Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1465

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

556

 

 

 

 

Глава 22. Аномалии

Ga [x; A] =

i

εκνλρTr{Ta

 

∂κ Aν (x)∂λ Aρ (x) −

i∂κ Aν (x)Aλ (x)Aρ (x)

 

 

 

24π2

 

 

 

 

+ iAκ (x)∂νAλ (x)Aρ (x) − iAκ (x)Aν (x)∂λ Aρ (x) } ,

(22.7.24) где теперь Τα — конкретное представление генераторов группы,

реализуемое левыми фермионами теории (включая антифермионы, если это различие существенно). Подставляя (22.7.21) в (22.7.24), находим, что в этом случае в следе в формуле (22.7.24) после свертки с εκνλρ выживают только члены, пропорциональные

TroTa (∂κ V)V−1(∂νV)V−1(∂λ V)V−1(∂ρV)V−1t ,

с коэффициентами –1, +1, –1 и +1, соответственно. Поэтому решение (22.7.7) принимает вид

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ[ξ,0] = −

 

εκνλρ z d4yξa (y) z0 dtTrnTa

 

 

 

∂κ Vbtξ(y)g

 

 

 

 

48π2

 

 

 

 

× V−1btξ(y)g

 

∂νVbtξ(y)g

 

V−1btξ(y)g

 

∂λ Vbtξ(y)g

 

 

(22.7.25)

 

 

 

 

 

 

V−1btξ(y)g

 

∂ρVbtξ(y)g

 

(22.7.28)

×

 

 

V−1btξ(y)g} .

Как и утверждалось, это выражение не есть интеграл от инвариантной функции полей и их производных. Например, если поля голдстоуновских бозонов малы, формула (22.7.25) принимает вид

Γ[ξ,0]

= −

1

 

εκνλρTr T T T T T

d4yξ

 

∂

 

ξ

 

∂

 

ξ

 

∂

 

ξ

 

∂

 

ξ

 

 

 

a

κ

b

ν

c

λ

d

ρ

e

 

2

 

 

240π

l a b c d eqz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22.7.26)

 

+ O(ξ6 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Любая функция ковариантных производных полей голдстоуновских бозонов будет содержать член низшего порядка по полям, который просто будет произведением частных производных голдстоуновских полей, и поэтому такая функция не может содержать член низшего порядка вида (22.7.26).

В качестве практически более важного примера рассмотрим SU(3) × SU(3) киральную ситмметрию квантовой хромодинамики

22.7. Аномалии и голдстоуновские бозоны

557

с безмассовыми кварками u, d и s, которая спонтанно нарушена до диагональной SU(3) подгруппы Гелл-Манна и Неемана. Чтобы использовать результаты данного раздела, мы должны пометить внутренние импульсы в интегралах по фермионным петлям так, чтобы векторные токи диагональной SU(3) подгруппы были свободны от аномалий. В этом случае аномалия принимает форму Бардина (22.3.34):

G

[V, A] =

in

εμνρσTrRt

LV

V

+

1

A

A

−

32

 

A A A A

σ

 

 

 

 

a

16π2

S

a M μν

ρσ

μν

ρσ

μ ν ρ

 

T

N

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OU

 

(22.7.27)

 

+

 

 

i(Aμ AνVρσ + Aμ Vρσ Aν

+ Vρσ Aμ Aν PV ,

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QW

 

 

ãäå Vμ, Aμ, Vμν è Aμν определены формулами (22.3.35)–(22.3.37), ta здесь равняется половине матриц Гелл-Манна λa, определенных

формулами (19.7.2), а n — число типов («цветов») кварков каждого сорта (аромата). (Мы теперь используем строчную букву t для матриц, представляющих генераторы группы, поскольку в этом следе суммирование ведется только по левым кваркам, но не по левым антикваркам.) Для чисто калибровочного поля типа (22.7.21) напряженности Vμν è Aμν обращаются в нуль, так что, додставляя (22.7.27)

в (22.7.7), находим аномальное эффективное действие голдстоуновских бозонов

 

2n

1

 

Γ[ξ,0] = −

 

εμνρσ z0 dtz d4x Troξata

[A−tξ ]μ [A−tξ ]ν [A−tξ ]ρ [A−tξ ]σ t .

3π2

где теперь «A» обозначает не векторное, а аксиальное калибровоч- ное поле. Чтобы найти [A–tξ]μ, используем формулу (22.7.21), кото-

рая в данном случае имеет вид

[V−tξ (x)]μ + γ 5 [A−tξ (x)]μ = −i ∂μ expb−itγ 5taξa (x)g expbitγ 5taξa (x)g .

(22.7.29)

Умножая на (1+ γ5)/2 è (1− γ5)/2 и беря разность, находим акси-

альное слагаемое

558

Глава 22. Аномалии

[A−tξ (x)]μ = −

+

= 1 2

ãäå

1

i

 

∂μ exp(−itξata )

 

exp(itξata )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

i

 

∂μ exp(itξata )

 

exp(−itξata )

(22.7.30)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i exp(itξata )U−1(tξ(x))

 

∂μU(tξ(x))

 

exp(−itξata ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

U(tξ) ≡ expb2itaξatg .

(22.7.31)

После подстановки в формулу (22.7.28) находим эффективное аномальное действие

Γ[ξ,0] = −

n

εμνρσ z01 dtz d4xTr{ξataU−1(tξ(x)) ∂μU(tξ(x))

24π2

×U−1(tξ(x))∂νU(tξ(x))U−1(tξ(x)) ∂ρU(tξ(x)) U−1(tξ(x)) (22.7.32)

× ∂σU(tξ(x)) s .

