Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Только немногие из более знакомых нам групп Ли являются многосвязными.

Здесь Z2 — группа из двух элементов 1 и –1, с групповым умножением, определенным как обычное умножение, а Spin(n) — односвязная накрывающая группа группы SO(n). (В разделе 2.7 мы видели, что Spin(3) совпадает с SU(2).) Кроме того, для прямого произведения двух многообразий М и М¢ фундаментальной группой

будет

Можно оценить физическое значение групповой структуры π1(M), если задаться вопросом, что происходит, когда сближаются

две первоначально удаленные параллельные вихревые нити в трех измерениях. Пока вихревые нити достаточно далеки друг от друга, их поля не взаимодействуют, поэтому конфигурацию можно описать, задав классы с¢ è ñ¢¢ â p1(G/H), которым принадлежит каждая

нить. Класс с, которому принадлежит вся конфигурация, определяется поведением полей на очень большой окружности, объемлющей обе вихревые нити. Непрерывной деформацией можно превратить эту окружность в две большие окружности, каждая из которых окружает свою вихревую нить, пересекающихся в точке посередине между нитями. Когда мы проходим такой замкнутый путь в двумерном пространстве, то, как и в определении произведения классов, мы проходим по пути в G/H, состоящем сначала из замкнутого пути класса с¢, а затем — из замкнутого пути класса с¢¢. Отсюда мы

приходим к выводу, что вся конфигурация соответствует классу с = с¢ ´ ñ¢¢, и поэтому две вихревые нити могут только слиться и образовать нить такого класса. В частности, если с¢¢ = ñ–1, то вихре-

вые нити могут только аннигилировать.

Рассмотрим теперь общую гомотопическую группу pk(M). Она во многом похожа на p1(М), если не считать того, что вместо рас-

смотрения отображений окружности S1 на многообразие М мы рассматриваем отображения k-сферы Sk (поверхности (k+1)-мерного шара) на М, причем опять одна точка Sk всегда отображается в одну и ту же «базовую точку» р0 из М. Два таких отображения эквивалентны, если одно может быть продеформировано в другое при условии, что та же точка Sk всегда отображается в базовую точку. Элементами k-мерной гомотопической группы pk(M) являются клас-

сы эквивалентности таких отображений.

Часто удобно изображать d-сферу Sd как внутренность d-мер- ного гиперкуба, все точки границы которого отождествлены как одна точка. Например, мы уже видели, что окружность S1 можно рассматривать как интервал 0 £ q £ 2p, причем точки 0 и 2p отождеств-

лены. Аналогично, можно сделать карту S2, например, поверхности Земли, выколов южный полюс и растянув получившийся лист на единичный квадрат 0 £ z1 £ 1, 0 £ z2 £ 1. При непрерывных отобра-

жениях этого квадрата на М все точки границы квадрата отображаются в одну точку на М, поскольку все точки границы являются, на самом деле, одной точкой — южным полюсом сферы. В общем слу- чае, два отображения p(z1, ..., zd) è p¢(z1, ..., zd) сферы Sd íà Ì

гомотопически эквивалентны, если одно может быть непрерывно продеформировано в другое при сохранении равенства р на границе гиперкуба базовой точке р0.

Как и выше, для каждого класса эквивалентности с мы выбираем стандартное отображение p(z1, ..., zd; c). Произведение с1 è ñ2 определяется как класс эквивалентности, содержащий отображение

Единичный элемент е определяется как класс эквивалентности, содержащий отображение с р = р0 для всех z, а обратный класс с–1 к с определяется как класс эквивалентности, содержащий отображение с

Òàê æå, êàê è äëÿ p1(M), можно показать, что это умножение ассоциативно и что е ´ ñ = ñ ´ å = ñ, ñ–1 ´ ñ = ñ ´ ñ–1 = е. Все группы pn(M) ïðè n ³ 2 абелевы. (Существуют многообразия М, для которых

p1(M) неабелева, например, плоскость с двумя или более выколо-

тыми точками.)

