Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1384

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

600 Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

gab

R

ga (2θ1, θ2 ,K, θd )

0 £ q1 £

,

(q) = S

 

£ q1 £

 

 

Tgb (2q1 - 1, q2 ,K, qd )

1.

Части интеграла I[gab] по полусферам q £ q1 £ 1/2 è 1/2 £ q1 £ 1 можно вычислить, перейдя к переменным q¢1 =2q1 è q¢1 = 2q1 – 1 соответ-

ственно, что дает члены I(ca) è I(cb) в выражении (23.4.2).

В частности, отсюда следует, что для гомотопических классов e, c, c ´ c и т. д., а также c–1, c–1 ´ c–1 è ò. ä.

I (cn ) = nI (c) .

(23.4.3)

Если для некоторого с интеграл I(c) ¹ 0, то все эти инвариаты

различны, так что различны все классы сn, и поэтому они образуют подгруппу Z группы pd(M). Это почти объясняет большую разницу

между размерами гомотопических групп в случае нечетных и четных размерностей, показанную в приложении В к этой главе. Например, p1(U(1)) = Z, p3(G) = Z для всех простых групп Ли G, а p5(SU(n)) = Z äëÿ âñåõ n ³ 3, в то время как для всех групп Ли G

p2(G) = 0 è p4(G) конечна.

В качестве простого примера, когда I(c) ¹ 0, рассмотрим гомотопическую группу p1(U(1)), совпадающую с группой p1(S1), êîòî-

рую мы использовали как пример в начале предыдущего раздела. Всякое отображение S1 ¬ U(1) можно охарактеризовать значением n, равным разности чисел, показывающих, сколько раз фаза эле-

мента U(1) обходит S1 против часовой стрелки, и сколько раз эта фаза обходит S1 в противоположном направлении, пока координата q обходит S1, причем два отображения гомотопически эквивалентны, если и только если значения n у них одинаковы. n-й класс содержит отображение gν(q) = exp(2inpq), 0 £ q £ 1, для которого

X1

d

 

I [gν ] = Y dq exp(-2inpq)

 

exp(2inpq) = 2inp ,

dq

Z0

 

и это подтверждает, что p1(U(1)) = Z.

Имея целью вычисление I(g) в менее простых случаях, предположим, что мы непрерывно деформируем множество М в группу Ли Н размерностью d. Результат осуществления преобразования Н с параметрами q, за которым следует преобразование Н с параметрами j, есть преобразование Н с параметрами q¢(q, j). На языке матричного представления g(q) это можно записать в виде

23.4. Интегральный инвариант Картана–Маурера

601

g(ϕ)g(θ) = g(θ′(θ, ϕ)) .

Дифференцируя по θ′ при фиксированном ϕ и умножая слева на

обратное уравнение, получаем

 

 

 

 

∂θ

i

∂g(θ)

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

g−1(θ)

= g−1(θ′)

∂g(θ

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂θ′j

∂θ′j

 

 

 

∂θ′j

 

 

 

Подынтегральное выражение в I[g] в точке θ′ принимает по-

этому вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j Kj

R

−1

(θ′)

∂g(θ′)

−1

(θ′)

∂g(θ′)

 

−1

(θ′)

∂g(θ′) U

ε 1 2

d TrSg

 

 

 

g

 

 

Kg

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

∂θ′j1

 

 

∂θ′j2

 

 

 

 

∂θ′jd W

F

∂θ I

i i Ki

R

−1

 

∂g(θ)

−1

 

∂g(θ)

 

−1

 

∂g(θ) U

= DetG

 

J

ε 1 2

d TrSg

 

(θ)

 

g

 

(θ)

 

Kg

 

(θ)

 

V .

 

 

 

 

 

 

 

H

∂θ′ K

 

T

 

 

∂θi1

 

 

∂θi2

 

 

 

∂θid W

Далее, у всякой группы Н есть метрика γij(θ) (не обязательно

единственная), которая форм-инвариантна в том смысле, что

 

(θ′) ≡

∂θk

 

∂θl

 

γ ij

 

 

 

γ kl (θ) .

(23.4.4)

∂θ′i

 

 

 

 

∂θ′j

 

Например, можно выбрать

 

 

 

1

R

 

∂g(θ)

γ

ij

(θ) = −

 

TrSg−1

(θ)

 

 

∂θi

 

 

2

T

 

 

 

 

 

g−1(θ)

∂g(θ) U

 

 

V .

(23.4.5)

∂θj

 

W

 

При любом выборе γij(θ), беря детерминант выражения (23.4.4), по-

лучаем

DetF

∂θ I

=

 

Det γ(θ′)

 

.

