Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1474

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
(x, y, z)

506 Глава 22. Аномалии

деле как источник ограничений на содержание полей материи в калибровочных теориях.

Мы видели, что вычисление аномалий зависит от выбора вектора сдвига aμ. К сожалению, нет ни одного выбора, который

был бы удовлетворителен во всех отношениях, так что мы должны выбирать aμ в соответствии с конкретными особенностями рас-

сматриваемой задачи.

В одном классе очень важных задач Jaμ (x) — ток глобальной симметрии, а Jbν (y) è Jgρ (z) — токи калибровочных симметрий, т. е.

токи, с которыми связаны калибровочные поля. (Мы рассматривали подобную задачу в предыдущем разделе.) В таких случаях мы должны выбрать aμ так, чтобы аномалия содержалась только в Jaμ (x), íî íå â Jbν (y) èëè Jgρ (z) . Как было показано, для этого требуется, чтобы a + k2 k1 è a – k1 k2, что приводит к единственному

выбору

L ∂ M ∂ m N x

a = k1 – k2.

(22.3.23)

Если принять такое значение aμ, то аномалия (22.3.22) равна

Γmnr(x, y, z)O

 

=

 

2

 

D

 

d4k d4k

 

e-i(k1 +k2 )×xeik1 ×y eik2 ×z

 

 

 

 

 

2

abg

P

 

 

(2π)12

abg z

 

1

 

 

Q

àíîì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× 4π2εknlrk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

(22.3.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

1k

2l

 

 

 

 

 

 

= −

1

 

D

εknlr ∂δ4 (x − y) ∂δ4 (z − x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π2

abg

 

 

∂yk

∂zl

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим попутно, что подобный результат может возникнуть только в теориях, включающих безмассовые частицы 7à. В противном случае можно ожидать, что фурье-образ Γabgμνρ

имеет разложение в степенной ряд в окрестности нулевого импульса. Единственные члены в этом разложении, которые могли бы привести к дивергенции тока вида (22.3.24), —это псевдотензоры первого порядка по импульсам

L

∂

 

Γabgmnr (k1`

O

≡ z d4yd4z e-ik1

×y e-ik2 ×z

 

Γabgmnr (0, y, z)

 

 

 

 

M

 

 

, k2 )P

 

 

∂x

m

N

 

Q

àíîì

 

 

 

 

 

 

 

 

àíîì

 

 

 

 

 

= εmnrs

 

A

k

+ B k

2s

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

abg

1s

abg

 

 

 

22.3. Прямое вычисление аномалий. Общий случай

507

ãäå Aαβγ è Bαβγ — константы. Согласно уравнению (22.3.24)

(k

+ k

)

μ

 

Γμνρ

(k

, k

)

 

 

=

i

D

εκνλρk

k

2λ

,

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

αβγ

1`

2

 

 

àíîì

 

4π2

αβγ

1κ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òàê ÷òî

i

Aαβγ − Bαβγ = 4π2 Dαβγ .

Однако из симметрии амплитуды по трем токам слпедует, что

Aαβγ k1σ + Bαβγ k2σ = −Aαγβk2σ − Bαγβk1σ = −Aγαβ (−k1σ − k2σ ) − Bγαβk2σ ,

так что, приравнивая коэффициенты при k1σ è k2σ, получаем:

Aαβγ = −Bαγβ = Aγαβ , Bαβγ = −Aαγβ = Aγαβ − Bγαβ .

Беря разность этих уравнений, находим, что

Aαβγ − Bαβγ = Aαγβ − Bαγβ = Bγαβ .

Так как эта разность пропорциональна Dαβγ, то должна выполняться полная симметрия, поэтому Bαβγ, а следовательно, и Aαβγ,

полностью симметричны. Но тогда условия симметрии трехточеч-

ной функции имеют вид А = –В = В – А, откуда следует, что Aαβγ = Bαβγ = 0 в противоречии с выражением (22.3.24). По тем же

соображениям, невозможно сократить аномалию, добавив во вза-

Рис. 22.2. Однопетлевые диаграммы для аномалии в токе, отмеченном пунктирной линией. Сплошные линии — фермионы, волнистые линии — калибровочные бозоны, с которыми взаимодействуют фермионы

508

Глава 22. Аномалии

имодействие локальное слагаемое, вклад которого в дивергенцию тока Jαμ сократит ту дивергенцию, которая дается выражением

(22.3.24).

Возвращаясь теперь к формуле (22.3.24), мы можем выразить этот результат через среднее по вакууму тока Jαμ в присутствии калибровочных полей, связанных с токами Jβν è Jγρ . Вклад треуголь-

ных диаграмм в ток в присутствии калибровочных полей равен

áJαμ (x)ñ = - z d4 yd4zGαβγμνρ(x, y, z)Aβν (y)Aργ (z) .

(22.3.25)

Используя выражение (22.3.24), видим, что этот вклад имеет аномальную дивергенцию

á¶μ Jαμ (x)ñ

 

 

= -

1

 

Dαβγ eκνλρκ Aβν (x)¶λ Aργ (x) .

(22.3.26)

 

 

 

àíîì

8p

2

 

 

 

 

 

 

На рис. 22.2 показаны дополнительные диаграммы, также содержащие аномалии. Калибровочная инвариантность требует, что диаграммы рис. 22.2 должны складываться и приводить к калибровоч- но инвариантному результату

á¶μ Jαμ (x)ñ

 

 

= -

1

 

Dαβγ eκνλρFκνβ (x)Fλργ (x) .

(22.3.27)

 

 

 

àíîì

32p

2

 

 

 

 

 

 

Для проверки, рассмотрим теорию с сохранением фермионов с генераторами Tα вида (22.3.4). Константа Dαβγ в аномалии (22.3.26) да-

ется выражением

 

=

1

 

{tαL , tβL } tγL

 

- tr

 

{tαR , tβR } tγR

 

Dαβγ

tr

 

 

(22.3.28)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Конкретнее, в разделе 22.2 мы вычисляли дивергенцию аксиаль-

íîãî òîêà Jμ ñ tL = –tR º t за счет взаимодействий калибровочных

5

 

 

 

 

 

 

полей с векторными токами Jβν è Jγρ (обозначенными в разделе 22.2

êàê Jνα è Jβρ ) ñ tβL = tβR = tβ

и аналогично для tγ. Следовательно, в

данном случае Dαβγ заменяется на tr[{t, tβ }tγ ] = tr[{tβ , tγ }t] и выраже-

ние (22.3.27) принимает вид

 

 

 

á¶μ J5μ (x)ñ

 

 

= -

 

1

tr[{tβ , tγ } t] eκνλρFκνβ (x)Fλργ (x) (22.3.29)

 

 

 

 

 

àíîì

32p2

 

 

 

 

 

22.3. Прямое вычисление аномалий. Общий случай

 

 

 

509

Когда ни с одним из токов J

μ

(

x ,

J

ν

(y)

èëè

J

ρ

(z) не связано

 

α

)

 

β

 

 

 

γ

 

какое-то калибровочное поле, выбор вектора сдвига aμ становит-

ся вопросом удобства. Когда некоторые (но не все) токи связаны со спонтанно нарушенными симметриями, можно полностью сохранить ненарушенные симметрии, если выбрать aμ так, чтобы в

токах, соответствующих ненарушенным симметриям, не было аномалий. (Это соображение будет важными в разделе 22.7.) Например, в квантовой хромодинамике и подобных теориях, где генераторы Tα глобальных симметрий типа киральной SU(3) × SU(3)

имеют вид (22.3.4), все токи являются либо векторами, соответствующими ненарушенным симметриям, причем tαR = tαL , ëèáî àê-

сиальными векторами, соответствующими нарушенным симметриям, причем tαR = −tαL . Из соотношения (22.3.28) следует, что

единственными треугольными диаграммами с аномалиями в этом случае будут либо диаграммы с одним аксиальным и двумя векторными токами, либо диаграммы с тремя аксиальными токами.

