Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

представлений, так что всегда можно найти решение (22.5.6) с l(r,s,k) = 0 для всех представлений SU(2)L × SU(2)R × U(1)V с нетривиаль-

ным r, за исключением случая, когда r есть фундаментальное представление, s — тривиальное представление и k = 1, для которого мы полагаем l = 1. К сожалению, такое решение совершенно неоднозначно — существует бесконечное число способов воспроизведения аномалий лежащей в основе фундаментальной теории.

В случае произвольных n и N обычно можно найти много решений уравнений (22.5.5) и (22.5.6), но есть случаи, когда решений нет. Для таких теорий можно придти к выводу, что SU(n)L × SU(n)R × U(1)V симметрия должна быть частично или полностью

спонтанно нарушена. Этот вывод имеет особенно интересные приложения к квантовой хромодинамике, поэтому сосредоточимся на случае SU(3) калибровочной группы.

Конкретнее, ограничимся представлениями с k = 1 и`mL =`mR = 0,

которые можно построить только из трех фермионов и без антифермионов. Эти представления таковы *:

(a) r — симметричный SU(n) тензор третьего ранга; s — тривиальное представление;

(b) r — антисимметричный SU(n) тензор третьего ранга; s — тривиальное представление;

(c) r —SU(n) тензор третьего ранга со смешанной симметрией; s — тривиальное представление;

(d) r — симметричный SU(n) тензор второго ранга; s — SU(n) вектор;

(e) r — антисимметричный SU(n) тензор второго ранга; s — SU(n) вектор;

(f) r — SU(n) вектор; s — симметричный SU(n) тензор второго ранга;

(g) r — SU(n) вектор; s — антисимметричный SU(n) тензор второго ранга;

(h) r — тривиальное представление; s — симметричный SU(n) тензор третьего ранга;

(i) r — тривиальное представление; s — антисимметричный SU(n) тензор третьего ранга;

* Ниже все SU(N) векторы и тензоры считаются контравариантными.

В общем случае оно допускает большое количество безмассовых связанных состояний при ненарушенной киральной симметрии. ′Ò

Хофт предложил также условие расцепления, которое требует, что когда один или более сортов элементарных фермионов становятся очень тяжелыми, не должно быть ненарушенных киральных симметрий, препятствующих частицам, содержащим тяжелые элементарные фермионы, приобретать массы. Например, в случае SU(3) цветовой калибровочной группы, если мы придадим одному из n сортов кварков большую массу, то те трехфермионные связанные состояния, которые содержат единственный массивный кварк, будут реализовывать представления (r′,s′) группы SU(n – 1) × SU(n – 1) следующих типов:

(v) r′ — симметричный SU(n – 1) тензор второго ранга; s′ — триви-

альное представление;

(w) r′ — антисимметричный SU(n – 1) тензор второго ранга; s′ —

тривиальное представление; (x) r′ è s′ — SU(n) векторы;

(y) r′ — тривиальное представление; s′ — симметричный SU(n – 1)

тензор второго ранга;

(z) r′ — тривиальное представление; s′ — антисимметричный

SU(n – 1) тензор второго ранга.

Для того, чтобы трехфермионное массовое состояние приобрело большую массу, необходимо, чтобы l′(r′,s′) = 0, ãäå l′(r′,s′) — кратность появления неприводимого1 представления (r′,s′) среди свя-

занных состояний спиральности + минус кратность появления того1 же представления среди связанных состояний спиральности – . Изучив список трехфермионных представлений (a)–(j) группы SU(n) × SU(n), чтобы увидеть, какие представления SU(n – 1) ×

SU(n – 1) они включают, мы получаем, что условие расцепления ′т Хофта требует, чтобы *

* В сохраняющем четность случае, изученном ′т Хофтом, четвертое и

пятое уравнения тождественны первому и второму, а третье тождественно обращается в нуль.