Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

538 Глава 22. Аномалии

взятыми с точностью до слагаемых, которые могут быть записаны как действие s на некоторый взятый с точностью до производных локальный функционал с гостовским числом нуль. Это называется когомологией оператора s с гостовским числом единица в пространстве локальных функций, взятых с точностью до производных, и обозначается H1(s|d).

Для нахождения когомологии БРСТ оператора s и последующего вывода формы аномалии в произвольных калибровочных теориях были использованы алгебраические методы 19. В этом подходе неизвестными остаются только постоянные коэффициенты, зависящие от того, какие поля материи входят в теорию, и подлежащие расчету методами разделов 22.2 или 22.3. Так как мы уже вы- числили слагаемые в аномалии второго порядка по калибровочным полям для произвольных калибровочных теорий, включая постоянные коэффициенты, используем теперь условие совместности (22.6.12) для вычисления слагаемых высших порядков по полям.

В разделе 22.3 было показано, что когда все токи рассматриваются симметрично, слагаемые второго порядка по калибровоч- ным полям составляют одну треть от выражения (22.3.26). Это оператор массовой размерности четыре, и поскольку условие совместности Весса-Зумино (22.6.6) связывает только операторы оди-

наковой размерности, для того, чтобы удовлетворить этому условию, нужно добавить только такие члены более высокого порядка по калибровочному полю, которые имеют такую же размерность. Поэтому мы ищем решение условий совместности в (не обязательно единственном) виде

+ ic2Aκ ¶νAλ Aρ + ic3Aκ Aν¶λ Aρ - c4Aκ AνAλ Aρ } ,

(22.6.13) ãäå Aμ ¹ AαμTα, à ci — константы, которые нужно определить.

Чтобы значительно сберечь силы, удобно переписать это выражение на языке дифференциальных форм (см. раздел 8.8). Введем множество с-числовых параметров dxμ, которые считаются ан-

тикоммутирующими сами с собой и всеми фермионными полями, такими, как поля духов wα. Тогда dxμ антикоммутируют и с БРСТ

оператором s. Так как dxκdxνdxλdxρ — полностью антисимметрич-

ная величина, ее можно записать как

dxκ dxνdxλdxρ = εκνλρd4x, d4x = dx0dx1dx2dx3 . (22.6.14)

Введем также внешнюю производную

d ≡ dxμ ∂ ∂μ , x

Поскольку производные коммутируют, внешняя производная нильпотентна и антикоммутирует с s:

Наконец, вводим антикоммутирующие величины

В этих обозначениях выражение (22.6.13) принимает вид

Для того, чтобы удовлетворить условию совместности (22.6.10), заметим, что правила БРСТ преобразования (22.6.7) и (22.6.8) можно записать как

Далее, БРСТ преобразование последнего члена в формуле (22.6.17) имеет вид

540 Глава 22. Аномалии

sTr wA4 = Tr w2A4 - w{A, w}A3 + wA{A, w}A2

- wA2{A, w}A + wA3{A, w} + слагаемые с wdwA3

= Tr w2A4 + слагаемые с wdwA3 .

Других вкладов в sG, пропорциональных Tr[w2A4], нет, поэтому

условие совместности (22.6.10) может быть удовлетворено только, если с4 = 0. Прямое вычисление с учетом с4 = 0 приводит к выражению

+c1 wdAdwA - wdAAdw

+c2 wdwdAA - wAdAdw

+c3 wdwAdA - wAdwdA

-c1 wAdwA2 + wdwA3 + wdAA2w

-c2 wA2dwA - wAdwA2 + wAdAdw

-c3 -wA3dw + wA2dwA + wA2dAwt .

Нам не нужно предполагать, что подынтегральное выражение обращается в нуль. Достаточно считать, что оно есть производная некоторой локальной функции, так что интеграл от нее равен нулю. Это условие должно по-отдельности удовлетворяться для слагаемых, содержащих как две, так и одну производные, поскольку между слагаемыми с разным числом производных никакое сокращение невозможно.

Нетрудно проверить, что слагаемые в подынтегральном выражении, содержащие только одну производную, имеют вид dF, если принять с1 = –ñ2 = +ñ3 ¹ с. Оставшиеся слагаемые собираются

в полную производную, если взять с = –1/2, что подтверждает ранее упомянутый результат (22.3.38). Часто полученный результат записывают более компактно в виде

Аномалия не обязательно должна быть записана в форме (22.6.13), так что выражение (22.6.20) не является единственным результатом для G[ω,A]. Приведенные в следующем разделе результаты

показывают, что для любой подгруппы Н группы G, для которой Tr{ti{tj,tk}} = 0 для всех генераторов Н, в действие можно добавить локальные слагаемые, так, что аномалия Gi исчезает, когда ti — любой генератор Н.

Для построения решения условий совместности существует элегантный алгебраический прием, известный как уравнения спуска Сторы–Зумино. 18à Описание этого метода в пространстве-време- ни любого четного числа измерений ничуть не сложнее, чем в че- тырехмерном пространстве-времени, так что выберем размерность пространства-времени равным 2n. Для начала следует представить, что к 2n координатам пространства и времени добавлены еще по меньшей мере две переменные, так, чтобы придать смысл (2n + 2)-

òàê ÷òî ñëåä TrFn+1 замкнут:

dTrFn+1 = (n + 1)Tr{(dF)Fn } = Tr{[A, Fn+1 ]} = 0 . (22.6.23)

Если только расширенное пространство-время односвязно, то согласно теореме Пуанкаре форма Tr{Fn+1} точна, в том смысле, что существует (2n+1)-форма Ω2n+1 (известная как форма Черна–Сай-

монса), для которой