В случае одного аксиального и двух векторных токов мы выбираем aμ так, чтобы не возникала аномалия, интерферирующая с сохранением векторных токов. Следовательно, если Jαμ (x) — аксиальный ток, а Jβν (y) è Jγρ (z) — два векторных тока, то, как и в (22.3.23), мы должны выбрать aμ = k1μ − k2μ , так что аномалия будет

определяться выражением (22.3.24). С другой стороны, в случае трех аксиальных токов нет оснований требовать, чтобы любой из них был свободен от аномалий. Вместо этого естественно придать вектору aμ такое значение, которое не нарушает симметрии между

тремя токами. На основании лоренц-инвариантности можно попробовать выбрать a = αk1 + βk2, ãäå α è β — константы. Тогда из

симметрии будет следовать, что импульс каждой внутренней линии должен равняться р плюс произведение α на импульс, вытекающий с конца линии, плюс произведение β на импульс, вытека-

ющий с начала линии. Иначе говоря, если мы положим a = αk1 +

βk2, то симметрия требует, что a – k1 = –α(k1 + k2) + βk2 è a + k2

= αk2 – β(k1 + k2). В случае непараллельных k1

è k2 ýòè òðè ñîîò-

ношения удовлетворяются, если и только если

α = –β = 1/3, òàê

÷òî

 

 

 

a =

1

(k1 − k2 ) .

(22.3.30)

 

3

 

 

510

Глава 22. Аномалии

Подставляя это в формулу (22.3.22) и сравнивая с выражением (22.3.23), видим, что аномалия в аксиальном токе в фейнмановской амплитуде для трех аксиальных токов равна одной трети от той, которая была бы в случае одного аксиального и двух векторных токов.

Дивергенция тока содержит дополнительные аномалии от диаграмм рис. 22.2. Калибровочная инвариантность здесь не помогает, поскольку даже вклад треугольной диаграммы не приводит к сохраняющимся токам. Полная аномалия была вычислена Бардиным8 для киральной SU(3) × SU(3) симметрии сильных взаимодействий,

причем векторы сдвига по импульсу были выбраны так, что векторные токи сохранялись, а диаграммы только со всеми аксиальными токами были симметричны по этим токам. Хотя в квантовой хромодинамике такая SU(3) × SU(3) симметрия (действующая не на

цвета, а на ароматы кварков) не является калибровочной, удобно выразить аномалию как нарушение калибровочной инвариантности функционала Γ[V,A] фиктивных слабо связанных калибровочных полей: октета векторных полей Vaμ (x) и октета аксиальных полей Aaμ (x). Введем также бесконечно малые операторы калибровочных

преобразований *

iYa (x) = −

∂

 

 

 

 

δ

 

− fabcVbμ (x)

 

δ

 

 

− fabcAbμ (x)

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22.3.31)

∂xμ δV

 

δV

 

(x)

δA

cμ

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aμ

 

 

 

 

cμ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iXa (x) = −

 

∂

 

 

 

δ

− fabcVbμ (x)

 

 

δ

 

 

 

− fabcAbμ (x)

 

δ

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22.3.32)

∂xμ

 

δA

aμ

δA

cμ

(x)

δV

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cμ

 

 

 

 

 

ãäå fabc — структурные константы SU(3). Как отмечалось выше, выбор импульсов внутренних линий сделан так, что векторный ток не содержит аномалии:

YaΓ[V, A] = 0 ,

(22.3.33)

* Здесь операторы Ya è Xa — те же, что в работе 8 обозначались Xa è Ya. Такое изменение обозначений сделано для того, чтобы сохранить согласованность с обозначениями гл. 19, где генераторы нарушенной симметрии последовательно обозначались Xa.

Смотрите также файлы