ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1464
Скачиваний: 2
552 |
Глава 22. Аномалии |
Как отмечалось в предыдущем разделе, до тех пор, пока для генераторов подгруппы ненарушенной симметрии след Tr[Ti{Tj,Tk}] обращается в нуль (как это имеет место для некиральных генераторов SU(3) × SU(3)), всегда можно добавить к действию локальный
функционал, так, чтобы удовлетворить условию (22.7.6).
Если предположения (22.7.5) и (22.7.6) выполнены, всегда можно найти решение аномальных тождеств Славнова–Тейлора (22.7.1):
Γ[ξ, A] = −iz1 dtz ξb (y)Gb [y; A−tξ ]d4 y, |
(22.7.7) |
0 |
|
ãäå [A−tξ (x)]μ есть результат действия на Aμ ≡ TβAμβ калибровоч- ного преобразования (15.1.17) с Λa = -tξa è Λi = 0:
[A−tξ (x)]μ = expb−itXaξa (x)gAμ (x) expbitXaξa (x)g
− i∂μ expb−itXaξa (x)g expbitXaξa (x)g . (22.7.8)
В противоположность случаю, когда аномалии были у ненарушенных симметрий, формулы (22.7.7) и (22.7.8) определяют локальный (хотя и сложный) функционал калибровочных полей и полей голдстоуновских бозонов. Любое другое решение уравнения (22.7.1) будет отличаться от приведенного на функционал, свободный от аномалий.
Наметим доказательство 24 того, что действие (22.7.7) удовлетворяет уравнению (22.7.1). Вместо того, чтобы иметь дело с локальным генератором Tβ(x), удобно ввести произвольную функцию ηβ(x) и определить
T [η] = z d4x ηβ (x)Tβ (x) . |
(22.7.9) |
Чтобы вычислить T[η]ξb(x), введем матрицу
η−tξ (x) ≡ expb−iXaξa (x)tg η(x) + T [η] expbiXaξa (x)tg ≡ [η−tξ (x)]β Tβ ,
(22.7.10)
ãäå η(x) ≡ ηβ(x)Tβ. Тогда
22.7. Аномалии и голдстоуновские бозоны |
553 |
∂
∂t η−tξ (x) = −i Xaξa (x), η−tξ (x) + ibT [η]ξa (x)gXa ,
òàê ÷òî
T [η]ξb (x) = −i |
∂ |
[η−tξ (x)]b + iCaγbξa (x)[η−tξ (x)]γ . (22.7.11) |
|
||
|
∂t |
|
Чтобы найти T[η]Gb[y,A], применим T[η] к калибровочному полю, и
после прямого вычисления получим, что
T [η][A−tξ (x)] = eT A [η−tξ ]Aμ (x)jA→ A , |
(22.7.12) |
− tξ
так что, используя условие совместности (22.7.5),
T [η]Gb [y; A−tξ ] = z d4x[η−tξ (x)]γ dTγA (x)Gb [y; A]iA→ A− tξ
= z d4x[η−tξ (x)]a dTbA (y)Ga [x; A]iA→ A− tξ (22.7.13) + iCγba [η−tξ (y)]γ Ga [y; A−tξ ] .
Слагаемые со структурными константами в формулах (22.7.11) и (22.7.13) сокращаются, и в результате
1 |
4 R |
L ∂ |
O |
|
|
|
T [η]Γ[ξ, A] = z0 dtz d yS−M |
|
[η−tξ (y)]b P Gb [y; A−tξ ] |
|
|||
∂ |
|
|||||
|
T |
N |
t |
Q |
U |
|
−i[η−tξ (y)]a eT [ξ]Ga [y; A]A→ A− tξ j |
(22.7.14) |
|||||
V . |
|
|||||
|
|
|
|
|
W |
|
Другое непосредственное вычисление показывает, что
∂ |
[A−tξ (x)]μ = idT A (ξ)Aμ (x)i |
, |
(22.7.15) |
|
|||
∂t |
A→A− tξ |
|
|
так что слагаемые в подынтегральном выражении в (22.7.14) складываются, образуя производную по t:
554 |
Глава 22. Аномалии |
|||||||
|
T [η]Γ[ξ, A] = −z01 dtz d4 y |
∂ |
o[η−tξ (y)]b Gb [y; A−tξ ]t |
|
||||
|
∂ |
|
||||||
|
= −z d4y |
|
|
t |
(22.7.16) |
|||
|
|
[η−tξ (y)]b Gb [y; A−tξ ] |
|
t=1 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
t=0 . |
|
||||
|
|
|
|
|||||
При t = 1 имеем
η−ξ (x) = expb−iXaξa (x)g η(x) + T [η] expbiXaξa (x)g .
