Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1383

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

15.7. БРСТ симметрия

43

причем не обязательно взятыми в одной и той же точке простран- ства-времени. Тогда

δθ (ϕ1ϕ2 ) = θ(sϕ1)ϕ2 + ϕ1θ(sϕ2 ) = θ (sϕ1)ϕ2 ± ϕ1sϕ2 ,

где знак «плюс» соответствует случаю, когда ϕ1 — бозонное поле, а знак «минус», когда ϕ1 — фермионное поле. Это означает, что

s(ϕ1ϕ2 ) = (sϕ1)ϕ2 ± ϕ1sϕ2 .

Как мы видели, δθ(sϕ1) = δθ(sϕ2) = 0, действие БРСТ преобразования на s(ϕ1ϕ2) равно

δθs(ϕ1ϕ2 ) = (sϕ1)θ(sϕ2 ) ± θ(sϕ1)(sϕ2 ).

Íî sϕ всегда имеет статистику, противоположную ϕ, так что, перемещение θ в первом слагаемом в правой части налево вносит знако-

вый множитель е:

δθs(ϕ1ϕ2 ) = θ m(sϕ1)(sϕ2 ) ± (sϕ1)(sϕ2 ) .

Продолжая в том же духе, видим, что БРСТ преобразования нильпотентны при действии на любое произведение полей в произвольных пространственно-временных точках:

δθs(ϕ1ϕ2ϕ3 . . . ) = 0 .

Любой функционал F[ϕ] можно записать как сумму многократных

интегралов от таких произведений с с-числовыми коэффициентами, так что аналогично получаем

δθsF[ϕ] = θssF[ϕ] = 0 .

(15.7.20)

Доказательство нильпотентности БРСТ преобразования завершено. Вернемся к проверке инвариантности действия (15.7.6) относительно БРСТ преобразований. Во-первых, заметим, что для любого функционала только от полей материи и калибровочных полей БРСТ преобразование есть просто калибровочное преобразование с инфи-

нитезимальным калибровочным параметром

44

Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

 

λα (x) = θωα (x).

(15.7.21)

Поэтому первое слагаемое в (15.7.21) автоматически БРСТ инвариантно:

dθ z d4xL = 0 .

(15.7.22)

Чтобы вычислить результат действия БРСТ преобразования на оставшуюся часть действия (15.7.6), заметим, что его действие на функцию, фиксирующую калибровку, есть в точности калибровочное преобразование (15.7.21), так что

X dfα [x; Aλ , yλ ]

qwβ (y)d4 y

dθ fα [x; A, y] = Y

dlβ (y)

Z

λ =0

X

 

[A, y]wβ (y)d4 y

= qYFα β

Z

x, y

 

 

или, записывая это выражение с помощью величины (15.7.3),

δθ fα [x; A, ψ] = θΔα (x; A, ψ, ω).

(15.7.23)

(Заметим, что F — бозонная величина, так что при перемещении q налево знак не меняется.) Напомним также, что dθwα = –qha è dθhα = 0. Поэтому отличные от L слагаемые в подынтегральном вы-

ражении «нового» действия (15.7.6) можно записать в виде

INEW = z d4x L + sY,

 

 

 

 

X

 

4

F *

 

1

*

 

I

 

 

Y º -Y d

 

xGwα fα +

2

xwαhα J .

 

Z

1

 

H

F

*

 

K

*

I

*

+

xhαhα

 

+

1

wα Dα + hα fα

2

= sG wα fα

2

xwαhα J ,

 

 

 

 

H

 

 

 

 

K

Иначе говоря,

ãäå

(15.7.24).

(15.7.25)

(15.7.26)

Из нильпотентности БРСТ преобразования немедленно вытекает, что слагаемые sY è òd4xL БРСТ инвариантны.

