Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

и соответствуют пропагатору в фейнмановской калибровке. Это нарушает обычные требования положительности в квантовой механике, так как из (15.7.37) и (15.7.38) вытекает 13, ÷òî

Тем не менее, мы можем быть уверенными, что все амплитуды между физическими состояниями удовлетворяют обычным условиям положительности, так как эти состояния удовлетворяют (15.7.31), а для таких состояний амплитуды перехода совпадают с теми, которые получаются в более физичных калибровках типа кулоновской или аксиальной, в которых не возникает проблем с положительностью или унитарностью.

Рассмотренный до сих пор формализм Фаддеева–Попова–де Витта с необходимостью приводит к действию, билинейному по полям гостов w*α è wα. Это адекватно перенормируемым теориям Янга- Миллса с фиксирующей калибровку функцией fα = ¶μAμα, íî íå

годится в более общих случаях. Например, как мы увидим в разделе 17.2, в других калибровках перенормируемые теории Янга-Мил- лса нуждаются в наличии слагаемых w*w*ww в лагранжиане, кото-

рые служили бы контрчленами для сокращения ультрафиолетовых расходимостей в петлевых диаграммах с четырьмя внешними линиями гостов.

К счастью, формализм Фаддеева-Попова-де Витта представ-

ляет только один из способов построения некоторого класса эквивалентных лагранжианов, приводящих к одной и той же унитарной S-матрице. Более общим подходом является БРСТ формализм, который позволяет вообще обойтись без формализма Фаддеева-Ïî- ïîâà-е Витта. В этом подходе действие выбирается как самый об-

щий локальный функционал полей материи, калибровочных полей, полей wA, w*A è hA с гостовским числом нуль, инвариантный отно-

сительно БРСТ преобразования (15.7.7)–(15.7.11) и относительно любой другой глобальной симметрии теории. (Для перенормируемых теорий следует также ограничиться лагранжианами, которые являются операторами размерности четыре или меньше, однако это ограничение не играет никакой роли в последующем обсуждении.) Мы докажем в следующем разделе, что в рамках более широких,

чем теории Янга–Миллса, наиболее общиее действие такого рода есть сумма функционала только полей материи и калибровочных полей (коллективно обозначаемых ϕ) и слагаемого, которое опреде-

ляется действием БРСТ оператора s на произвольный функционал Ψ с гостовским числом –1:

как это и было в случае действия Фаддеева−Попова−де Витта (15.7.25), но теперь sΨ не обязательно билинейно по полям гостов и

антигостов.

По тем же соображениям, что и выше, элементы S-матрицы для состояний, обращающихся в нуль под действием генератора БРСТ симметрии Q, не зависят от выбора Ψ в (15.7.40). Поэтому, если при некотором выборе Ψ госты отщепляются, они отщепляются и в общем случае. В теориях Янга–Миллса такой функционал Ψ

обеспечивается квантованием в аксиальной калибровке, так что в этих теориях госты отщепляются при произвольном выборе функционала Ψ[ϕ,ω,ω*,h], а не только при выборе типа (15.7.25), порождаемом формализмом Фаддеева−Попова−де Витта.

Можно пойти еще дальше и освободиться от всякой зависимости от канонического квантования в лоренц-неинвариантных калибровках типа аксиальной. Пусть действие есть наиболее общий функционал полей материи, калибровочных полей и полей ωA, ω*A è hA c гостовским числом нуль, инвариантный относительно БРСТ преобразования (15.7.7)–(15.7.11) и относительно других глобальных симметрий теории, включая лоренцовскую интвариантность. Из БРСТ инвариантности действия можно вывести существование сохраняющегося нильпотентного БРСТ генератора Q. Если считать поля гостов и антигостов эрмитовыми, то Q эрмитов. Как и выше, пространство физических состояний включает те состояния, которые уничтожаются действием оператора Q, причем два состояния счи- таются эквивалентными, если их разность есть результат действия оператора Q на другое состояние. Было показано, что для янг−миллсовских теорий такое пространство свободно от гостов и

антигостов и обладает положительно определенной нормой, и что S-матрица в этом пространстве унитарна.13à

Описанная процедура известна как БРСТ квантование. Она была распространена на теории с другими локальными симметрия-

ми, такими, как общая теория относительности и теории струн. К сожалению, в настоящее время представляется, что в каждом случае необходимо отдельно доказывать, что БРСТ когомология свободна от гостов, а действующая в этом пространстве S-матрица унитарна. Ключевым моментом этих доказательств является то, что для каждой степени свободы с отрицательной нормой, например, для временных компонент калибровочных полей в теориях Янга– Миллса, существует одна локальная симметрия, позволяющая оттрансформировать эту степень свободы.

* * *

Хотя далее это и не понадобится, существует красивая геометрическая интерпретация14 гостов и БРСТ симметрии, о которой стоит упомянуть. Калибровочные поля Aμα можно записать как 1- формы Aα ≡ Aαμdxμ, ãäå dxμ – множество антикоммутирующих с-

чисел (см. раздел 5.8). Эти формы можно скомбинировать с гостовским полем и образовать 1-форму Aα ≡ Aα + ωα в расширенном пространстве. Кроме того, обычную внешнюю производную d ≡ dxμ∂/ ∂xμ можно объединить с БРСТ оператором s, образовав действующую в этом пространстве внешнюю производную D ≡ d + s, которая

нильпотентна, поскольку s2 = d2 = sd + ds = 0.

В следующей главе мы введем в рассмотрение методы внешнего поля, которые в совокупности с БРСТ симметрией будут использованы в гл. 17 для завершения доказательства перенормируемости неабелевых калибровочных теорий.

15.8. Обобщения БРСТ симметрии *

Описанная в предыдущем разделе БРСТ симметрия допускает полезное обобщение на случай квантования широкого класса теорий, включая общую теорию относительности и теории струн. Во всех этих случаях мы имеем дело с действием I[ϕ] и мерой [dϕ] ≡ ∏rdϕr, инвариантными относительно инфинитезимальных пре-

образований

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.