Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Приведем несколько примеров 8.

а. Скирмионы и т. п. Рассмотрим действительные голдстоуновские бозонные поля πa, связанные со спонтанным нарушением

непрерывной глобальной группы симметрии G до подгруппы H. Как было показано в гл. 19, потенциальная энергия этих голдстоуновских бозонов в евклидовом пространстве размерностью d > 2 принимает вид

ãäå gab — положительно определенная матрица, а многоточие озна- чает возможные члены высшего порядка по производным π. Àëü-

тернативно, формулу (23.1.1) можно рассматривать как взятое с обратным знаком действие для поля голдстоуновского бозона в d-мерном евклидовом пространстве-времени.

Для полевых конфигураций с конечным S производные ∂iπa(x)

äîëæíû убывать на бесконечности быстрее, чем |x| (где | x| = xixi ), òàê ÷òî ñàìî ïîëå πa(x) ïðè x → ∞ должно стремиться к константе πa∞, а оставшиеся члены должны обращаться в нуль быстрее, чем |x|(2–d)/2. Голдстоуновские бозонные поля πa в любой точке

образуют однородное пространство — фактор-пространство G/H, в котором любое значение поля можно преобразовать в любое другое значение с помощью преобразования из G, так что, применив глобальное преобразование из G, всегда возможно добиться, чтобы предел πa∞ принимал любое конкретное значение, например, πa∞ = 0. Таким образом, поле πa(x) представляет отображение всего d-мер- ного пространства, в котором сфера r = ∞ считается одной точкой,

в многообразие G/H всех значений поля.

Однако d-мерное евклидово пространство, в котором (d–1)- мерная сферическая поверхность на бесконечности считается одной точкой, топологически эквивалентно d-мерной сфере Sd (т. е. поверхности (d+1)-мерного шара) в том смысле, что каждое из этих многообразий может быть непрерывно отображено в другое. Поэтому поля π(x), обращающиеся в нуль при x → ∞, можно расклассифи-

цировать по топологически различным отображениям Sd на многообразие G/H полевых переменных, для которых точка на бесконеч-

ности отображается в нуль. Множество классов таких топологически различных отображений Sd ¬ M с одной точкой Sd, отображающейся в фиксированную точку M, известно как d-я гомотопическая группа πd(M) многообразия M. В следующем разделе мы обсудим

эти гомотопические группы и объясним их групповую структуру. Список гомотопических групп для разных многообразий приведен в Приложении В к этой главе. В данный момент достаточно отметить, что хотя в ситуации, когда многообразие М является линейным пространством, гомотопическая группа πd(M) тривиальна (в том смысле, что любая полевая конфигурация π(x), стремящаяся к константе при x → ∞, может быть непрерывно продеформирована в кон-

фигурацию, в которой поле принимает это значение везде), многообразие M = G/H голдстоуновских бозонных полей часто обладает нетривиальной гомотопической группой. В случаях, имеющих отношение к квантовой хромодинамике, когда SU(2) × SU(2) нарушается до SU(2) или SU(3) × SU(3) нарушается до SU(3), многообра-

зие G/H совпадает с SU(2) или SU(3) соответственно, а для них, согласно формулам Приложения В, гомотопические группы π3(H)

нетривиальны. Топологически нетривиальные поля в локальных минимумах потенциальной энергии при d = 3 известны под названием скирмионов 3. Барионы, например, протон, могут в определенных отношениях рассматриваться как скирмионные решения чисто мезонной теории.

До тех пор, пока члены с высшими степенями производных ∂iπa не включены в подынтегральное выражение, функционал (23.1.1)

не содержит скирмионных стационарных точек. В отсутствие таких членов любые топологически нетривиальные полевые конфигурации будут давать континуум значений S, простирающийся до нижней границы S = 0, на которой π становится сингулярным, так что

топология не может стабилизировать такие конфигурации. Это утверждение известно как теорема Деррика 9. Для ее доказательства заметим, что для любой полевой конфигурации πa(x) можно ввести

другую конфигурацию с той же топологией

πRa (x) ≡ πa (xR) ,

где R — произвольный действительный положительный масштабный множитель. Тогда для явно выписанных в выражении (23.1.1) членов

S[πR ] = Rd−2S[π] .

При d > 2 это — убывающая функция R при R ® 0, так что имеется континуум значений S[pR], простирающихся вплоть до зна- чения S = 0. Более того, S[p] > 0, ò. ê. S[p] может обращаться в нуль только при постоянном p(x), что невозможно, поскольку мы предположили топологическую нетривиальность p. Отсюда следует, что данная нижняя граница достигается только при R = 0, где πRa (x)

становится сингулярным.

