Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

ных полей pa(x) на больших сферах (S1 — для вихревых нитей,

S2 — для монополей), окружающих конфигурацию, закручены, так что они не могут быть гладко продеформированы в постоянные поля. В частности, невозможно гладким образом уменьшить радиусы этих сфер до нуля, не столкнувшись с каким-то типом сингулярности, поскольку несингулярное поле pa(x) на сфере при уменьшении ра-

диуса сферы до нуля должно было бы стать постоянным. В обоих случаях сингулярность возникает на некоторой сердцевине (линии или, возможно, трубке для вихревых нитей и точке или, возможно, шаре для монополей), внутри котрой группа G уже не нарушена, так что система описывается не голдстоуновскими бозонными полями, а параметром порядка, линейно преобразующимся под действием преобразований из G.

В случае d = 4 функция S[jR, AR] от R может иметь минимум при некотором конечном значении R, если T[j,A] = V[j] = 0, для чего необходимо, чтобы j(x) везде принимало значение, при котором U(j) = 0. Предполагая, что эти значения образуют континуум,

связанный преобразованиями калибровочной группы G, можно с помощью калибровочного преобразования сделать их все постоянными, j(x) = j0. Тогда в этой калибровке из условия T[j,A] = 0

следует, что Aa(x) = 0 для всех нарушенных симметрий для которых taj0 ¹ 0. На такой полевой конфигурации как T[j,A], òàê è V[j] стационарны, так что для стационарности S[j, A] необходима стационарность K[j,A], а это означает, что ненулевые калибровочные поля Aim (принадлежащие подгруппе H Ì G, не нарушенной полем j0) удовлетворяют полевым уравнениям Янга–Миллса

Поэтому данный случай сводится к случаю с, но с заменой калибровочной группы G на ее ненарушенную подгруппу Н.

23.2.Гомотопические группы

Âпредыдущем разделе мы научились классифицировать полевые конфигурации, на которых гамильтониан или другие функционалы имеют конечное значение, в соответствии с элементами подходящих гомотопических групп. Но мы до сих пор не объясни-

ли, в каком смысле гомотопические группы являются группами,

èне придали групповой структуре никакого физического значе- ния. Как мы увидим, существует естественное определение закона умножения элементов гомотопических групп, согласно которому две протяженные конфигурации полей, образующих

многообразие М в d измерениях, которые принадлежат различ- ным элементам с1 è ñ2 группы πd(M), могут непрерывно сливаться

èобразовывать конфигурацию, принадлежащую элементу с1 × ñ2

этой группы.

Начнем с определения первой гомотопической группы π1(M)

произвольного многообразия М в d измерениях, которую называют также фундаментальной группой многообразия. Как мы видели, условием топологической стабильности вихревой нити в трех изме-

рениях (или монополя в двух измерениях) является существование

нетривиальной группы π1(G/H) для некоторого фактор-простран- ства G/H. После знакомства с π1(M) мы перейдем к изучению более

общих гомотопических групп.

Говорят, что связное многообразие М многосвязно, если на

многообразии существует какой-либо замкнутый путь p(z), параметризованный одной переменной z с 0 ≤ z ≤ 1, причем p(0) = p(1),

который не может быть стянут в точку путем непрерывной деформации. Поскольку на связном многообразии всегда можно непрерывно продеформировать любой замкнутый путь так, что любая точка пути может оказаться в любом желаемом месте на многообразии, можно ограничиться только путями, для которых p(0) = p(1)

= p0, ãäå ð0 — любая фиксированная точка на многообразии, называемая базовой точкой. Говорят, что два таких замкнутых пути

p1(z) è p2(z) гомотопически эквивалентны, если они могут быть продеформированы один в другой, т. е. если существует непрерывная функция p(z,t), 0 ≤ t ≤ 1, такая, что

p(z, 0) = p1(z), p(z, 1) = p2(z), p(0, t) = p(1, t) = p0.

Отношение гомотопической эквивалентности есть именно отношение эквивалентности в том смысле, что оно симметрично, рефлексивно и транзитивно, так что это отношение разделяет пространство замкнутых путей на многообразии на классы эквивалентности: два замкнутых пути принадлежат одному классу, если и только если они гомотопически эквивалентны. Множество всех этих клас-

сов эквивалентности называется первой гомотопической группой

многообразия π1(M).

