Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Чтобы найти стабильную конфигурацию, минимизирующую интеграл от гамильтониана (23.3.4), требуются детальные численные расчеты. Однако существует предельный случай, в котором можно получить аналитическое решение. Для того, чтобы это увидеть, удобно сначала вывести выражение для общей нижней границы энергии монополя при заданном магнитном заряде g (Богомольный 10). Заметим, что выражение (23.3.4) можно записать в виде

Используя тождество Бьянки (15.3.9), можно переписать второе слагаемое:

так что интеграл от него равен заданному магнитному заряду:

± 1 eijk z d3xFnij Dkjn = ±ájñz B × dA = ±4pájñg . 2

Поскольку все другие члены в H положительны, мы пришли к общей нижней границе энергии конфигурации с магнитным зарядом g:

Ïðè g = ±1/e это дает энергию E ³ 4pájñ|g|, и при малой кон-

станте связи е это много больше, чем поправки за счет квантовых флуктуаций, которые самое большее — порядка ájñ. Именно поэто-

му можно серьезно относиться к классической конфигурации как к главному члену в разложении по теории возмущений.

Теперь возникает искушение попробовать минимизировать энергию при заданном магнитном заряде, положив первый член в (23.3.18) равным нулю, так что

но в общем случае это не приводит к конфигурации, при которой энергия стационарна. Условием того, что энергия будет стационар-

ной по отношению к вариациям скалярных полей, является уравнение поля

в то время как из условия (23.3.20) совместно с тождеством Бьянки (15.3.9) вытекало бы, что DkDkjn = 0. Из этого аргумента следует, что в частном случае, когда V(jnjn) очень мало, возможно, нало-

жив условие (23.3.20), почти достичь нижней границы (23.3.19) и следовательно минимизировать энергию при заданном магнитном заряде. (Если V — полином четвертой степени l(jnjn – ájñ2)2, предположение о малости V означает, что l n e2, как в сверхпроводниках I рода.)

Подобные стабильные конфигурации изучались таким способом Богомольным 10. Ранее эти конфигурации были найдены Прасадом и Соммерфилдом 14 без непосредственного использования условия (23.3.20). Обычно их называют БПС монополями.

Условие Богомольного (23.3.20) позволяет записать дифференциальные уравнения первого порядка для F(r) и G(r), решить которые намного легче, чем полевые уравнения второго порядка, выведенные непосредственно из условия стационарности энергии. Используя выражения (23.3.11) и (23.3.13), находим, что члены в

условии (23.3.20), пропорциональные ε ijk [δkn − x$ kx$ n ] è εijkx$ kx$ n ñî-

ответственно, приводят к дифференциальным уравнениям

ãäå r º eájñr. Заметим, в частности, что поле jn, задаваемое выражениями (23.3.9) и (23.3.24), обращается в нуль при r ® 0, òàê ÷òî,

как это и отмечалось в разделе 23.1, SU(2) симметрия в центре монополя восстанавливается.

Вернемся к случаю потенциала V произвольной величины. Монополь ¢т Хофта–Полякова стабилен, т. к. нет конфигураций

с меньшим топологическим квантовым1 числом, в которые он мог бы распадаться. Конфигурации с большими значениями магнитного заряда в общем случае нестабильны. Существуют также интересные конфигурации, обладающие как магнитным, так и электрическим зарядом, — так называемые дионы 15.

Существует иной способ понять значение 1/е магнитного заряда монополя ¢т Хофта–Полякова, восходящий к первой работе

Дирака по магнитным монополям 16. Как отмечалось выше, вместо той калибровки, которую мы использовали, можно совершить калибровочное преобразование jn ® Rnm(x)jm, которое поворачивает jn в точку с фиксированным направлением 1v$ , например, вдоль третьей оси. Тогда напряженность поля Bnk º eijkFnij преобразуется в

