Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

калибровочная группа SU(2) спонтанно нарушается вакуумным средним SU(2) триплета скалярных полей jn. (В конце раздела мы пояс-

ним, почему в данном случае мы говорим о калибровочной группе SU(2), а не SO(3).) Лагранжиан скалярных и калибровочных полей в пространстве-времени Минковского выберем в виде

а функция V(jnjn) предполагается положительной и равной нулю при ненóëåâом значении ájñ (считающимся положительным) вели-

÷èíû jnjn . (В большинстве работ по монополям принимается, что V — полином четвертой степени l(jnjn – ájñ2)2 c l > 0, íî ìû

здесь не будем этого предполагать.) Выражение (23.3.1) описывает теорию, в которой имеется независящее от пространственно-вре- менных координат вакуумное решение с Anμ = 0. Вакуумное среднее jn ñ jnjn = ájñ2 нарушает SU(2) группу симметрии теории до ее

подгруппы U(1), которую можно отождествить с калибровочной группой электродинамики. Однако мы будем искать топологически нетривиальные неоднородные, но1 не зависящие от времени класси- ческие решения во временной калибровке, в которой An0 = 0, íî Ani ¹ 0. В этом случае лагранжиан равен взятой с обратным знаком

плотности потенциальной энергии H, которая равна

(квадраты подразумевают очевидные свертки по индексам). Поскольку все члены в выражении (23.3.4) положительны, в конфигурации с конечной энергией интеграл от каждого члена должен по-отдель- ности сходиться.

В частности, для того, чтобы сходился интеграл от V(jnjn), вектор jn должен иметь фиксированную длину ájñ на бесконечнос-

ти, так что каждая конфигурация конечной энергии определяет

гладкое отображение большой 2-сферы S, окружающей монопольную конфигурацию, на 2-сферу jn, ãäå jnjn = ájñ2. Когда x$ принимает значения на S, jn может любое целое число N раз пробегать значения на сфере jnjn = ájñ2 . При этом якобиан Det(¶x/¶j) может

быть положительным, и в этом случае говорят, что топологическое число равно N, или отрицательным, и в этом случае топологическое число равно –N.

Чтобы понять, какое отношение топологическое число к магнитному заряду монополя, необходимо сначала рассмотреть, что в данной теории наблюдается как «магнитное поле». Какой бы ни была полевая конфигурация, можно ввести калибровку, в которой скалярное поле jn в любом заданном конечном объеме направлено в

определенную сторону, например, вдоль третьей оси, так что в этой области связанное с ненарушенной U(1) подгруппой SU(2) калибровочное поле есть A3i. ¢T Хофт нашел калибровочно-инвариан- тный тензор Fμν, который в такой калибровке сводится к обычному тензору напряженности электромагнитного поля ¶μA3ν – ¶νA3μ:

ãäå j$ n º jn jmjm . Чтобы проверить,что в калибровке с постоянными ϕ$ тензор Fμν — обычный тензор напряженности электромагнитногоnполя (и для дальнейших прменений), воспользуемся выра-

Таким образом, в калибровке, где ϕ$ n — фиксированный единич-

ный вектор, направленный вдоль третьей оси, имеем, как и обещано,

Fμν = ∂μ A3ν − ∂ν A3μ .

Магнитный заряд g любой локализованной полевой конфигурации определяется как коэффициент 1/4p, умноженный на маг-

нитный поток через большую замкнутую поверхность S вокруг конфигурации:

588 Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

Первые два члена в выражении (23.3.6) для Fij являются производными, и поэтому не вносят вклада в интеграл (23.3.7), так что

Это выражение обладает важным свойством — оно топологи- чески инвариантно, т. е., интегрируя по частям, если необходимо, можно получить, что изменение g в результате бесконечно малой вариации δϕ$ n ïîëÿ ϕ$ n равно

εnmlδϕ$ n∂iϕ$ m∂jϕ$ l = 0 ,

èпоэтому δg = 0. Величина (23.3.8) связана с топологическим инва-

риантом, который называется индексом Кронекера.

Поскольку g — поверхностный интеграл, он аддитивен. Это означает, что для любых двух удаленных друг от друга локализованных конфигураций та поверхность S, которая используется для вычисления g, может быть взята в виде пары сфер, окружающих каждая свою конфигурацию, соединенных тонкой перемычкой, так

что значение g для всей системы будет суммой значений g1, g2 для отдельных локализованных конфигураций. Кроме того, поскольку

g — топологический инвариант, равенство g = g1 + g2 будет сохраняться для любой полевой конфигурации, получающейся плавным

слиянием двух конфигураций с магнитными зарядами g1 è g2. Отсюда следует, что g должно быть пропорционально топологическому числу. Арафуне, Фройнд и Гебель 13 проверили это и вычислили коэффициент пропорциональности, используя формулу (23.3.8) для произвольного топологического числа. Здесь мы просто вычислим

коэффициент, исследуя монополь ¢т Хофта–Полякова 2, ïîëÿ êîòî-

рого соответствуют топологическому числу единица.

Как мы видели в предыдущем разделе, «тождественный» (не путать с единицей) элемент S в p2(SU(2)/U(1)), который соответ-

ствует элементу «единица» в Z, состоит из конфигураций, в которых 2-сфера S на бесконечности один раз (с положительным якобианом) отображается на сферу, описываемую полем ϕ$ n. В качестве

представителя этого класса можно взять конфигурацию, в которой на бесконечности от направлено так же, как x. Для построения такой конфигурации, потребуем симметрии относительно объединенных вращений j = {j1, j2, j3} и x, а также сохранения четности,

и выдвинем анзатц:

Имеется важная аналогия между этой полевой конфигурацией и вихревой нитью в сверхпроводнике. Решение j = ±lf/2e äëÿ

поля голдстоуновского бозона, найденное в разделе 21.6, показывает, что несмотря на спонтанное нарушение калибровочной и вращательной инвариантности, решение в виде вихревой нити инвариантно относительно комбинации глобального калибровочного преобразования, для которого j ® j + L, и жесткого вращения f ® f ± 2eL/l. Аналогично, монопольное решение вида (23.3.9)–(23.3.10)

неинвариантно относительно вращений или калибровочных преобразований, но инвариантно относительно жеского трехмерного пространственного вращения и такого же глобального SO(3) калибровочного преобразования.

Как уже отмечалось, для того, чтобы интеграл от V(jnjn) сходился, необходимо, чтобы jnjn стремилось к ájñ2 ïðè r ® ¥, так что в этом пределе F(r) ® 1. Чтобы установить предельное поведение

G(r), заметим, что ковариантная производная скалярного поля равна

так что скалярное слагаемое в гамильтониане имеет вид