Как было отмечено Виттеном 25, это выражение можно переписать в удобной пятимерной форме. Выберем в качестве пятой координаты t и определим ξa(x,t) ≡ tξa(x). Тогда формула (22.7.32) примет вид

Γ[ξ,0] = − inπ2 εijklm z d5z TrnU −1bξ(z)g ∂iUbξ(z)g 240

× U −1bξ(z)g ∂jUbξ(z)g U −1bξ(z)g ∂kUbξ(z)gU −1bξ(z)g (22.7.33)

× ∂lUbξ(z)gU −1bξ(z)g∂mUbξ(z)gs,

где i, j и т. д. принимают значения 1, 2, 3, 0, 5, zi = xi äëÿ i = 1, 2, 3, 0 è z5 = t, а интеграл берется по области 0 ≤ z5 ≤ 1. (Дополнитель-

ный множитель 1/5 возникает в формуле (22.7.33) для того, чтобы учесть, что любой из пяти индексов i, j, k, l или m может принимать значение 5.) Поскольку ξa(z) принимает фиксированное значе- ние нуль при z5 = 0 и любых значениях zμ èç zi, мы можем считать

все эти значения zi одной точкой и рассматривать область интегрирования в (22.7.33) как пятимерный шар, четырехмерная граница которого z5 = 1 есть обычное пространство-время. Тогда формула (22.7.33) есть частный случай задаваемого формулами (19.8.1) и (19.8.3) действия Весса–Зумино–Виттена, которое также было пропорци-

22.7. Аномалии и голдстоуновские бозоны

559

онально целому числу n. Единственной разницей является то, что теперь n отождествляется с числом цветов. В разделе 19.8 мы видели, что интеграл (19.8.3) зависит только от значений ξa(z) íà

пространственно-временной границе пятимерного шара, поэтому при выводе формулы (22.7.33) мы показали, что формула (19.8.2) применима для любого продолжения xa(x) внутрь пятимерного шара, а не только для случая ξa(x,t) =tξ(x).

** *

Âболее общем случае рассмотрим произвольную калибровочную группу G, спонтанно нарушенную до подгруппы Н, которая сама по себе свободна от аномалий, т. е. для которой D-сим- вол (22.3.12) обращается в нуль для любых трех генераторов Н. Чу, Хо и Зумино 26 показали, что к действию можно добавить локальный функционал B[A] так, что токи подгруппы Н будут свободными от аномалий даже, когда учитываются калибровоч- ные поля нарушенных симметрий. Этот функционал имеет вид

1

 

μ

 

ρσ

 

ρ

 

B[A] =

 

εμνρσ z d4x Tr{[Ah

 

, Ahν ](Fρσ + Fh

 

) + Aμ AhνAhAhσ

48π2

 

 

 

− Ahμ AνAρAσ + Ahμ AνAhρ Aσ },

 

 

 

 

(22.7.34)

 

 

 

 

 

 

где снова Aμ ≡

T Aμ è Fμν ≡

T Fμν , à

Aμ

≡ T Aμ

è Fμν

≡ T Fμν —

слагаемые в Aμ

α α

 

α α

h

 

i i

h

i i

è Fμν в алгебре ненарушенной подгруппы симмет-

рии Н. Тогда полная аномалия равна

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

(22.7.35)

 

 

 

Gβ [x; A] = Gβ [x; A] + Tβ (x)B[A]

 

(ãäå Gβ[x;A] — симметризованная аномалия (22.3.38)), и она удов-

летворяет желаемому условию

′

(22.7.36)

Gβ [x; A] = 0 .

Аномальная часть эффективного действия для голдстоуновских бозонов и калибровочных полей получается подстановкой выражения (22.7.35) вместо Gβ в решение (22.7.7). Таким способом Чу и др.26

нашли аномальное эффективное действие

560 Глава 22. Аномалии

Γ′[ξ, A] = Γ[ξ, A] − B[A−ξ ] + B[A] ,

(22.7.37)

ãäå Γ[ξ,A] — ранее выведенное эффективное действие (22.7.7), а A–ξ(x) получается, если положить в (22.7.8) t = 1. В частности, когда калибровочное поле обращается в нуль, A–ξ есть чисто калибро-

вочное поле

[A−ξ (x)]μ = −i ∂μ Vbξ)x)g V−1bξ(x)g ,

Vbξ(x)g = expb−iXaξa (x)g ,

так что в этом случае действие для голдстоуновских бозонов равно

′

 

 

1

 

4

μ

ν

ρ

σ

Γ

[ξ,0]

= Γ[ξ,0] −

 

εμνρσ z d

x Tr{A−ξ A−ξhA−ξhA−ξh

48π2

 

 

− A−μξhA−νξ A−ρξ A−σξ +

A−μξhA−νξ A−ρξhA−σξ } .

(22.7.38)

 

 

 

Результат не единственен; в частности, в теориях, сохраняющих четность (типа квантовой хромодинамики) можно добавить в эффективное действие локальные слагаемые, с тем, чтобы сократить любые не сохраняющие четность члены в выражении (22.7.38).

Задачи

1.Рассчитатйте вероятность процесса η → γ + γ в главном поряд-

êå ïî ms, считая mu = md = 0.

2.Рассмотрите киральную SU(3) симметрию,1 относительно которой левые компоненты полей спина в теории, сохраняющей

число фермионов, образуют N фундаментальных представлений 3 группы SU(3), а все правые компоненты являются синглетами. Вычислите аномалию в SU(3) симметрии. Какой будет аномалия, если добавить М фермионных полей, левые компоненты которых являются синглетами, а правые компоненты преобразуются как симметричные тензоры второго ранга SU(3) с нулевым следом?

Смотрите также файлы