 

J

 

G

 

 

 

Det γ(θ)

H

∂θ′ K

 

 

Заменяя координаты θ в (23.4.1) на координаты θ′, находим

i i Ki

R

−1

 

∂g(θ)

−1

 

∂g(θ)

 

−1

 

∂g(θ) U

I [g] =ε 1 2

d TrSg

 

(θ)

 

g

 

(θ)

 

Kg

 

(θ)

 

V

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

∂θi1

 

 

∂θi2

 

 

 

∂θid W

 

 

1

 

 

X

d

 

 

 

(23.4.6)

×

 

 

 

θ′

Det γ(θ′) .

 

 

 

 

Y d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Det

γ(θ) Z

 

 

 

 

 

602

Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

Поскольку параметры j второго преобразования Н произвольны, можно рассатривать q è q¢ как независимые переменные и вы- числить правую часть (23.4.6) при любом значении q, например, qi = 0. Удобно нормировать генераторы ti и координаты qi так, чтобы при q ® 0

 

 

 

 

 

 

g(θ) → 1

+ 2iθit

i

.

 

 

 

 

 

 

(23.4.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае выражение (23.4.6) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

d

i i

Ki

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

q¢ Det g(q¢) .

 

I[g] = (2i)

 

e 1 2

 

d Tr{t

 

t

Kt

}

 

 

 

 

 

 

Y d

 

(23.4.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

i2

id

 

Det g(q) Z

 

 

 

 

Нас особо интересует случай d = 3. Ботт 22 показал, что для любой простой группы Ли G все непрерывные отображения S3 ¬ G можно непрерывно продеформировать в отображения S3 на «стандартную» SU(2) подгруппу группы G. (Если G º SU(n), этой стандарт-

ной подгруппой является та, которая действует только на две первые компоненты фундаментального представления SU(n). Не все SU(2) подгруппы SU(n) эквивалентны этой.) Как отмечалось в разделе 2.7,

â2 ´ 2 представлении произвольный элемент SU(2) можно записать

ââèäå

q = F θ4 + iθ3 g( ) G -q2 + iq1

H

где, как обычно,

θ2

+ iθ1 I

= q4 + 2iθ × t ,

(23.4.9)

q4

J

- iq3 K

 

 

 

 

1

F

 

I

 

1

F

 

 

=

 

0

1

=

 

0

t1

 

G

 

J , t2

 

G

 

 

 

 

 

 

 

2 H 1

0K

 

2 H i

−iI

J , t

0 K 3

=

1 F 1

0 I

 

G

0

J ,

 

 

2 H

-1

 

 

K

à q4 è θ действительны, причем (q4)2 = 1 – θ2. (Заметим, что форму-

ла (23.4.9) согласуется с условием нормировки (23.4.7). Прямое вы- числение приводит к следующему выражению для метрики (23.4.5):

g ij (q) = dij

+

θiθj

,

(23.4.10)

 

 

1 - θ2

 

 

òàê ÷òî

23.4. Интегральный инвариант Картана–Маурера

603

Det γ(θ) =

 

1

.

 

 

 

(23.4.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

− θ2

 

 

 

 

Отсюда интеграл (23.4.8) принимает вид

 

 

 

 

I [g] − −8iεijkTr{t t t

X

d3θ

 

}

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i j

k

Y

1 − θ2

 

 

 

 

 

Z

 

Используя формулы 4titj = dij + 2ieijltl è Tr{tltk} = 1dlk, видим,

÷òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8εijkTr{t t t

} = 2iεijkεijk

= 12i .

 

i j

k

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того, для «тождественного» отображения g1 интеграл дважды берется по внутренности единичного шара (поскольку θ4

может быть как положительной, так и отрицательной), так что

X d3θ

 

= 2

X1 4πr2dr

 

= 2π2 .

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − θ2

Y

− r2

Z

 

 

Z0 1

 

 

Для класса с отображений, гомотопичных g1, имеем поэтому

I (c) = 24π2 ,

(23.4.12)

откуда

I (cν ) = 24π2 ν .

(23.4.13)

Целое число ν называется топологическим числом. Этот ре-

зультат справедлив в представлении, для которого стандартная SU(2) подалгебра имеет генераторы ti1со структурными константами εijk è

условием нормировки1 Tr{titj} = dij. В более общем случае, если [titj] = igeijktk è Tr{titj} = Ng2dij, òî

I (cν ) = 24π2Nν .

(23.4.14)

Результаты (23.4.13) или (23.4.14) показывают, что для каждой простой группы Ли группа π3(G) содержит Z. Как указано в приложении Б к этой главе, π3(G) = Z для всех простых групп Ли. таким

Смотрите также файлы