21.6.29) есть положительная величина πξ2 − B2λ2 , так что в этом случае WV >
WS è ïðè Â < Bc1 вихревых нитей нет. Кроме того, при таких полях WN > WS , т. е. вещество полностью сверхпроводящее. При В > Bc1 из (21.6.28) следует, что плотность нитей N = eB/p больше, чем 1/pl2, так что в вихревом состоянии магнитное поле пол-
ностью проникает в сверхпроводник, и плотность энергии дается выражениями (21.6.29) и (21.6.28):
W |
≈ N πξ2 |
= eBξ2 ≈ (B / B |
c2 |
)W |
≈ (B |
c1 |
/ B)W . |
V |
|
|
N |
|
S |
Отсюда, при Bc1 < B < Bc2 имеем WV < WN è WV < WS, так что вещество находится в состоянии вихревых нитей. При B > Bc2 âñå
åùå WV < WS, но теперь WN < WV, так что вихревые нити исчезают, и вся сверхпроводимость уничтожается. Способность сверхпроводников II рода с l . x удерживать намногî более сильные магнитные поля, чем критическое поле Bc ≈ , очень важна для
технических приложений сверхпроводимости, в частности, для разработки магнитов ускорителей на высокие энергии.
Теория Гинзбурга–Ландау применима только в случае, когда вещество находится вблизи перехода между нормальным и сверхпроводящим состояниями, поэтому применим ее для области в окрестности центра вихревой нити, где r падает до нуля. Вблизи цен-
тра нити можно пренебречь ее кривизной и предположить наличие цилиндрической симметрии. Выбираем поле A – Ñj так, чтобы
отличной от нуля была только азимутальная компонента:
просто проведя окружность вокруг вихревой нити на расстоянии, много большем l. Вместо этого необходимо обратиться к соображениям непре-
рывности (М. Тинкхэм, частное сообщение). Предположим, что мы провели произвольную непрерывную кривую между центрами любых двух вихревых нитей. Как показано ниже, на этой кривой вектор A – Ñj очень
большой вблизи каждой из нитей, но направлен в противоположные стороны на концах кривой. Поэтому есть по крайней мере одна точка на каждой такой кривой, в которой A – Ñj = 0. Посколь-ку A – Ñj калибровочно
инвариантна, она должна быть непрерывной, следовательно, существует замкнутый контур вокруг каждой вихревой нити, на котором A – Ñj = 0.
458 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
bA - Ñjgθ = A(r), |
(21.6.30) |
поэтому магнитное поле будет иметь только z-компоненту |
Bz = cÑ ´ bA - Ñjghz = A¢(r) + A(r) / r, |
(21.3.31) |
à ρ будет функцией только от r. Таким образом, структура вихре-
вой нити определяется парой зацепляющихся дифференциальных уравнений
A |
′′ |
(r) + r |
−1 |
|
′ |
|
|
−2 |
A(r) = |
|
|
A (r) − r |
|
ρ′′(r) + r−1ρ′(r) + |
1 |
F |
ρ(r) − |
ρ3 (r) |
|
|
G |
|
|
2ξ2 |
ρ 2 |
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
ρ2 (r)A(r) ,
λ2 ρ2
I
J = 4e2ρ(r)A2 (r) .
K
Если r мало по сравнению как с корреляционной длиной ξ, так и с глубиной проникновения λ, можно пренебречь теми слагаемыми в уравнениях (21.6.32) и (21.6.33), которые пропорциональны 1/ξ2 è 1/λ2, и получить упрощенные уравнения
A¢¢ + A¢ / r - A / r2 = 0 , |
(21.6.34) |
r¢¢ + r¢ / r = 4e2A2r . |
(21.6.35) |
Общее решение уравнения (21.6.34) имеет вид |
|
A(r) = |
Br |
+ |
C |
, |
(21.6.36) |
|
|
2 |
|
2er |
|
где В — константа, которая, согласно формуле (21.6.31), равна магнитному полю вдоль вихревой нити, а С — действительная постоянная, которая пока что произвольна. Подстановка решения для А в (21.6.35) показывает, что при r → 0 решение для ρ есть линейная комбинация r|C| è r–|C|. Параметр порядка ρexp(2ieφ) должен быть
гладкой функцией координат, поэтому можно сделать вывод, что |C| есть целое положительное число l, и при r → 0 ρ rl è ϕ = ±lφ/2e + const. Заметим, что это решение для ϕ согласуется
21.6. Сверхпроводимость |
459 |
с решением (21.6.36) при С = ±l; азимутальная компонента Ñj стремится к значению ±l/2er, в то время как аналитичность тре-
бует, чтобы азимутальная компонента А обращалась в нуль при r ® 0. С помощью несингулярного калибровочного преобразования можно сделать так, чтобы везде j = ±lf/2e, и, по тем же сообра-
жениям, что и при выводе формулы (21.6.12), магнитный поток, который несет отдельная вихревая нить в сверхпроводнике, размеры которого много больше глубины проникновения, равен ±pl/ e. Мы видим не только то, что, как и ожидалось, параметр порядка обращается в нуль в центре вихревой нити, но устанавливаем, что он стремится к нулю как степень r, где показатель степени равен величине магнитного потока в единицах p/e.
