Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

3.Найдите решение условий подбора аномалий ′т Хофта (22.5.5)

и (22.5.6) для случая n = 4 сортов кварков. Найдите решение для случая n = 2, отличное от приведенного в тексте.

4.Выведите уравнение Зинн-Жюстена из квантового мастеруравнения, не предполагая S = 0.

Список литературы

1.Steinberger, J., Phys. Rev., 76, 1180 (1949). См. также: Finkelstein, R.J., Phys. Rev., 72, 415 (1949); Fukuda, H. and Miyamoto, Y., Prog. Theor. Phys., 4, 347 (1949); Schwinger, J., Phys. Rev., 82, 664 (1951); Rosenberg, L., Phys. Rev., 129,

2786 (1963). Грубая оценка этой вероятности распада была сделана еще до экспериментального обнаружения π0 â ðàáî-

òå: Sakata, S. and Tanikawa, Y., Phys. Rev., 57, 548 (1940).

2.Sutherland, D.G., Nucl. Phys., B2, 433 (1967).

3.Veltman, M., Proc. Roy. Soc., A301, 107 (1967).

4.Bell, J.S. and Jackiw, R., Nuovo Cimento, 60A, 47 (1969). Cм. также: Jackiw, R., in Lectures on Current Algebra and its Applications (Princeton Press, Princeton, 1972).

5.Adler, S., Phys. Rev., 177, 2426 (1969). Cм. также: Adler, S., in

Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory – 1970 Brandeis University Summer Institute in Theorethical Physics, eds. S. Deser, M. Grisaru, and H. Pendleton (MIT Press, Cambridge, MA, 1970), Vol. I.

6.Fujikawa, K., Phys. Rev. Lett., 42, 1195 (1979).

6a. Atiyah, M.F. and Singer, I.M., Proc. Nat. Acad. Sci., 81, 2597 (1984).

7.Alvarez-Gaumè, L. and Ginsparg, P., Ann. Phys., 161, 423 (1985).

8.Bardeen, W.A., Phys. Rev., 184, 1848 (1969).

8a. См., например, работу: Zumino, B., Wu, Y.-S., and Zee, A., Nucl. Phys., B239, 477 (1984).

9.Adler, S.L. and Bardeen, W.A., Phys. Rev., 1517 (1969).

10.См., например: Georgi, H., Lie Algebras in Particle Physics

(Benjamin–Cummings, Reading, MA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

10a. Atiyah, M.F. and Singer, I.M., [6a]; Zumino, B., in Relativity, Groups and Topology II, eds. B.S. de Witt and R. Stora (North– Holland, Amsterdam, 1984); Alvarez-Gaumè L. and Ginsparg, P.,

[7]; Bardeen, W. and Zumino, B., Nucl. Phys., B244, 421 (1984); Stora, R., in Progress in Gauge Field Theory, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Alvarez, O., Singer, I., and Zumino, B., Comm. Math. Phys., 96, 409 (1984); Alvarez-Gaumè

L. and Ginsparg, P., Nucl. Phys., B262, 439 (1985); Zumino, B., Nucl. Phys., B253, 477 (1985); Bismut, J.M. and Freed, D.S., Commun. Math. Phys., 106, 159 (1986); 107, 103 (1986); Freed, D.S., Commun. Math. Phys., 107, 483 (1986).

10b. Witten, E., Phys. Lett., 117B, 324 (1982).

11.Gross, D.J. and Jackiw, R., Phys. Rev., 96, 477 (1969).

12.Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev., D6, 429 (1972).

13.Mehta, M.L., J. Math. Phys., 7, 1824 (1966); Mehta, M.L. and Srivastava, P.K., J. Math. Phys., 7, 1833 (1966).

13a. Сокращение аномалий в четырехкварковой версии стандартной электрослабой теории было показано в работах: Bouchiat, C., Illiopoulos, J., and Meyer, Ph., Phys. Lett., 38B, 519 (1972); Weinberg, S., in Fundamental Interactions in Physics and Astrophysics, eds. G. Iverson et al. (Plenum Press, New York, 1973), p. 157.

14.Georgi, H., in Particles and Fields — 1974, ed. C. Carlson (Amer. Inst. of Physics, New York, 1975).

15.Delbourgo, R. and Salam, A., Phys. Lett., 40B, 381 (1972); Eguchi, T. and Freund, P., Phys. Rev. Lett., 37, 1251 (1976). См. также: Nielsen, N.K., Grisaru, M.T., Romer, R., and van Nieuwenhuizen, P., Nucl. Phys., B140, 477 (1978); Perry, M.J., Nucl. Phys., B143, 114 (1978); Hawking, S.W. and Pope, C., Nucl. Phys., B146, 381 (1978); Christensen, S.M. and Duff, M.J., Phys. Lett., 76B, 571 (1978); Critchley, R., Phys. Lett., 78B, 410 (1978); Hanson, A.J. and Romer, R., Phys. Lett., 80B, 58 (1978). Обзор см.: Eguchi, T.б Gilkey, P.B., and Hanson, A.J., Phys. Rep., 66, 213 (1980). В случае 4n + 2 измерений существует и аномалия в дивергенции тензора энергии-импульса; см.: Alvarez-Gaumè , L. and Witten,

E., Nucl. Phys., B234, 269 (1984).