В определенном смысле верен и обратный результат. В разделе 17.2. мы увидим, что перенормируемый лагранжиан, подчиняю-

15.7. БРСТ симметрия

45

щийся БРСТ инвариантности и другим симметриям лагранжиана (15.7.25), должен имет вид (17.7.25) с точностью до изменения значе- ний ряда постоянных коэффициентов. Но этого еще недостаточно для доказательства перенормируемости таких теорий. Преобразования БРСТ симметрии действуют на поля нелинейно, и в этом случае нет простой связи между симметриями лагранжиана и симметриями матричных элементов и функций Грина. В разделе 17.2. с помощью развитых в следующей главе методов внешнего поля будет показано, что ультрафиолетово расходящиеся части фейнмановских амплитуд (но не их конечные части) действительно подчиняются условию некоторой перенормированной БРСТинвариантности, и это позволяет завершить доказательство перенормируемости.

Из выражения (15.7.25) следует, что физическое содержание любой калибровочной теории заключено в ядре БРСТ оператора (т. е. в произвольном БРСТ инвариантном выражении òd4xL + sY),

взятом по модулю (т. е. за вычетом — прим. пер.) слагаемых, принадлежащих образу БРСТ преобразования (т. е. слагаемых вида sY).

Для любого нильпотентного преобразования ядро, взятое по модулю образа, определяется как когомология этого преобразования *. То, что физическое содержание калибровочной теории можно отождествить с когомологией БРСТ оператора, можно обосновать еще с одной точки зрения12. Согласно фундаментальному физическому требованию матричные элементы между физическими состояниями должны быть независимы от нашего выбора фиксирующей калибровку функции fα, иными словами, независимы от функционала Y в (15.7.25). Изменение любого матричного элемента áa|bñ за счет изменения ~dY â Y равно

~

 

b

= i a

 

~

 

b

= i a

 

~

 

b .

(15.7.27)

 

 

 

 

 

d a

 

 

dIÍÎÂ

 

 

sdY

 

(Мы используем тильду, чтобы отличить это произвольное изменение фиксирующей калибровку функции от калибровочного или БРСТ преобразования.) Можно ввести фермионный БРСТ «заряд» Q, определенный так, что для любого полевого оператора F

* Другими словами, когомология нильпотентного преобразования есть фактор ядра этого преобразования по его образу. — Прим. ред.

46

Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

δθΦ = i[θQ, Φ] = iθ[Q, Φ]m ,

или иначе

Q Φ

]m

= isΦ

,

(15.7.28)

[ ,

 

 

где знаки – или + соответствуют бозонному или фермионному Y.

Из нильпотентности преобразования БРСТ следует:

0 = −ssΦ = [Q, [Q, Φ]m ]± = [Q2 , Φ]− .

Чтобы эти формулы были верны для любых операторов F, необходимо, чтобы Q2 было либо равно нулю, либо пропорционально единичному оператору. Но последнее невозможно, так как Q2 обладает ненулевым гостовским квантовым числом *, следовательно Q2 должно обратиться в нуль:

Q2 = 0.

(15.7.29)

Из выражений (15.7.27) и (15.7.28) имеем:

d a b = a [ , dY] b .

 

~

Q ~

(15.7.30)

Чтобы это выражение было равно нулю для всех изменений ~dY â Y, необходимо, чтобы

α

 

Q = Q

 

β = 0 .

(15.7.31)

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, физические состояния находятся в ядре нильпотентного оператора Q. Два физических состояния, отличающихся только на вектор состояния в образе Q, т. е. вида Q|...ñ, очевидно,

имеют одни и те же матричные элементы со всеми другими физи- ческими состояниями и, следовательно, физически эквивалентны. Отсюда независимые физические состояния соответствуют состояниям, принадлежащим фактору ядра Q по образу Q, т. е. соответствуют когомологии Q.

* Напомним, что гостовское квантовое число определяется равным +1 для ωα, – 1 äëÿ ω*α и 0 для всех калибровочных полей и полей материи.

Смотрите также файлы