Это решение для j подчиняется условию «квантования», что j(2p) – j(0) есть целое кратное p/e, откуда вытекает квантование
магнитного потока. В теории с голдстоуновским бозонным и электромагнитным полями, основанной на лагранжиане (21.6.5), это условие на j должно было «руками» налагаться на решение уравне-
ний поля, в то время, как уравнения Гинзбурга–Ландау «знают» об этом условии, поскольку они основаны на соответствующем выборе параметра порядка.
* * *
Хотя наиболее существенные свойства сверхпроводников можно вывести непосредственно из предположения о спонтанном нарушении электромагнитной калибровочной инвариантности, для понимания того, как и когда это происходит, необходима микроскопическая теория сверхпроводимости. С помощью методов под- счета степеней, похожих на использованные в разделах 19.5 и 21.4, вывод микроскопической теории сверхпроводимости Бардина, Купера и Шриффера 37 был переформулирован 44,44à на языке эффективной теории поля. Для этого предположим, что мы проинтегрировали по всем степеням свободы, связанными с ионами в сверхпроводнике *, и оставили только эффективное взаимодействие между электронами. Для простоты будем считать, что температура
* Строго говоря, невозможно произвести интегрирование по всем степеням свободы, кроме электронных, поскольку фонон — это голдстоуновский бозон, частота которого обращается в нуль для очень больших длин
460 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
равна нулю, и предположим сначала, что нет внешнего поля, так что лагранжиан инвариантенÒ относительно трансляций и операции обращения времени . Предположим также, что силы не зависят от спинов, так что лагранжиан инвариантен относительно SU(2) преобразований, действующих только на спиновые индексы, однако нам не потребуется предположение об инвариантности относительно вращений, действующих на импульсы. Тогда электроны характеризуются импульсом р и спиновым индексом s = ±1 è
описываются операторами уничтожения и рождения a(p,s,t) и a†(p,s,t) с лагранжианом вида
L = −å XY d3p a
s Z
+ å z
s1s2s3s4
|
L |
∂ |
O |
|
†(p, s, t)M−i |
|
+ E(p)P a(p, s, t) |
|
∂t |
|
N |
Q |
d3p1d3p2d3p3d3p4Vs1s2s3s4 (p1, p2 , p3 , p4 )
× a†(p1, s1, t)a†(p2 , s2 , t)a(p3 , s3 , t)a(p4 , s4 , t)δ3 (p1 + p2 − p3 − p4 )
где многоточие означает слагаемые с шестью и более операторами рождения и уничтожения, а E(p) — энергия электрона за вы- четом химического потенциала. Для свободных электронов E(p) = p2/2me – EF, ãäå EF — энергия электронов на поверхности Ферми. Взаимодействия буду неизбежно изменять эту функцию, но естественно предположить, что поскольку для свободных электронов E(p) обращается в нуль при импульсах p, лежащих на сфере | p| = 2meEF , то в присутствии взаимодействий эта функция все
же будет обращатся в нуль на некоторой замкнутой ферми-по- верхности S:
E(p) = 0 для p, лежащих на S. |
(21.6.38) |
По причинам, которые станут ясными, мы проинтегрируем по всем электронам, кроме тех, которые находятся в тонкой обо-
волн, наподобие безмассовой частицы в релятивистских теориях. Однако те эффекты фононных взаимодействий, которые не могут быть представлены как эффективные электрон-электронные взаимодействия, подавлены множителями с обратными степенями масс ионов.
21.6. Сверхпроводимость |
461 |
лочке толщиной k вокруг поверхности Ферми *. (Ниже нам удастся избавиться от обрезания k путем введения перенормированно-
го электрон-электронного потенциала.) Оставшиеся степени свободы — это электроны с импульсами вида
p = k + n(k) l , |
(21.6.39) |
$ |
|
где k находится на поверхности Ферми S, n$ (k) — единичный вектор нормали к поверхности в точке k, а 0 £ l £ k. Для таких импульсов
E(p) = vF (k) l , |
|
(21.6.40) |
ãäå |
|
|
$ |
. |
(21.6.41) |
vF (k) º n(k) × dÑpE(p)i |
|
p= k |
|
Электронный пропагатор в пространстве волновых чисел и частот имеет тогда вид
|
1 |
. |
(21.6.42) |
|
|
|
w - vF (k) l + ie |
|
|
|
Рассмотрим теперь, как зависит от масштаба k произвольный связный матричный элемент при k ® 0. Для каждой петли
имеется интеграл по частотам и пропагатор для каждой внутренней линии, так что интеграл от произведения пропагаторов по всем частотам будет зависеть от l как lL–I, где L — число петель, а I — число внутренних линий. Чтобы подсчитать число интегралов по l, важно заметить, что для произвольных импульсов дельта-функ- ция в слагаемом с взаимодействием в (21.6.37) ограничивает не зна- чения l, а значения k. (Например, если сохранение импульса ограничивает импульсы р1 è ð2 двух электронных линий тем, что полный импульс P ¹ 0, то интеграл по р1 берется по пересечению двух замкнутых оболочек толщиной k, одна из которых имеет центром
* В случае сил, которые зависят от спинов, имеются две ферми-по- верхности, по одной на каждое собственное значение матрицы Es′s(p),
и мы интегрируем по всем электронам в каждом спиновом собственном состоянии, за исключением тех, которые находятся в тонкой оболочке вокруг соответствующей поверхности Ферми.