16.'t Hooft, G., lecture given at the Cargè se Summer Institute, 1979, in Recent Developments in Gauge Theories, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1980). См. также: Dimopoulos, S., Raby, S., and Susskind, L., Nucl. Phys., B173, 208 (1980); Coleman, S. and Witten, E., Phys. Rev. Lett., 45, 1000 (1980); Frishman, Y., Schwimmer, A., Banks, T., and Yankielowicz, S., Nucl. Phys., B177, 157 (1981); Zee, A., Univ. of Pennsylvania report, 1980 (unpublished); Barbieri, R., Maiani, L., and Petronzio, R., Phys. Lett., 96B, 63 (1980); Farrar, G., Phys. Lett., 96B, 273 (1980); Chanda, R. and Roy, P., Phys. Lett., 99B, 453 (1981).

16a. Weinberg, S. and Witten, E., Phys. Lett., 96B, 59 (1980).

17.Preskill, J. and Weinberg, S., Phys. Rev., D24, 1059 (1981).

18.Wess, J. and Zumino, B., Phys. Lett., 37B, 95 (1971).

18a. Stora, R., in Progress in Gauge Field Theory, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Zumino, B., in Relativity, Groups and Topology II, eds. B.S. de Witt and R. Stora (Elsevier, Amsterdam, 1984), p. 1293; Mañes, J. and Zumino, B., Commun.

Math. Phys., 102, 157 (1985).

18b. Faddeev, L.D., Phys. Lett., 145B, 81 (1984); Zumino, B., Nucl.

Phys., B253, 477 (1985).

18c. Schwinger, J., Phys. Rev. Lett., 3, 296 (1959).

19.Dixon, J.A., unpublished preprints (1976–1979); Commun. Math. Phys., 139, 495 (1991); Brandt, F., Dragon, N., and Kreuzer, M., Nucl. Phys., B322, 224 (1990); Dubois-Violette, M., Henneaux, M., Talon, M., and Vialett, C.M., Phys. Lett., B289, 361 (1992); Dubois-Violette, M., Talon, M., and Vialett, C.M.,

Phys. Lett., B158, 231 (1985); Commun. Math. Phys., 102, 105 (1985); Mañes, J. and Zumino, in Supersymmetry and its

Applications: Superstrings, Anomalies, and Supergravity, eds. G.W. Gibbons, S.W. Hawking, and P.K. Townsend (Cambridge University Press, Cambridge, 1986).

19a. См., например: Georgi, H., [10], уравнение 11.9 в гл. XXV.

20.Stora, R., in New Directions in Quantum Field Theory and Statistical Mechanics — Lectures at the 1976 Cargèse Summer School, eds. M. Lévy and P. Mitter (Plenum, New York, 1977).

21.Dixon, J.A., [19].

22.Barnich, G. and Henneaux, M., Phys. Rev. Lett., 72, 1588 (1994); Barnich, G., Brandt, F., and Henneaux, M., Commun. Math. Phys., 174, 57, 93 (1995).

23.Troost, W., van Nieuwenhuizen, P., and Van Proeyen, A., Nucl. Phys., B333, 727 (1990).

24.Я узнал об этом доказательстве от проф. Б. Зумино (частное сообщение).

25.Witten, E., Nucl. Phys., B223, 422 (1983).

26.Chu, C.-S., Ho, P.-M., and Zumino, B., Nucl. Phys., B475, 484 (1996).

23

Протяженные полевые конфигурации

Бо1льшая часть этой книги была посвящена применениям квантовой теории поля, которые могут быть, по меньшей мере, описаны в рамках теории возмущений, независимо от того, приводит ли ряд теории возмущений к хорошим или плохим численным результатам. При использовании теории возмущений мы разлагаем действие в окрестности обычных, не зависящих от пространственновременных координат, вакуумных значений полей, оставляя старшие квадратичные слагаемые в экспоненте exp(iI) и рассматривая все слагаемые более высокого порядка как малые поправки. Начиная с середины 1970-х годов растущий интерес стали вызывать эффекты, возникающие из-за наличия протяженных, зависящих от про- странственно-временных координат, полевых конфигураций, таких, как инстантоны 1, которые также являются стационарными «точками» действия. В принципе, такие конфигурации следует включать в функциональные интегралы, и суммировать по флуктуациям вокруг них. (В разделе 20.7 мы уже столкнулись в другом контексте с примером инстантонной конфигурации.) Хотя такие непертурбативные вклады часто сильно подавлены, в квантовой хромодинамике они велики, а в стандартной электрослабой теории приводят к интересным экзотическим явлениям.