Для определения правила умножения в группе π1(M) выберем

стандартный путь p[z, c], начинающийся и кончающийся в базовой точке р0 для каждого класса эквивалентности с в p1(M). Для любых двух классов эквивалентности с1 è ñ2 определим «произведение» с1 ×

ñ2 как класс эквивалентности, содержащий путь p[z, c1, c2], который начинается в точке р0, следует по пути p[z, c1] назад в точку р0, а затем следут по пути p[z, c2] снова в точку р0. Формально

Теперь нужно показать, что так определенное умножение удовлетворяет групповым аксиомам. Для этого заметим, что (c1 × c2) × c3 есть класс эквивалентности, содержащий путь p[z, c1×c2, c3], идуший вдоль стандартного пути p[z, c1 × c2], начинающегося и кон- чающегося в базовой точке, в то время как c1 × (c2 × c3) — класс эквивалентности, содержащий путь p[z, c1, c2 × c3], идущий вдоль

стандартного пути p[z, c1] из базовой точки р0 и обратно, а затем — вдоль стандартного пути p[z, c1 × c2] из базовой точки р0 и обратно. По определению, путь p[z, c1 × c2] может быть продеформирован в

путь, идущий вдоль пути p[z, c1] из базовой точки р0 и обратно, а затем — вдоль пути p[z, c2] из базовой точки р0 и обратно. В то же время, путь p[z, c2 × c3] может быть продеформирован в путь, иду-

щий вдоль пути p[z, c2] из базовой точки р0 и обратно, а затем — вдоль пути p[z, c3] из базовой точки р0 и обратно. Таким образом,

îáà ïóòè p[z, c1 × c2, c3] è p[z, c1, c2 × c3] могут быть продеформиро-

ваны в путь, идущий вдоль пути p[z, c1] из базовой точки р0 и обратно, затем — вдоль пути p[z, c2] из базовой точки р0 и обратно, и наконец — вдоль пути p[z,c3] из базовой точки р0 и обратно. Следовательно, эти пути могут быть продеформированы друг в друга, откуда

(ñ1 × ñ2) × ñ3 = ñ1 × (ñ2 × ñ3).

Единичный элемент e группы π1(M) определяется как класс

эквивалентности, содержащий путь p[z, e], не выходящий из базовой точки. Чтобы проверить, что e × c = c, заметим, что

580 Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

Но этот путь можно непрерывно продеформировать в p[z, c], выбрав

что совпадает с p[z, e, c] при t = 1 и с p[z, c] при t = 0. Произведение e × c есть класс эквивалентности, содержащий p[z, e, c], но, как мы

видим, этот класс совпадает с классом эквивалентности, содержащим p[z, c], который и есть класс c. Доказательство того, что с × å

= с, проводится аналогично.

«Обратный» класс с–1 к классу эквивалентности с содержит путь p–1[z, c], идущий вдоль того же пути, что и стандартный путь p[z, c], но в противоположном направлении. Иными словами,

p−1[z; c] ≡ p[1 − z; c].

Этот путь не обязательно совпадает со «стандартным путем» p[z, c–1], но, по определению класса эквивалентности с–1, два пути можно продеформировать друг в друга. Чтобы убедиться, что c–1 × c = e, заметим, что при деформации пути p[z, c–1] â p–1[z, c]

ïóòü p[z, c–1, c] можно продеформировать в путь

Но этот путь можно непрерывно продеформировать в p[z, e] = p0, выбрав

что совпадает с p[z, c–1, c] при t = 1 и с p[z, e] при t = 0. Произведение с–1 × с есть класс эквивалентности, содержащий p[z, c–1, c],

но, как мы теперь видим, этот класс совпадает с классом эквивалентности, содержащим p[z, e], что есть просто е. Доказательство того, что с × ñ–1 = е, проводится аналогично. Существование еди-

ничного элемента и обратных элементов показывает, что совокупность классов эквивалентности образует группу.

Классическим примером многообразия М с нетривиальной первой гомотопической группой является окружность: M= S1. Ее можно параметризовать углом θ, причем θ = 0 è θ = 2πn (где n — положи-

тельное или отрицательное целое число) считаются одной точкой. Гомотопические группы состоят из классов функций θ(z), 0 ≤ z ≤ 1,

с начальным значением в некоторой базовой точке q(0) = q0 и конечным значением в той же базовой точке θ(1) = θ0 +2πn. Две такие

функции можно непрерывно продеформировать друг в друга тогда и только тогда, когда у них одинаковое значение n, так что π1(S1)

состоит из счетного бесконечного числа классов cn, помеченных положительным или отрицательным целым числом n. Кроме того, «произведение» двух классов cn è cm состоит из путей, которые совершают n оборотов по окружности, начинаясь и кончаясь в базовой точке, а затем еще m таких же оборотов, так что в данном случае умножение сводится к сложению:

где Z — группа положительных и отрицательных целых чисел по сложению. Чтобы немедленно продемонстрировать физическое применение, заметим, что когда калибровочная группа SO(2) полностью спонтанно нарушена, фактор-пространство есть сама группа SO(2), имеющая топологию окружности. Поэтому в данном случае существует бесконечное число типов топологически стабильных вихревых нитей, характеризующихся положительным или отрицательным целым числом n. Например, так обстоит дело в сверхпроводнике II рода, где, как мы видели в разделе 21.6, группа U(1) электромагнитной калибровочной инвариантности спонтанно нарушена до дискретной подгруппы Z2.

В общем случае все сферы Sd с d > 1 односвязны, и это озна- чает, что их первая гомотопическая группа тривиальна, что обычно выражается в виде