Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1477

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

502

Глава 22. Аномалии

−tr TβTγ Tα

+tr Tγ TβTα

−tr Tγ TβTα

L

trM

MN

L

trM

MN

L

trM

MN

 

p/ + a/

 

 

 

 

 

 

 

 

/

+ a/

 

 

1 + γ

5

 

O

 

 

 

γ ρ

 

p/ + k2

γ ν

 

P

 

(p + a)2 − iε

(p + k

 

+ a)2 − iε

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

p/ − k/

+ b/

 

γ ρ

 

 

p/ + b/

γ ν

1

+ γ

5

 

O

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

(p − k + b)2

− iε

(p + b)2 − iε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

P

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

p/ + b/

 

 

 

 

 

p/ + k/

+ b/

 

1 + γ

 

OU

 

 

 

γ ν

 

 

γ ρ

5

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

PV.

 

(p + b)2 − iε

 

(p + k

 

+ b)2 − iε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

P|

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

QW

В этом месте удобно разделить трехточечную функцию на симметричные и антисимметричные по групповым индексам слагаемые, записав

tr

TβTγ Tα

= Dαβγ +

iNCαβγ ,

 

 

= Dαβγ −

 

 

 

 

tr

Tγ TβTα

iNCαβγ ,

 

ãäå Dαβγ — полностью симметричная величина

 

 

Dαβγ =

tr

 

nTα , Tβ s Tγ

 

,

(22.3.12)

 

 

 

а коэффициент в структурных константах Cαβγ определяется ус-

ловием

tr TαTβ = Nδαβ .

Слагаемые, антисимметричные по групповым индексам, в общем случае не равны нулю, однако они не отвечают какому-то нарушению симметрии. Как и при выводе тождества Уорда в разделе 10.4, при формальном вычислении дивергенции матричного элемента (22.3.5) мы сталкиваемся с вкладами от производных по времени тета-функций в хронологическом произведении, равными

L

 

∂

Γμνρ

(x, y, z)O

= −iC

δ4(x − y)

j

ν

(y)jρ

(z)

 

 

 

 

M

∂

 

 

 

μ

αβγ

P

αβδ

 

 

δ

 

γ

 

VAC

N

 

x

 

Q

ôîðì

 

 

 

 

 

 

(22.3.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− iC

δ4(x − z)

j

ν

(y)j

ρ

(z)

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

αβδ

 

β

 

δ

 

VAC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.3. Прямое вычисление аномалий. Общий случай

503

Нетрудно убедиться, что антисимметричные члены в выражении (22.3.11) просто воспроизводят (22.3.13). Аномалия содержится в симметричной части выражения (22.3.11):

L

∂

 

Γmnr

(x, y, z)O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂xm

 

abg

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

Q

àíîì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

1

 

D

d4k d4k e-i(k1 +k2 )×x eik1 ×y eik2 ×z

z

d4p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2π)12

 

 

abg z

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

L

p/

−

/

+

 

a/

 

 

 

 

p/

+

a/

 

 

 

1

 

+ γ

5

 

 

O

 

 

 

×

|tr

M

 

 

k1

 

 

 

γ n

 

 

 

γ r

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

(p − k

+ a)2 − iε

 

 

(p + a)2 − iε

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

T

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

p/

+

a/

 

 

 

 

 

 

p/

 

+

/

+

a/

 

 

1

+ γ

5

 

 

O

 

 

 

 

− trM

 

 

 

 

 

γ r

 

 

 

 

 

k2

 

γ n

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(p + k2 + a)2 − iε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N(p + a)2 − iε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Q

(22.3.14)

 

 

 

 

 

 

L

p/

−

/

+

/

 

 

 

 

 

 

p/

+

/

 

 

 

 

 

 

 

+ γ

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

+ trM

 

 

k2

 

 

b

 

γ r

 

 

 

b

γ n

 

 

 

 

P

 

 

 

 

(p − k2 + b)2 − iε

 

(p + b)2 − iε

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

L

p/

+

/

 

 

 

 

 

 

p/

+

/

+

/

 

1

+ γ

5

OU

 

 

 

 

− tr

 

 

 

 

b

 

 

γ n

 

 

 

k1

 

b

γ r

 

 

|.

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(p + b)2 − iε

 

 

 

(p + k + b)2 − iε

 

 

 

 

 

 

 

2

 

PV

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QW

 

Объединяя первый след с четвертым, а второй — с третьим, можно записать это выражение в виде

L

∂

 

Γmnr

(x, y, z)O

 

 

 

=

 

 

 

1

 

 

 

 

D

d4k d4k

 

e-i(k1 +k2 )×x eik1×y

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

∂xm

abg

 

 

 

P

 

 

 

 

(2π)12

 

 

abg z

1

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

Q

àíîì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

L

γ k γ nγ l γ r

1 + γ

5

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× Str

M

 

 

 

 

P

I

kl

(a − b

− k

, b, b

+ k

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ tr

L

γ k γ nγ l

γ r

1 + γ

5

 

O

 

 

 

 

 

 

(b − a − k

, a, a + k

 

U

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

P

I

kl

 

 

)V ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

Ikl (k, c, d) ≡ z d4p

 

fkl (p + k, c, d) − fkl (p, c, d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

fkl (p, c, d) ≡

 

 

 

 

 

(p

+ c)k (p + d)l

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(p + c)2

− iε

 

(p + d)2 − iε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eik2 ×z

(22.3.15)

(22.3.16)

(22.3.17)

504 Глава 22. Аномалии

Чтобы вычислить эти интегралы, рассмотрим разложение функции fκλ(p + k, c, d) по степеням k:

∞

1

 

μ

 

 

μ

 

∂n f

 

(p, c, d)

fκλ (p + k, c, d) = å

 

k

1

. . . k

n

 

κλ

 

 

.