Из выражения (22.7.4) видно, что это есть линейная комбинация генераторов подгруппы Η ненарушенной симметрии, так что коэффициент [η–ξ(y)] у любого генератора Xb нарушенной симметрии об-
ращается в нуль. Кроме того, из формул (22.7.10) и (22.7.8) немед-
ленно следует, что при t = 0 η–tξ(y) = η(y) è [A–tξ(y)]μ = Aμ(y), òàê
что из выражения (22.7.16) вытекает, что
T [η]Γ[ξ, A] = z d4 y[η0 (y)]b Gb[y; A0 ] = z d4 y ηb(y)Gb[y; A] , (22.7.17)
Совместно с условием (22.7.6) это эквивалентно желаемому результату (22.7.1), что и требовалось доказать.
Решение (22.7.7) уравнения 922.7.1) не единственно, однако является единственным решением, обращаюшимся в нуль при x = 0. Чтобы увидеть это, заметим, что
exp |
−iz ηβ (x)Tβ (x)d4x |
Γ[ξ, A] = Γ[ξ′, A′], |
(22.7.18) |
где штрихи указывают на калибровочное преобразование с калибровочным параметром ηβ. Здесь удобно представить экспонен-
òó â âèäå
exp(z) = 1 |
+ z1 dt exp(zt)z |
||||
|
|
|
0 |
|
|
так что из формул (22.7.1) и (22.7.18) следует: |
|||||
Γ[ξ, A] − iz1 exp |
|
−itz ηβ (x)T Aβ (x)d4x |
|
z ξb (y) Gb [y; A]d4y |
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
(22.7.19) |
= Γ[ξ′, A′]. |
|
|
|||
|
|
|
|||
22.7. Аномалии и голдстоуновские бозоны |
555 |
В частности, если взять ηa = –ξa è ηi = 0, тогда ξ′a = 0, è â ýòîì
случае, по предположению, правая часть в выражении (22.7.19) обращается в нуль, а следовательно мы приходим к формуле
Γ[ξ, A] = −iz01 exp itz ξa (x)TaA (x)d4x z ξb (y) Gb [y; A]d4y .
(22.7.20) Функциональный оператор exp[it z ξa (x)TaA (x)d4x] в формуле
(22.7.20) просто порождает калибровочное преобразовнаие (15.1.17) с калибровочным параметром Λβ(x) = –tξa(x), так что формулу
(22.7.20) можно записать в виде (22.7.7).
Решение (22.7.7) можно применить для изучения электрослабых взаимодействий октета псевдоскалярных голдстоуновских бозонов, однако она имеет важные приложения и для взаимодействий самих голдстоуновских бозонов в отсутствие реальных калибровочных полей. В случае, когда А = 0, выражение (22.7.8) становится «чисто калибровочным» полем
|
|
|
A−tξ (x) |
μ = −i |
|
|
|
∂μ exp(−itXaξa (x)) |
|
exp(itXaξa (x)) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
(22.7.21) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= −i |
|
∂μ Vbtξ(x)g |
|
V−1btξ(x)g , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
Vbtξ(x)g ≡ exp(−itXaξa (x)) . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(22.7.22) |
|||||||||
Åñëè Aμ |
x |
= |
0 |
, из уравнения (22.7.1) вытекает, что |
|
||||||||||
α |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tβ (x)Γ[ξ,0] = 0 , |
(22.7.23) |
||||
так что в результате подстановки (22.7.21) в (22.7.7) получается G- инвариантный локальный функционал поля голдстоуновских бозонов ξa(x), хотя, как мы увидим, в общем случае он не равен интегралу по пространству-времени от G-инвариантной функции ξa(x) è
его производных.
Простейшим примером является случай полностью нарушенной группы симметрии. В этом случае условие (22.7.6) ничего не дает, и мы можем использовать для аномалии симметричную форму (22.3.38):