RnmBmk, которая стремится к v$ nx$ k er2 ïðè r ® ¥, òàê ÷òî ìû íå

должны проектировать это на направление локальной ненарушенной симметрии. Цена, которую приходится заплатить за это удобство, заключается в том, что калибровочное преобразование сингулярно: вращение, переводящее вектор, направленный по x$ , на некторое фиксированное направление v$ , имеет вид

и оно сингулярно при x$ = −v$ . Это вращение R не единственно; например, можно осуществить вращение R(x$ ; − v$ ), переводящее x$ по направлению −v$ , а затем фиксированное вращение на 180° вокруг некоторой оси, перпендикулярной v$ , но тогда получившееся вращение станет сингулярным при x$ = +v$ . Чтобы избежать сингуляр-

ностей, нам следует выбирать в разных областях разные калибровки. Так, если v$ направлено вдоль третьей оси, можно использовать в области 0 < q < q0 калибровку, которая сингулярна при q = p, а в области q0 < q < p — калибровку, которая сингулярна при q = 0. Здесь q0 — произвольный угол в интервале 0 < q0 < p, часто выбираемый равным p/2. Везде за исключением q = 0 è q = p магнитное поле на больших расстояниях дается выражением B → gx$ r2 , где g — магнитный заряд. Его можно записать как ротор Ñ ´ A вектор-

ного потенциала, единственной ненулевой компонентой которого является азимутальная f-компонента. При 0 < q < q0 мы должны взять

Aφ = g(1 – cos q)/r sin q, сингулярную при q = p, à ïðè q0 < q < p должны взять Aφ = –g(1 + cos q)/r sin q, сингулярную только при q = 0. Разность DA между этими двумя векторными потенциалами есть градиент ÑL, L = 2gf, который, конечно, не влияет на магнитное поле при 0 < q < p, но может влиять на динамику заряженных полей. Калибровочное преобразование с L = 2gf изменяет поле зарядом q на множитель exp(2iqgf), который однозначен только,

если 2qg — целое число. Это и есть условие квантования Дирака. Существование магнитного монополя с магнитным зарядом g требует, чтобы все электрические заряды были бы целыми кратными величины (2g)–1. Это условие автоматически удовлетворяется для монополя ¢т Хофта–Полякова, т. к. g = 1/e, а все заряды в модели

Джорджи–Глешоу являются целыми кратными е/2.

В результате открытия нейтральных токов модель Джорджи– Глешоу была исключена как модель слабых и электромагнитных взаимодействий, однако существование магнитных монополей ожидается и в других теориях, в которых односвязная группа G спонтанно нарушается не до U(1), но до некоторой подгруппы H¢ ´ U(1), ãäå Í¢ îäíî-

связна. (Согласно приложению B к этой главе, для односвязных групп

G имеем p2(G/H) = p1(H), è åñëè H = H¢ ´ U(1), òî p1(H) = p1(H¢) ´ p1(U(1)) = p1(U(1)) = Z.) При спонтанном нарушении калибровочной

группы SU(2) ´ U(1) стандартной электрослабой теории монополи не

возникают, т. к. группа неодносвязна. (Подробнее об этом ниже.) Однако монополи появляются при спонтанном нарушении односвязной калибровочной группы G теорий объединения сильных и электрослабых взаимодействий, например, группы SU(4) ´ SU(4), SU(5) или Spin(10), до калибровочной группы SU(3) ´ SU(2) ´ U(1) ñòàí-

дартной модели. (См. раздел 21.5.) В этом случае ожидается, что монополи имеют массу, равную массе М d 1015–1016 ГэВ возникающих при таком спонтанном нарушении векторных бозонов, умноженной на обратный квадрат калибровочной константы связи. Такие монополи могли бы рождаться во время фазового перехода Вселенной, при котором G была спонтанно нарушена до SU(3) ´ SU(2) ´ U(1) при температуре Т порядка М.

Это приводит к проблемам в ряде космологических моделей 17. Перед этим фазовым переходом скалярные поля с необходимостью были некоррелированы на расстояниях, превышающих размер горизонта —наибольшее расстояние, которое мог пройти свет с момента начальной сингулярности. В стандартных космологических