 

 

 

∂p

μ

1 . . . ∂p

μ

n=0 n !

 

 

 

 

 

 

 

n

Член нулевого порядка fκλ(p, c, d) в выражении (22.3.16) явно со-

кращается. Все остальные слагаемые в (22.3.16) являются интегралами от производных по р, и поэтому после виковского поворота могут быть записаны как поверхностные интегралы по большой 3- сфере, скажем, радиуса Р. Тогда n-я производная f дает поверхностный интеграл от функции, которая ведет себя как P–2–(n–1), в то время как площадь 3-сферы радиуса Р ведет себя как Р3, поэтому единственными членами, которые дают вклад при Р → ∞ , будут

члены с n = 1 и n = 2:

X

∂fκλ (p, c, d)

 

1

X

∂2 fκλ (p, c, d)

 

Iκλ (k, c, d) = kμ Y d4p

∂p

μ

+

 

kμkν Y d4p

∂p

μ

∂p

ν

. (22.3.18)

2

Z

 

 

Z

 

 

 

После прямого вычисления находим

Iκλ (k, c, d) = ip2 2kλ cκ + 2kκ dλ - kλ dκ - kκ cλ - hκλ k × (k + c + d) ,

(22.3.19)

Теперь следует отдельно рассмотреть слагаемые в следах в выражении (221 .3.15), которые возникают от 1 и от γ5 в проекционной матрице (1 + γ5). Слагаемые от 1 содержат след tr[γκγνγλγρ], который симметричен по κ è λ, а также по ν è ρ, так что интегралы

образуют комбинацию

Iκλ (a − b − k1, b, b + k1) + Iλκ (a − b − k1, b, b + k1) +Iκλ (b − a − k2 , a, a + k2 ) + Iλκ (b − a − k2 , a, a + k2 )

Используя выражение (22.3.19), нетрудно увидеть, что эта комбинация обращается в нуль, если и только если мы выберем произвольные постоянные векторы так, чтобы

a = −b.

(22.3.20)

22.3. Прямое вычисление аномалий. Общий случай

505

Кроме того, этот выбор позволяет избежать некиральной аномалии для всех трех токов, так как в выражении d¶yn iGabgμνρ(x, y, z)

векторы a и b должны быть заменены на a¢ = k2 + a è b¢ = –k2 + b, а в выражении d¶zr iGabgμνρ(x, y, z) — íà a² = k1 + a è b² = –k1 + b,

так что выбор a = –b одновременно обеспечивает выполнение равенств a¢ = –b¢ è a² = b².

У нас остается слагаемое в следе, содержащее g5. Оно полно-

стью антисимметрично:

tr

 

γ k γ nγ l γ rγ 5

 

= −4iεknlr ,

(22.3.21)

 

 

ãäå eκνλρ — полностью антисимметричный тензор с e0123 = 1. Ïîä-

ставляя это в выражение (22.3.15) с учетом b = –a находим:

L

Gmnr

(x, y, z)O

=

2

D

d4k d4k

e-i(k1 +k2 )×x

M

 

 

¶xm

abg

P

 

(2p)12

abg z

1 2

 

 

 

 

N

 

Qàíîì

 

 

 

 

 

 

 

(22.3.22)

 

 

 

 

 

´ eik1 ×y eik2 ×zp2eknlra

k

(k

+ k )

l

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

Аномалия (22.3.22) в токе

Jaμ (x)

могла бы быть устранена,

если выбрать a µ k1 + k2. Хотя такой выбор возможен, он все же

не устраняет аномалию везде; она появилась бы в

d

¶ ¶yn

Gμνρ(x, y, z)

 

 

¶ ¶zr

 

 

 

 

 

 

 

 

i

abg

èëè

d

Gμνρ(x, y, z) . Симметрия задачи указывает, что аномалия

 

 

i

abg

 

 

 

d

¶ ¶yn

Gμνρ(x, y, z) , åñëè

 

 

будет

отсутствовать

â

и только если

 

 

 

 

 

 

 

 

i

abg

 

 

 

 

(k2 + a) – (–k2

+ b) µ k1, или иначе, если a + k2 µ k1, и будет

отсутствовать в

d

¶ ¶zr

Gμνρ(x, y, z) , если и только если (–k + a) –

 

 

 

 

 

 

i abg

 

 

 

 

 

1

(k + b) µ k или иначе, если a – k

µ k . Можно выбрать aμ òàê,

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

чтобы удовлетворить любым двум из этих условий, так что аномалия может быть устранена из любых двух токов, однако очевидно, что при непараллельных k1 è k2 невозможно одновременно удов-

летворить всем трем условиям a µ k1 + k2, a + k2 µ k1 è a – k1 µ k2. (Например, из первых двух условий следует, что a = –k1 – k2

в противоречии с третьим условием.)

Поэтому мы приходим к выводу, что хотя у нас и есть некоторая свобода в выборе того, какой из токов содержит аномалию, но необращение в нуль величин Dαβγ определенно показывает,что аномалия есть по крайней мере в одном из токов Jaμ (x) , Jbν (y) èëè

Jgρ (z) . В этом заключается один из главных результатов проделан-

ных вычислений, который будет использован в следующем раз-

Смотрите также файлы