Полевые конфигурации голдстоуновских бозонов могут быть стабилизированы добавлением в S членов с высшими производными. Например, если взять S[p] = T[p] + D[p], ãäå

D[p] º z ddx fabcd (p)Ñpa × Ñpb × Ñpc × Ñpd ³ 0 ,

òî D[pR] = Rd–4D[p], в то время, как и раньше, T[pR] = Rd–2T[p], òàê ÷òî S[pR] достигает минимума при конечном R, если 2 < d < 4,

куда, в частности, входит физически интересный случай d = 3. Проблемы в теории скирмионов не связаны с тем, что мы дол-

жны добавлять члены с высшими производными типа D[p] â äåé-

ствие. Как обсуждалось в разделе 19.5, можно ожидать появления подобных членов в действии любой эффективной полевой теории голдстоуновских бозонов. Трудность в том, что нет никаких рациональных причин для отбрасывания бесконечного числа других членов с высшими производными, имеющих один и тот же порядок величины для конфигураций, обладающих устойчивостью за счет баланса между членами с разным числом производных. Все это делает невозможным реалистические вычисления.

б. Доменные стенки. Если нарушается дискретная симметрия, возникает возможность, что симметрия нарушается по-разно- му в разных областях, отделенных друг от друга доменными стенками, в которых вакуумные поля переходят от одного минимума потенциала к другому. Например, рассмотрим плоскую доменную стенку в плоскости y-z и предположим, что энергия на единицу

площади дается выражением

−∞

ãäå j(x) — действительное скалярное поле, которое, по предполо-

жению, зависит только от расстояния x вдоль направления по нормали к стенке, а V(j) — потенциал, обладающий симметрией относительно преобразования j ® - j, с минимумами только при значениях поля ±`j. Для удобства, подберем аддитивную константу

â V(j) так, чтобы минимальное значение V(j) равнялось нулю. В этом случае V(j) ³ 0, è V(j) = 0 только при j = ±`j. Чтобы сохра-

нить конечность S, необходимо, чтобы при x ® ¥ èëè x ® -¥ ïîëå j стремилось либо к +`j, ëèáî ê -`j. Таким образом, имеются че-

тыре топологически различные конфигурации, которые топологи- чески стабильны. В двух из них поле j стремится к одинаковым пределам при x ® ±¥, так что конфигурацию можно плавно проде-

формировать в вакуумные конфигурации с постоянным везде полем j(x). В двух других j стремится к противоположным пределам при x ® ±¥. Здесь мы классифицируем полевые конфигурации по группе p0(G), ãäå p0(M) для любого многообразия М обычно определя-

ется как множество связных компонент М, а G — группа симметрии, которая в нашем случае равна группе Z2, порожденной отражением j ® –j.

Сейчас уместно дать представление о введенном Богомольным 10 приеме, который окажется полезным в разделах 23.3 и 23.5 при рассмотрении более сложных случаев монополей и инстантонов. Перепишем выражение (23.1.2) в виде

Интеграл во втором слагаемом в правой части выражения (23.1.3) можно расматривать как «топологический заряд», зависящий только от значений, принимаемых полем при x ® ±¥. Для конфигура-

ций, стремящихся к одному и тому же пределу при x ® ±¥, этот интеграл обращается в нуль, и минимальное значе-

ние S, соответствующее постоянным полям, равно нулю. Для поля j(x), принимающего разные значения при x ® ±¥, можно выбрать знаки ± в выражении (23.1.3) так, чтобы получить нижнюю границу

Эта граница достигается тогда, когда обращается в нуль первое слагаемое, или, иными словами, когда

ãäå x0 — постоянная интегрирования, которая, очевидно, определяет положение центра доменной стенки. Заметим, что теорема Деррика не имеет отношения к полученному решению, т. к. для доменных стенок d = 1, и для полей j(x/R) с измененным масшта-

бом интегралы от двух слагаемых в подынтегральном выражении (23.1.2) ведут себя как R–1 è R+1 соответственно.

Формулу (23.1.5) можно вывести более прямым способом путем вывода дифференциального уравнения второго порядка для j(x)

из условия, что выражение (23.1.2) должно быть стационарно относительно малых вариаций j(x), и используя затем это дифференциальное уравнение, чтобы показать, что величина (dϕ dx)2 − V(ϕ)

постоянна по x. Преимущество вывода, основанного на формуле (23.1.3), состоит в том, что сразу же видно, что решение (23.1.5) устойчиво относительно малых возмущений, сохраняющих плоский характер стенки, если не считать «нулевой моды», связанной с изменениями положения стенки x0. Добавив слагаемое (dϕ dy)2 + (dϕ dz)2 в подынтегральное выражение (23.1.2), можно

увидеть, что это решение также устойчиво относительно любых возмущений dj(x,y,z), если только dj(x,y,z) ® 0 ïðè x ® ±¥ è ôèê-

сированных y и Z.

Если имеются дискретные спонтанно нарушенные симметрии, то при нарушении этих симметрий в ранней Вселенной должны были образоваться доменные стенки. Если эти доменные стенки не исчезли, они должны приводить к большим искажениям наблюдаемой сейчас во Вселенной изотропии и однородности 5. Нам неизвестна