Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

22.6. Условия совместности

Численный коэффициент, возникающий в аномалии для любой симметрии, зависит от того, какие частицы материи содержатся в теории. С другой стороны, форма аномалии определяется условиями совместности, которые впервые были получены Вессом и Зумино в 1971 г.

Даже в тех случаях, когда нас интересуют аномалии в токах глобальных симметрий, для вывода условий совместности удобно представить, что все токи симметрий связаны с калибровочными полями, которые в случае неабелевых симметрий связаны, кроме того, друг с другом, таким образом, что эти симметрии становятся локальными симметриями плотности лагранжиана. Всегда можно вернуться к глобальной симметрии, считая, что соответствующая калибровочная константа связи становится бесконечно малой. Если не принимать во внимание аномалий, то эффективное действие Γ[A] в фоновом калибровочном поле Aαμ(x) будет в таком формализ-

ме инвариантным относительно инфинитезимальных преобразова-

íèé Aβμ (y)→Aβμ (y) + izd4x εα (x)Tα (x)Aβμ (y) калибровочного поля, где

с целью воспроизведения преобразования (15.1.9) следует взять

Если учесть аномалии, то теперь Tα(x) уже не обращает Γ[A] â

нуль, а вместо этого

ãäå Gα[x; A] представляет эффект аномалии. Формулу (22.6.2) можно

также записать как формулу для ковариантной дивергенции среднего значения тока:

à Dμ — калибровочно инвариантная производная (15.1.10), взятая

в присоединенном представлении с (tβ)γα = -iCαβγ.

Условия совместности Весса–Зумино следуют из коммутационных соотношений *

Из формул (22.6.2) и (22.6.5) выводим общее условие совместности

Tα (x)Gβ [y; A] − Tβ (y)Gα [x; A] = iCαβγ δ4 (x − y)Gγ [y; A] . (22.6.6)

Эти условия были впервые выведены Вессом и Зумино для киральной SU(3) × SU(3) симметрии сильных взаимодействий —

случая, представляющего не только физический, но и исторический интерес. Здесь генераторы Tα(x), действующие на калибровоч-

ные поля, состоят из генераторов с положительной четностью Ya(x), определенных формулой (22.3.31), и генераторов Xa(x) с отрицательной четностью, определенных в (22.3.32) **. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

ãäå fabc — структурные константы SU(3). Так как SU(3) подгруппа, генерируемая операторами Ya, спонтанно не нарушена, удобно

* Множитель –i был включен в (22.6.1) для того, чтобы обеспечить стандартный множитель +i, сопровождающий структурную константу Cαβγ

в этом коммутационном соотношении. Напоминание: мы используем базис алгебр Ли, в котором структурные константы полностью антисимметрич- ны, и поэтому не должны различать верхние и нижние калибровочные индексы.

** Еще одно напоминание: как отмечалось в разделе 22.3, используемые здесь генераторы Xa è Ya в работе [8] назывались, соответственно, Ya è Xa.

рассматривать интегрирование по импульсам фермионов таким образом, чтобы сохранить инвариантность относительно генерируемых этими операторами калибровочных преобразований, так что

Ya (x)Γ = 0 ,

При этом остается ненулевая аномалия

Xa(x)Γ = Ga(x) .

Поэтому нетривиальные условия совместности принимают вид

Ya (x)Gb (y) = iδ4 (x − y)fabcGc (x)

è

Xa(x)Gb(y) − Xb(x)Ga(y) = 0 .

Первое из них просто утверждает, что Ga(x) преобразуется как октет относительно обычных SU(3) преобразований. Второе условие накладывает другие сильные ограничения на Ga(x). Читатель может проверить, что это условие удовлетворяется при подстановке формулы Бардина (22.3.34) для Ga(x). Мы не будем входить в детали, а вместо этого рассмотрим в качестве иллюстрации произвольную калибровочную теорию, в которой все токи рассматриваются симметричным образом. Для этого случая в разделе 22.3 была приведена формула (22.3.8) для аномалии, но в ней не были выведены члены более высокого, чем второй, порядка по калибровоч- ным полям. Здесь мы покажем, что эти члены диктуются условиями совместности (22.6.6).

Для этого, а также для возможных последующих обобщений, очень удобно переформулировать систему условий совместности Весса–Зумино как условие инвариантности относительно описанных в разделе 15.7 БРСТ преобразований. Введем гостовское поле ωα и определим нильпотентный БРСТ оператор для произвольной

калибровочной теории равенствами

понимая при этом, что s удовлетворяет дистрибутивному закону s(AB) = (sA)B ± A(sB), причем знак отрицателен, если А — фермионная величина типа ωα, и положителен во всех остальных случа- ях. Вместо функции аномалии Gα[x;A] будем работать с функциона-

ëîì

=z d4xz d4yωα (x)ωβ (y) − Cαβγ δ4 (x − y)Gγ [x; A]

+iTβ (y)Gα [x; A] .

Так как поля гостов антикоммутируют друг с другом, это можно записать в виде

sG[ω, A] = − 21 z d4xz d4 yωα (x)ωβ (y)

× iCαβγ δ4 (x − y)Gγ [x; A] + Tβ (y)Gα [x; A] − Tα (x)Gβ [y; A] .

Отсюда следует, что условие совместности (22.6.6) будет выполнено, если и только если для всех гостовских полей ωα(x) G[ω;A] ÿâ-

ляется БРСТ инвариантом:

Рассмотрим теперь возможность, что аномалия G[ω;A] ìî-

жет быть записана как БРСТ оператор s, лействующий на локальный функционал F[A]: