Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

ãäå Ft ≡ tF + (t − t2 )A2 . Вычисление интеграла (22.6.30) показывает,

что в случае четырех пространственно-временных измерений формула (22.6.20) дает для G[ω,A] результат, пропорциональный z Ω14 .

Можно продолжить этот спуск и вывести ряд других полезных результатов. В частности, из формулы (22.6.27) и нильпотентности s следует, что d(sΩ22n−1) = 0, так что по теореме Пуанкаре sΩ22n−1 имеет вид dΩ32n−2, и интеграл от Ω22n−1 по 2n–1 координатам

Такие БРСТ инвариантные функционалы второго порядка по гостовским полям являются кандидатами 18b в так называемые швингеровские члены 18ñ.

Интересующие нас сейчас швингеровские члены возникают как аномальные1 слагаемые Sαβ(x,y) в коммутационных соотношени-

ях временных компонент двух токов симметрии при равных временах:

(В этом разделе все операторы берутся в один и тот же момент времени t, который мы ниже не будем указывать явно.) Из антисимметрии коммутатора имеем Sαβ(x,y) = – Sβα(y,x), так что вся информация о Sαβ(x,y) содержится в функционале

Заметим, что в общем случае Sαβ(x,y) зависит от различных полей материи и калибровочных полей, так что S[ω] вообще говоря зависит как от этих полей, так и от поля духов ωα(x).

Образуя коммутатор выражения (22.6.32) с третьим током Jγ0 (z), сворачивая с ωα(x)ωβ(y)ωγ(z), интегрируя по x, y, z и используя

тождество Якоби, находим:

Действие БРСТ оператора s на функционалы от полей материи и калибровочных полей типа Sαβ(x,y) эквивалентно калибровочному преобразованию с параметром преобразования ωα, òàê ÷òî

sSαβ (x, y) = i z d2n−1z ωγ (z)J0γ (z), Sαβ (x, y) .

Вспоминая формулу (22.6.8), находим, что функционал (22.6.33) является БРСТ инвариантом:

Кроме того, добавляя в токи определенные слагаемые, можно изменить S[ω] на слагаемые вида sT[ω], так что множество возмож-

ных швингеровских членов, которые нельзя устранить добавлением слагаемых в токи, дается когомологией БРСТ оператора с духовым числом два, т. е. БРСТ инвариантными функционалами S второго порядка по духовому полю, которые сами не имеют вида sT. Из выражения (22.6.31) следует, что кандидатом на такой функционал является z Ω22n−1.

* * *

Проведенный до сих пор в этом разделе анализ аномалий, строго говоря, применим только к аномалиям в однопетлевом приближении. Правда, теория с однопетлевыми аномалиями в токах,

ñкоторыми связаны квантовые калибровочные поля, несостоятельна, и поэтому не нуждается в исследовании в высших порядках. Однако обратное неверно: если теория с квантовыми калибровочными полями свободна от аномалий в однопетлевом приближении, необходимо еще показать, что аномалии отсутствуют и в высших порядках. Кроме того, нет ничего противоречивого в теориях

ñаномалиями в глобальных симметриях, например, в киральных симметриях квантовой хромодинамики, и в этих случаях мы должны установить, влияют ли на эти аномалии поправки высших порядков.

Поскольку БРСТ преобразования действуют на поля нелиней-

но, то даже в отсутствие аномалий у нас нет оснований полагать, что эффективное действие G[ω,A] будет БРСТ инвариантным вне

рамок однопетлевого приближения. Как мы видели в разделе 17.1,

вне этих рамок следует рассматривать функционалы не только от калибровочных и духовых полей, но и от их антиполей. (Введение антиполей иногда важно и в однопетелевом приближении, но по другой причине: локальный функционал только от полей, удовлетворяющий условиям совместности Весса–Зумино и не выражаемый как БРСТ-оператор, действующий на локальный функционал только от полей, не будет кандидатом на аномалию, если его можно выразить как антискобку действия с локальным функционалом полей и антиполей, поскольку в этом случае аномалию можно сократить путем вычитания такого слагаемого из действия. Это соответствует изменению действия полей одновременно с изменением калибровочной симметрии, которой подчиняется это действие.)

Оказывается, что изучение аномалий с антиполями, вклю- ченными в действие, также может быть выражено на языке когомологий 20, 21. Анализ этой проблемы основан на принадлежащей Зинн-Жюстену версии (17.1.10) уравнения, которое Баталин и Вилковыский назвали мастер-уравнением. В отсутствие аномалий (Γ, Γ) = 0, так что в однопетлевом приближении (S, Γ1) = 0, ãäå S

— действие нулевого порядка, а Γ1 — однопетлевой вклад в кван-

товое эффективное действие. При наличии аномалий мы вместо этого имеем

ãäå G1 — некоторый функционал полей и антиполей, который должен имет гостовское число единица, т. к. S и Γ1 имеют гостов-

ское число нуль. Предполагается, что действие удовлетворяет классическому мастер-уравнению (S, S) = 0, так что антискобоч- ная операция в формуле (22.6.35) нильпотентна и поэтому (S, Γ1)

= 0. Однако, если для какого-то локального функционала F1 с гостовским числом нуль G1 = (S, F1), мы можем сократить аномалию в однопетлевом порядке, вычитая слагаемое F1 (рассматриваемое как квантовая поправка порядка $) из действия, а следовательно, из Γ1. (Конечно, G1 = (S, Γ1), но при наличии безмассовых частиц Γ1 не является локальным функционалом.)

Таким образом, кандидаты в аномалии — такие локальные функционалы G1 с духовым числом единица, которые замкнуты в том смысле, что они удовлетворяют