Существуют и такие протяженные конфигурации, которые возникают не только как поправки к функциональным интегралам для процессов с участием обычных частиц, но и как возможные компоненты реальных физических состояний. Среди этих конфигураций встречаются частицеподобные, например, магнитные монополи 2 и скирмионы 3, которые концентрируются вокруг точки в пространстве или, эквивалентно, вокруг мировой линии в простран-

стве-времени. Существуют также струноподобные конфигурации 4, напоминающие обсуждавшиеся в разделе 21.6 вихревые нити в сверхпроводниках, которые концентрируются вокруг линии в пространстве или, эквивалентно, вокруг мирового листа в пространстве-вре- мени. Наконец, имеются похожие на листы в пространстве конфигурации типа доменных стенок 5 между пространственными областями, в которых по-разному нарушаются дискретные симметрии. В противоположность этому, упомянутые выше инстантоны являются событие-подобными и концентрируются вокруг точки в пространстве-времени, так что поэтому они никогда не возникают как компоненты реальных физических состояний.

Некоторые протяженные полевые конфигурации устойчивы изза граничных условий, накладываемых физической природой той задачи, в которой эти конфигурации возникают. Примером может служить решение–«баунс», возникающее при анализе распада вакуума 6, которое мы обсудим в разделе 23.8. Другие конфигурации стабильны по той причине, что они обладают квантовым числом, сохранение которого запрещает любые возможные моды распада 7.

В большей части этой главы мы будем рассматривать протяженные полевые конфигурации, устойчивые за счет их топологии. При анализе всех подобных конфигураций используются топологи- ческие приемы и рассуждения, прежде всего, теория гомотопий, так что мы начнем с совместного рассмотрения всех топологически стабилизированных конфигураций в пространстве или пространствевремени произвольного числа измерений d.

23.1. Применения топологии

Часто случается, что пространство всех возможных полевых конфигураций обретает нетривиальную топологию в результате наложения условия конечности некоторого функционала S различ- ных полей. В классической полевой теории S есть потенциальная энергия (или, в некоторых случаях, потенциальная энергия, приходящаяся на единицу площади или единицу длины). Никакое конечное возмущение не может породить конфигурацию, в которой потенциальная энергия бесконечна. В классической статистической механике S — гамильтониан, а в квантовой теории поля, сформулированной в евклидовом пространстве, S — евклидово действие

или величина, ему пропорциональная. (Евклидовы функциональные интегралы и некоторые их применения обсуждаются в приложении А к этой главе.) Mы будем строить теорию возмущений, начав с некоторой равновесной полевой конфигурации, для которой евклидово действие или гамильтониан конечны, а затем проинтегрируем по флуктуациям, оставляющим эти величины конечными.

Говорят, что две полевых конфигурации топологически эквивалентны, если возможно непрерывно продеформировать одну из них в другую, не проходя при этом через запрещенные конфигурации, в которых S бесконечно. Очевидно, что это — отношение эквивалентности (в том смысле, что оно рефлективно, симметрично и транзитивно), поэтому оно разделяет множество всех полевых конфигураций на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из конфигураций одинаковой топологии. Например, если S — потенциальная энергия (гамильтониан в случае независящих от времени полей) в случае d пространственных измерений, то бесконеч- ный потенциальный барьер запрещает топологически различным полевым конфигурациям переходить друг в друга. В частности, протяженные конфигурации с нетривиальной топологией, возникающие из обычно пространственно однородных вакуумных полей, не могут расплыться и сами стать пространственно однородными.

Топологическая классификация оказывается полезной и при поиске локального минимума S. Если нам удается найти конфигурацию, минимизирующую S на множестве всех конфигураций данного топологического типа, тогда эта полевая конфигурация должна быть, по крайней мере, локальным минимумом S для всех конфигураций любого типа, поскольку никакие малые вариации полей не могут изменить их топологический тип. Поэтому подобная конфигурация является решением полевых уравнений, эквивалентных условию, что S стационарно. Проблемы подобного сорта возникают не только в задачах устойчивости, когда S — гамильтониан, ни и при поиске тех полевых конфигураций, в окрестности которых можно разлагать полевые переменные в функциональных интегралах в евклидовом d-мерном пространстве-времени. В этом случае S есть взятое с обратным знаком евклидово действие I, и мы должны искать его локальный минимум, так чтобы главный член в разложении вокруг этой конфигурации представлял квадратичное действие свободного поля, а члены второго порядка имели бы правильный знак.