Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

но при этом аномалии появляются в аксиальных токах

Как уже объяснялось, появление множителя 1/3, сопровождающего второе слагаемое в правой части формулы (22.3.34), есть следствие разного выбора aμ в AVV и AAA диаграммах. В разделе

22.6 мы опишем условия согласованности, благодаря которым, зная квадратичные члены, можно вычислить кубичные и четвертичные члены в выражении (22.3.34).

Для аномалий, включающих симметрии, которые все спонтанно нарушены, нет оснований выбирать aμ так, чтобы отличать

разные токи. Наоборот, естественно пометить импульсы внутренних фермионных линий таким способом, который симметричен относительно прикрепленных линий калибровочных бозонов. Как мы видели, это означает, что2 треугольная диаграмма должна вычисляться при выборе a = (k1 – k2). При этом вклад треугольной аномалии становится равным 1/3 значения, даваемого выражением (22.3.26). С учетом квадратных и пятиугольных диаграмм этот результат принимает вид 8à

ãäå Aμ ≡ AαμTα . Мы не станем выводит эту формулу, поскольку уже знаем, что в таких случаях квадратичные по Aμ члены равны

одной трети от соответствующих членов в (22.3.26), а в разделе 22.6 мы сумеем с помощью условий согласованности вывести выражения для остальных слагаемых в формуле (22.3.38), исходя из квадратичных слагаемых.

Теперь следует рассмотреть возможные поправки к этим результатам. Тщательный вывод аномалии во всех порядках теории возмущений был сделан Адлером и Бардиным 9. Ниже мы приводим только суть их анализа.

Рассуждения, которые привели к выражению (22.3.22), можно повторить в любом порядке теории возмущений и показать, что в общем случае аномалия возникает от интегралов в импульсном пространстве, которые можно записать как поверхностные члены. Отсюда, как мы уже видели в формуле (22.3.18), единственные диаграммы для дивергенции тока, которые дают вклад в анома-лию, — это те, у которых интеграл по импульсу, циркулирующему по фермионной петле, имеет размерность (в степенях импульса) нуль или больше. Взаимодействия фермионов в петле с виртуальными калибровоч- ными бозонами уменьшило бы размерность интеграла по импульсу в фермионной петле в степени, достаточной для устранения аномалии. Поэтому вклад в аномалию от таких радиационных поправок отсутствует. (Конечно, интеграл по импульсам виртуальных калибровочных бозонов, а также по фермионной петле имел бы неотрицательную размерность, но в противоположность фермионному пропагатору можно регуляризовать пропагаторы калибровочных бозонов, не нарушая обсуждаемую киральную симметрию.) На аномалию влияют взаимодействия калибровочных бозонов, прикрепленных к фермионной петле, с другими калибровочными бозонами и

фермионными петлями, но такие взаимодействия сводятся к перенормировке операторов типа εκνλρFκνβ (x)Fλργ (x). По тем же соображе-

ниям, любая фермионная масса, не нарушающая обсуждаемые симметрии (если такое было бы возможным), не изменяла бы аномалию, поскольку извлекаемые из этой массы множители понижали бы размерность интеграла в импульсном пространстве.

Последнее замечание предыдущего абзаца поднимает вопрос, можем ли мы вычислить аномалию, не зная всех фермионов в теории — как тяжелых, так и легких или безмассовых. Да, мы можем это сделать. Сейчас мы покажем, что ни один фермион,

которому данная симметрия позволяет иметь массу, не дает вклада в аномалию для этой симметрии. В рассматриваемом здесь общем классе теорий массовое слагаемое в плотности лагранжиана имело бы вид

ãäå σ — двухкомпонентный спинорный индекс представления (1, 0) группы Лоренца; εσσ′ — антисимметричная матрица с ε ,− = +1,

необходимая для лоренц-инвариантности, а М — симметричная массовая матрица *. Далее, для того, чтобы слагаемое Lìàññ не нарушало калибровочную инвариантность, массовая матрица должна удовлетворять условию

Индекс n можно заменить на индекс r, отмечающий различные неприводимые представления калибровочной группы, и индекс s, отмечающий компоненты внутри каждого неприводимого представления, так что

Тогда выражение (22.3.40) принимает вид

* В теориях с сохранением числа фермионов, где χ имеет вид (22.3.1), М

связана с обычной массовой матрицей m:

Если принять все фазы инверсий равными единице, то из инвариантности относительно пространственной инверсии, зарядового сопряжения и отражения времени вытекают дальнейшие следствия, что матрица m эрмитова, симметрична или действительна.

(Здесь нет суммирования по r или r¢.) Из леммы Шура 10 следует,

что всякий раз, когда матрицы пары неприводимых представлений связаны таким соотношением, та матрица, которая связывает их, либо равна нулю, либо несингулярна (см. раздел 5.5.). Таким образом, либо M(r,r′) = 0, ëèáî –Tα(r)T è Tα(r′) связаны преобразованием подобия (это же относится к Tβ è Tγ). В последе-

нем случае вклады в константу аномалии (22.3.12) от фермионов, принадлежащих отдельным неприводимым представлениям r и r¢, связаны соотношением

так что аномалия либо исчезает (при r = r¢), или вклады в нее от двух представлений сокращаются (при r ¹ r¢). Таким образом, на

аномалии в данном множестве симметрий не оказывает влияния возможное наличие фермионов с массами, разрешенными этими симметриями.

* * *

Вернемся к тонкому месту в использовании фейнмановских правил для расчета трехточечной функции (22.3.7). Используя стандартный фермионный пропагатор (22.3.9), мы фактически удвоили число фермионных полей; в дополнение к чисто левым полям c(x),

задаваемым формулами (22.3.1), пропагатор (22.3.9) включает правые моды (не связанные с полями (1 – g5)y теорий с сохранением

числа фермионов), не взаимодействующие с калибровочными полями. Если собрать эти невзаимодействующие правые поля и взаимодействующие левые поля в единый спинор Y, то плотность лагранжиана фермионов станет равной −ΨD/ Ψ, где теперь

Однопетлевой вакуумный функционал для полей спина 1, взаимодействующих с реальными или фиктивными калибровочными