Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

38 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

где модифицированный лагранжиан имеет вид

Важно, что этот лагранжиан перенормируем (если этим свойством обладает лагранжиан материи) в том элементарном понимании, что его слагаемые содержат произведения полей и их производных массовой размерности четыре или меньше *. (Кинемати- ческое слагаемое − ∂μω*α∂μωα в (15.6.16) фиксирует массовую размерность полей ω è ω* равной единице, как у обычного скаляр-

ного или калибровочного поля.) Однако, перенормируемость не сводится к подсчету индекса расходимости. Необходимо, чтобы для каждой расходимости существовал контрчлен, который ее устраняет **. В следующем разделе мы рассмотрим замечательную симметрию, которую затем используем в разделе 17.2 для того, чтобы показать, что неабелевы калибровочные теории действительно перенормируемы в указанном смысле. Более того, эта симметрия может заменить подход де Витта–Фаддеева–Попова, которому мы пока что следовали.

15.7. БРСТ симметрия

Хотя описанный в двух предыдущих разделах метод де Вит- та–Фаддеева–Попова явно демонстрирует лоренц-инвариантность теории, он все же базируется на выборе калибровки и, следовательно, затемняет лежащую в основе теории калибровочную инвариантность. Это становится серьезной проблемой при попытках

* Говорят, что теория (или лагранжиан) перенормируема по индексу (см. т. I). Под массовой размерностью понимается размерность членов в лагранжиане, выраженная в степенях массы. — Прим. ред.

** Эта недостаточно четкая авторская фраза подразумевает, что соответствующим образом подобранные контрчлены должны иметь структуру исходного действия, иными словами, имеется в виду мультипликативная перенормируемость (см. ниже начало раздела 17.2). — Прим. ред.

При проверке инвариантности действия (15.7.1) весьма полезно заметить сначала, что преобразование (15.7.7)–(15.7.11) является нильпотентным. Это означает, что если F — некоторый функционал от ψ, A, ω, ω* и h, и sF определено равенством

Можно непосредственно проверить эту нильпотентность, когда δθ действует на одно поле. Во-первых, при действии на поле

материи

δθsψ = itαδθ (ωα ψ) = − 1 iCαβγ tαθωβω γ ψ − tαtβωαθωβψ

2

=− 1 iCαβγ tαθωβω γ ψ + tαtβθωαωβψ. 2

Произведение ωαωβ во втором слагаемом справа антисимметрично1

ïî α è β, поэтому можно заменить tαtβ в этом слагаемом на [tα,tβ],

так что это слагаемое сокращается с первым:

Далее, действуя на калибровочное поле, имеем:

δθsAαμ = δθDμωα

=∂μδθωα + Cαβγ δθ Aβμωγ + Cαβγ Aβμδθωγ =

*В первых работах по БРСТ симметрии функционал B[f] был оставлен

ââèäå (15.7.4), òàê ÷òî hα в (15.7.9) заменяется на –fα/ξ, и БРСТ преобразование было нильпотентным только при действии на функции от ωα, калибровочных полей и полей материи, но не на функции от ω*α.

42 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

Первые два слагаемых в последнем выражении сокращаются в силу антисимметрии Cαβγ ïî β è γ, а третье и четвертое слагаемые сокра-

щаются в силу тождества Якоби (15.1.5), так что

Окончательно

δθsωα = − 1 Cαβγ δθ (ωβωγ )

2

=1 θdCαβγ Cβδεωδωεωγ + Cαβγ Cγδεωβωδωε i

4

=1 θCαβγ Cγδε −ωδωεωβ + ωβωδωε ,

4

что с учетом свойст симметрии произведения ωβωδωε при переста-

новке индексов равно нулю в силу тождества Якоби:

Рассмотрим теперь произведение двух полей ϕ1 è ϕ2, каждое из которых или оба сразу могут быть полями ψ, A, ω, ω* èëè h,