В каждом из случаев, когда pk(M) = Z, должно существовать одно-однозначное отображение k-сферы Sk в k-сферу S¢k íà M, êî-

торое соответствует элементу «один» в Z (не путать с единичным элементом группы, который равен нулю). Элемент n â Z ñ n = 2, 3, ...

соответствует отображению Sk в ту же k-сферу S¢k на М, которое n раз покрывает S¢k, причем якобиан преобразования Sk ® S¢k положителен. Элемент n â Z ñ n = –1, –2, ... соответствует отображению Sk ® S¢k, которое покрывает S¢k |n| раз, причем якобиан преобразования Sk ® S¢k отрицателен.

Например, мы видели в предыдущем разделе, что в том слу- чае, когда односвязная группа G нарушается до группы U(1) электромагнетизма, возникают магнитные монополи. Как показано в приложении, в этом случае

так что магнитный монополь обладает целочисленным квантовым числом n, которое, как показано в разделе 23.3, пропорционально

магнитному заряду. Это квантовое число показывает, сколько раз 2-сфера большого радиуса, окружающая монополь, отображается на 2-сферу многообразия G/U(1) полей голдстоуновских бозонов (при этом относительная ориентация двух 2-сфер одинакова или противоположна в зависимости от того, положительно или отрицательно число n). Квантовое число n называют топологическим числом *.

Структура группы Z показывает, что это квантовое число сохраняется в том смысле, что монополь с квантовым числом n может объединиться с монополем с квантовым числом n¢, образовав при этом только монополь с квантовым числом n + n¢.

Если ненарушенной группой является SO(n) с n ³ 3, то соглас-

но результатам приложения В к этой главе

* Автор употребляет здесь и далее (в т. III) распространенный в англоязычной литературе термин winding number, который в разных русскоязычных источниках переводится как «число оборотов» или «число накрутки». Однако мы, следуя монографии А.С. Шварца «Квантовая теория поля и топология» (М.: Наука, 1989) предпочли использовать более общий термин топологическое число. — Прим. пер.

Âэтом случае существует только один тип «монополя», соот-

ветствующий элементу –1 группы Z2, который может аннигилировать только в пары. Важно отличать этот случай от того, когда группа SO(n) заменяется ее односвязной накрывающей группой Spin(n), для которой вообще нет монополей. Мы вернемся к этому вопросу в конце следующего раздела.

Другой пример. В предыдущем разделе мы видели, что скир-

мионы в квантовой хромодинамике с n легкими кварками соответ-

ствуют элементам π3(SU(n)), что, согласно приложению В, есть Z.

Таким образом, эти скирмионы обладают сохраняющимся целочисленным квантовым числом ν, которое, вероятно, может быть отож-

дествлено с барионным числом. Аналогично, напомним из результатов предыдущего раздела, что инстантоны в калибровочной теории,

основанной на простой калибровочной группе G, соответствуют

элементам π3(G), которая, согласно приложению В, есть Z. Поэтому

инстантоны. как и скирмионы, обладают целочисленным топологи- ческим числом ν. В разделе 23.5 мы увидим, как это квантовое число

можно выразить в виде локального функционала калибровочного поля.

23.3.Монополи

Âкачестве детального примера топологически нетривиальной

полевой конфигурации рассмотрим монополь ′т Хофта–Полякова 2

и его обобщения. В разделе 23.1 мы видели, что если односвязная калибровочная группа G спонтанно нарушается до группы электромагнетизма U(1), то конфигурации конечной энергии классифицируются в соответствии с элементами группы π2(G/U(1)) = π1(U(1)) = Z.

(Случай неодносвязных групп Ли будет рассмотрен в конце этого раздела.) Согласно физической интерпретации гомотопических групп, которая обсуждалась в разделе 23.2, это означает, что данные конфигурации обладают сохраняющимся аддитивным квантовым числом. Однако нам все еще следует показать, что каждая из таких стационарных конфигураций действительно существует, и дать физическую интерпретацию их топологических квантовых чисел.

В качестве иллюстративного примера рассмотрим теорию (похожую на электрослабую модель Джорджи и Глешоу 12), в которой